2025年高考数学一轮复习学案：权方和不等式（含柯西不等式的应用）（高阶拓展、竞赛适用）学生版

第06讲权方和不等式（含柯西不等式的应用）

（高阶拓展、竞赛适用）

12.考情探究

本节内容为基本不等式的高阶拓展，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题，常在高考及竞

赛中做到类型题的秒解！

知识讲解

一、柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

(a2+62)(c2+d2)>(ac+bd)2(a,b,c,dGR,当且仅当ad=be时,等号成立.)

2.二维形式的柯西不等式的变式

(1)Va2+b2-Vc2+d.2>\ac+bd\{a,b,c,deR,当且仅当ad=bc时，等号成立.)

(2)Va2+b2-7c2+d2>\ac\+\bd\(ia,b,c,deR,当且仅当ad=be时，等号成立.)

(3)(a+/))(c+cT)>(Vac+Vbd)2Qa,b,c,d>0,当且仅当ad=be时，等号成立.)

2

3.扩展：(山+期+送H-----1-端)(国+必+国+…+/>„)>(a/i+a2b2+a3b3+…+anb,l)

二、权方和不等式：

若a,b,x,y>0则—+—>（a+Z?）2当且仅当-=-时取等.

xyx+yxy

（注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀）

广义上更为一般的权方和不等式：

设X],9,…,X"外

若…或…'则『『…+宗

m+1m+1/\w+l

占I9V(X1+X2+…+%)

若-1<m<0,则

y"'(必+了2

上述两个不等式中的等号当且仅当土=三=恐=-=区时取等

%%为y,,

注意观察这个不等式的结构特征，分子分母均为正数，且始终要求分子的次数比分母的次数多1,出现定值

是解题的关键，特别的，高考题中以777=1最为常见，此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.

考点一、权方和不等式全解析

典例引领

例1：若正数x,y满足工+工=1,则x+2y的最小值为

13

例2：若x>0,y>0,--------+-------=2,贝！J6x+5y的最小值为_______________

2x+yx+y'

一4949

例3：已知正数满足一+—=1,则+―---的最小值为____________

xy2x+xy+y

例4：若a>l,b>0,a+b=2,则」一+多的最小值为______________

a-1b

2T2

例5：若a〉l,b>\,则j的最小值为

b-1a-1

XVz

例6：已知正数X,V,z满足x+y+z=l,则-----+上一+-------的最小值为_______________

y+2zz+2xx+2y

।149

例7：已知正数x,y,z满足x+y+z=l,则—I—।■—的最小值为______________

XyZ

I18

例8：已知正数1,V满足x+y=l,则=+二的最小值为______________

Xy

14

例力求而万+二万的最小值为--------------

例10：求/(x)=-r—―-+——2—7的最小值为

2sinx+35cosx+6

例11:权方和不等式"是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的.其具体内容为：设

tz>0,6>0,72GN*,m>0,则”+…*2,当且仅当

〃，“，，」坪隙b；b：(4+打+&+…+，J

：=詈=?=...=｝时，等号成立.根据权方和不等式，若xe（0（］,当述+，取得最小值时，x的

及b2b3bnI2）sinxcoax

值为（）

49,49

例12：已知正数x,>满足一+—=1,则齐一+——的最小值为______________

xy2x+xy+y

例13：已知％+2歹+32+4"+5丫=30,^x2+2y2+3z2+4z/2+5v2

例14：已知。>0,b>0,Q+Z?=5,求6+的最大值为

例15：求/(x)=Jx'-3%+2+-\/2+3x-x2的最大值为

例16：已知正数。，b,。满足。+6+。=1,求J3a+1+J36+1+J3c+1的最大值为

考点二、柯西不等式全解析

典例引领

例1:用柯西不等式求函数＞=岳与+岳+FK的最大值为

A.722B.3C.4D.5

例2：由柯西不等式，当x+2y+z=4时，求6+6+6的最大值为（）

A.10B.4C.2D.V10

例3：己知xje（0,+oo）,若4+3亦〈左后7恒成立，利用柯西不等式可求得实数上的取值范围

是.

例4：已知2x+3y+6z=12,求―+/+丫的最小值.（利用柯西不等式）

例5：已知正实数a,b,c,4满足a+6+c+d=1,贝U；+-----+\+----^的最小值

a+b+cb+c+ac+a+aa+a+b

是.

例6：已知非负实数Q、b、°、d满足ab+bc+cd+加=1,求证:

ab3c3/1

--------------1----------------1----------------1--------------2—.

b+c+dc+d+ad+a+ba+b+c3

l时.好题冲关・

能力提升

一、单选题

12

1.（2024•山西临汾•三模）若Ovxvl,则一+；一的最小值是（）

Xl-x

A.1B.4C.2+2&D.3+2收

2.（2024•江苏扬州•模拟预测）已知x>0,y>0,且2x+y=l,则叶』的最小值为（）

xy

A.4B.472C.6D.20+3

设％>0,V>0,-+2y=2则x+工的最小值为(

3.（2024•江苏南通•二模）f)

%y

3

A.-B.2V2C.—+V2D.3

2

4.（2024・四川成都•模拟预测）若。,6是正实数，且」:+不\=1,则a+6的最小值为（）

3a+b2a+4b

42

A.—B.-C.1D.2

53

14

5.（2024•河南•模拟预测）已知点尸（'/）在以原点。为圆心，半径”近的圆上，则白｝+了口的最小值

为（）

A.△.27

BC.-D.1

999

6.（2024・全国•模拟预测）设正实数a,b满足Q+6=2,则---+-—^的最小值为（）

Q+16+2

7.（2021•浙江•模拟预测）已知x>0,且*+盯_1+5歹=30,则—2-x+J30-3y的最大值为

（）

A.V3B.V6C.2A/6D.3A/2

1?1312

8.（高三上•浙江宁波・期中）设a,6为正实数，且。+26+—+：=?,则—+：的最大值和最小值之和为

ab2ab

913

A.2B.-C.-D.9

22

9.（2024・辽宁•一模）已知〃7>2">O,则-----+一的最小值为（）

m—2nn

A.3+2亚B.3-2V2C.2+3后D.3亚-2

1r24v2

10.（23-24高一上・甘肃兰州•期末）对任意实数％>1/>7,不等式下济---?^+三7八21恒成立，则实数

。的最大值（）

二、填空题

11.（2024,宁夏石嘴山•模拟预测）已知见〃£（0,+8）,—FH=4,则机H—的最小值为.

mn

121

12.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）已知实数。>0力>2,且--+则2〃+b的最小值是.

。+1b-23

41

13.（2024•河南•三模）在中，角的对边分别为。也c,若a+b+c=2,则一^+―的最小值

a+bc

为.

14.（2024•广西河池•模拟预测）若实数a>l>6>0,S.a2+2b=b2+2a,则」7+?的最小值为____.

a-1b

21

15.（2024•全国•模拟预测）已知x>l,>>0,且x+—=2,则—>的最小值是_______.

yx-1

62

16.（2024•全国•模拟预测）已知x>y>0,----+----=1,则2x-y的最小值为_____.

x+yx-y

17.（21-22高三上•天津南开•期中）已知正实数a,6满足a+6=l,则工+二的最小值为________.

a6+1

22

18.（2024•江西•一模）已知正数无，y满足x