2025年山东省高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年山东省高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知集合4={刈％-1|V2},B={x\log±x>-1）,贝!）453=（）

2

A.{x|0<x<4}B.{x\-2<x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|l<x<3}

->—TTT

2.（5分）已知向量a=（2,1）,b=（m,-1）,且a||（a—b）,则实数冽的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

3.（5分）已知抛物线产=2.（p>0）的焦点在圆，+廿=4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）

A.1B.2C.4D.8

1

4.（5分）右sin（a+P）=彳tana=5tanp,则sin（a-P）=（）

1172V2

A.-B.-C.-D.-----

6393

5.（5分）已知函数/（x）是定义在R上的奇函数，且/（X+2）=-/（%）,当（0,1）时，/（x）=2\

则竽）=（）

A.-2V2B.2V2C.V2D.-V2

2345

6.（5分）若（1-3久）s=a0+arx+a2x+a3x+a4x+a5x,则（20+02+04=（）

A.-496B.496C.-992D.992

7.（5分）已知圆台上、下底面的半径分别为3和5,母线长为4,N3为上底面圆的一条直径，C是下底

面圆周上的一个动点，则△4BC面积的最大值为（）

A.3府B.6V3C.V37D.3用

8.（5分）已知直线/：y=fcc+后-1和曲线C：x2+j2-2x-2\y\=0有公共点，则实数后的取值范围为（）

A.[2-V3,2+V3]B.[V3-2,1]C.[-1,2+V3]D.[-1,1]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）在复数范围内关于x的实系数一元二次方程/取/2=0的两根为xi,X2,其中xi=l+i,

则（）

A.p=2B.X2=l-i

_%i

C.x•%2=-2iD.——=i

1-%2

第1页（共16页）

（多选）10.（6分）如图，在棱长为1的正方体48CD向C1D1中，点P在线段/Di上运动，则下列

A.直线CP和平面4BC1G所成的角为定值

B.三棱锥。-APG的体积为定值

C.异面直线GP和C21所成的角为定值

D.直线CD和平面BPCi平行

n

（多选）11.（6分）已知数列｛斯｝中，册=2?1+1,bn=2,贝U（）

A.｛如6“｝的前10项和为19X210+2

B.｛（-1）"斯｝的前100项和为100

C.｛友4｝的前〃项和T"Tn<j

D.a+善｝的最小项为16J

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）若“x=a”是“sinx+cosx>l”的一个充分条件，则a的一个可能值是.

7

13.（5分）已知函数/（x）=cos",若方程/（x）=/在区间［0,仇石兀］上有且仅有两个实数解XI，X2,则

实数t的取值范围为.

pA—C59

14.（5分）已知△/BC内角分别为4,B,C,且满足cos?+2s讥—=0,则^+一二的最小值

nzsmAsinC

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（15分）在四边形/3CD中，AB//CD.

（1）证明：AD-sinZBAD=BC'smZBCD；

（2）若/D=l,AB=3,BC=V3,ZBAD=2ZBCD,求△BCD外接圆的面积.

16.（15分）如图，在四棱台/BCD-48clDi中，底面4SC〃为平行四边形，NBAD=120°,侧棱441

工底面4BC。，M为棱CD上的点.40=〃/=2,A\B\^DM^\.

第2页（共16页）

(1)求证：AM-LAiB；

(2)若河为CD的中点，N为棱。Di上的点，且DN=字,求平面NuW与平面小8。所成角的余弦

值.

17.(15分)南水北调中线工程建成以来，通过生态补水和减少地下水开采，华北地下水位有了较大的回

升，水质有了较大的改善，为了研究地下水位的回升情况，对2015年〜2021年河北某平原地区地下水

埋深进行统计如下表：

年份2015201620172018201920202021

埋深(单25.7425.2224.9523.0222.6922.0320.36

位：米)

根据散点图知，该地区地下水位埋深y与年份，(2015年作为第1年)可以用直线拟合.

(1)根据所给数据求线性回归方程7=仇+a,并利用该回归方程预测2023年北京平原地区地下水位

埋深；

(2)从2016年至2021年这6年中任取3年，该地区这3年中每一年地下水位与该地区上一年地下水

位相比回升超过0.5米的年份数为X,求X的分布列与数学期望.

附相关表数据：%%=164.01,鼠1y由=631.26,

yiti-nyt

参考公式：y=bt+a,其中b=a=y—bt.

隹1(—)2

18.(15分)已知函数/(无)=x—(m+2)2nx———.

(1)若/(x)在(1,/(D)处的切线/垂直于直线x-2/+1=0,求/的方程；

(2)讨论/(x)的单调性.

/y2

19.(17分)设椭圆”+金=1过M(2,企)、N(V6,1)两点，。为坐标原点.

(I)求椭圆£的方程;

第3页(共16页)

OT—＞

（II）若直线＞=而+4（左＞0）与圆f+y2=w相切，并且与椭圆£1相交于两点4、B,求证：0ZJ_0B.

第4页（共16页）

2025年山东省高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.(5分)已知集合4={刈x-1|<2},B={x\log±x>-1},贝！()

2

A.{x|0<x<4}B.{x|-2<x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|l<x<3}

【解答】解：集合/={刈工-l|V2}={x|-2Vx-1<2}={可-1<XV3},

B={x\logix>-1}={x|0<x<2},

2

则/n5={x|0<x<2}.

故选：c.

->TTTT

2.(5分)已知向量a=(2,1),b=(m,-1),且a||(a—b),则实数冽的值为()

A.1B.-1C.2D.-2

TT

【解答】解：；a=(2,1),b=(m,-1),

7T

ci—b=(2,1)—(jrif-1)=(2—m,2),

TTT

由all(a—b),得2X2-IX(2-m)=0,解得加=-2.

故选：D.

3.(5分)已知抛物线廿=20xS>O)的焦点在圆x2+f=4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为()

A.1B.2C.4D.8

【解答】解：由于抛物线，=20x(p>0)的焦点为x轴正半轴上，

f+f=4与x轴正半轴的交点为(2,0),

故抛物线的焦点为(2,0),所以］=2np=4,

因此抛物线的焦点到准线的距离为p=4.

故选：C.

4.(5分)若sin(a+p)=.tana=5tan0,则sin(a-p)=()

1172a

A.-B.-C.-D.-----

6393

i

【解答】解：因为sin(a+P)=sinacosP+sinPcosa=

第5页(共16页)

又tana=5tanp,

sinaSsin0

所以----=-----,即sinacosB=5sinBcosa,

cosacosp

51

所以sinacosP=行，sinpcosa=诵，

贝！Jsin(a-p)=sinacos0-sin0cosa=亍

故选：B.

5.(5分)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且/(X+2)=-/(%),当xE(0,1)时，/(x)=2',

则竽)=()

A.-2V2B.2V2C.V2D.-V2

【解答】解：定义在R上的奇函数/(x),由/(x+2)=-/(x),得/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

则函数/(x)是以4为周期的周期函数，又当花(0,1)时，/(%)=2工，

所以"竽)=/(253x4-|)=/(-|)=-V2.

故选：D.

2345

6.(5分)若(1-3x)5=劭+atx+a2x+a3x+a4x+a5x,则ao+a2+a4=()

A.-496B.496C.-992D.992

5

【解答】解：令苫=-1可得，a0-ar+a2-a3+a4-a5-4-1024①，

令x=1可得，+a1+a2++。4+&5=(-2>=—32(2),

由②+①可得2(ao+a2+a4)=1024-32=992,则。0+。2+。4=496.

故选：B.

7.(5分)已知圆台上、下底面的半径分别为3和5,母线长为4,43为上底面圆的一条直径，C是下底

面圆周上的一个动点，则△4BC面积的最大值为()

A.3V37B.6V3C.V37D.3V3

【解答】解：当C在与平行的下底直径所对的弧的中点时，

点C到直线AB的距离的最大，且最大值为h=,42-(5-3)2+52=V37,

所以(SzMBc)max=2ABxh=之x6XV37=3V37.

故选：A.

8.(5分)已知直线/：y=fcc+左-1和曲线C：x2+y2-2x-2\y\=0有公共点，则实数后的取值范围为()

A.[2-V3,2+V3]B.[V3-2,1]C.[-1,2+V3]D.[-1,1]

【解答】解：因为尸h+h1=左(x+1)-1,所以直线/恒过定点P(-1,-1),

第6页(共16页)

曲线。=。化简即叱:叱制,如图所示:

由图可知，若直线/与曲线C有交点，则直线介于71与/2之间即可，

由圆心（1,1）到直线kx-y+k-1=0的距离等于半径得d==V2,

Vfc2+1

整理得：F-4左+1=0,解得k=2+百或k=2-百（舍），

同理，由圆心（1,-1）到直线船-产h1=0的距离等于半径得4=在崇R=

Vfc2+1

整理得庐=1,解得k=\（舍）或后=-1,所以k6[—1,2+V3].

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

（多选）9.（6分）在复数范围内关于x的实系数一元二次方程/个/2=0的两根为xi，m，其中xi=l+3

贝IJ（）

A.p=2B.X2=1-i

C.Xi-%2=-2iD.——=i

【解答】解：在复数范围内关于X的实系数一元二次方程，9+2=0的两根为XI,X2,其中xi=l+3

则％2=1-3故5正确;

1+z+l-z=2=-p,解得,=-2,故4错误,

,耘=(1+0(1+。=23故。错误;

1+L(1+产

故。正确.

X21-i(1-0(1+0

故选：BD.

（多选）10.（6分）如图，在棱长为1的正方体48co向CLDI中，点P在线段/Di上运动，则下列

命题正确的有（）

第7页（共16页）

A.直线CP和平面NBCiDi所成的角为定值

B.三棱锥。-APCi的体积为定值

C.异面直线GP和CBi所成的角为定值

D.直线CD和平面BPCi平行

【解答】解：如图所示：

对于力,由线面所成角的定义，令3。与3c的交点为。，可得/CP。即为直线CP和平面/3C1D1所

成的角，当P移动时/CP。是变化的，故N错误.

对于8,三棱锥。-AP。的体积等于三棱锥尸-03。的体积，而△D8C1大小一定，

'：PeADi,而4D1〃平面8DC1,

...点A到平面DBCi的距离即为点P到该平面的距离，

三棱锥D-BPC1的体积为定值，故3正确；

对于C,：在棱长为1的正方体/BCD-NiBCbDi中，点尸在线段/D1上运动，

C31_L平面ABC\D\,'：CiPu平面ABC\D\,

ACSilCiP,故这两个异面直线所成的角为定值90°,故C正确；

对于D,直线CD和平面ABC\D\平行，

直线CD和平面BPCx平行，故D正确.

n

（多选）11.（6分）已知数列｛斯｝中，册=2几+1,bn-2,则（）

A.｛斯加｝的前10项和为19X210+2

第8页（共16页）

B.｛(-1)〃斯｝的前100项和为100

11

C.｛友4｝的前〃项和T"Tn<j

unun_|_|o

«4—1

D.｛a+殍｝的最小项为16之

nan/

【解答】解：对于4易知期时=(271+1)2%

则Tio=。g1+公历+...+aiobio=3・2i+5・22+7・23+...+21・2i°,

则2rio=3-22+5•23+7-24+...+21-211,

两式相减得一7io=3•2I+23+24+25+…+2口一21・2%

=6+23+24+25+...+210-20«2u

=6+23^1^9)-20-211

=-19-211-2,

则7\o=19•2口+2,

故N错误；

对于2.易知(―1尸册=(―1)以2元+1),

则其前100项和为Sioo=-3+5-7+9-…-(2X99+1)+(2X100+1)=50X2=100,

故2正确；

11111

对于C.---------=---------------------=—(-----------------)，

anan+l(2n+l)(2n+3)22n+l2n+3

人」Tn—岳5+57+,,,+2n+l2n+3^-2^32n+3-62(2n+3)

故C正确；

6464

对于。.易知％i+—=2n+1+y-,1?

令£=2〃+l23,

则y=t+第N2卜呼=16,当且仅当「二竿，即£=8,相=(时，等号成立，

=

而T/GN，当n3时，的---=16亍，当〃=4时，眼.-1------=16Q-,

所以｛册+g｝的最小项为165，

故。错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

第9页（共16页）

7T

12.（5分）若“x=a”是“siiu+c。次>1”的一个充分条件，则a的一个可能值是-

6

【解答】解：因为sinx+cosx=讥（％+则sin（x+/）>容,

所以2kn+*<x+/V2/C7T+解得2kli<xV2/CTT+5，kWZ,

又因为“x=a"是"siiu+cosx>r?的一个充分条件，

71

贝Ua的一个可能值为二.

6

TC

故答案为：7.

6

7

13.（5分）已知函数/（x）=cosF,若方程/（%）=，在区间［0,仇石兀］上有且仅有两个实数解XI，X2，则

实数/的取值范围为1,-空］—.

【解答】解：令左=眇，ke［l,誓］,因为左="在口，普］单调递增，

所以方程/Xx）=/在区间xe［0,"誓］上有且仅有两个实数解，

转化为g（左）=cos笈=f在区间ke［1,誓］上有且仅有两个实数解，

777

即g（左）=cos左与>=/在々e［1,上有两个交点，

g（左）=COS左在［1,司单调递减，在（7T,普］单调递增，

7万

结合图像知，cosn<t<cos不，

即实数f的取值范围为（-1,-孚］.

故答案为：（—1,—孚］•

14.（5分）已知△/8C内角分别为N,8,C,且满足cos§+2s出写=0,则J的最小值为16

乙乙sinAsinC

【解答】解：三角形中，B=n-（N+C）,

第10页（共16页）

+日用*77r用/兀4+Cx.A—C_.A+C.A—C_

由ZES居、口」T^1：C0S(*y-----)+2Q,SITI--=sin-—F2QSITI-—=0n,

乙乙乙乙乙

所以s讥及cos苧+cos?s讥1+2(sin,cos苧_cos分讥苧)0,

4c4cAen

所以3sin2cos2=coszsi/ia，5,-G(0/5),

4C

即3汝几2=tan>0,

.2tan42tan£

又si/iA---------T,sixtC-------彳，

1+tan2^1+tan2^

222

595(l+tan4)9(l+tan^-)4+16tan44Ar4A

则—+—=------4+------金二------六----j+16tan->2I----j•16tan-=

sin^sinC2tan—2tan-tan—tany2qtan-2

16,

44/1

当且仅当---j=16tan-=tan-=一时取等号.

tan-222

59

所以七丁十的最小值为16.

sinAsinC

故答案为：16.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（15分）在四边形中，AB//CD.

(1)证明：AD•sinZBAD=BC-sinZBCD；

(2)若ZQ=1,AB=3,BC=V3,ZBAD=2ZBCD,求△BCD外接圆的面积.

【解答】解：(1)证明：・・・45〃C。，

工/ABD=NBDC,

ADBD

在△45。中，由正弦定理得

sinZ.ABDsin乙BAD'

BCBD

在△5CZ）中，由正弦定理得

sinZ-BDCsin乙BCD'

：.AD•sinZBAD=BD-sinZABD,BC・sinZBCD=BD-sinNBDC,

故AD・sin/B/D=BC・sin/BCZ)；

(2)解：由(1)得4D・sin/B4D=BC・sin/BCD,

设/BAD=2/BCD=2ct,

又2D=1,BC—V3,则s讥2a=Vasina,2sinacosa=Vasina,

cosa=微解得a=p

在△48。中，由余弦定理得cosN24D=%措馥空=巳，解得BD=有,

第11页（共16页）

在△BCD中，由正弦定理得2R=0Em，

SITLZ-DC.U

：.R=V7,

：.ABCD的外接圆的面积为S=TTR2=71R.

16.(15分)如图，在四棱台ABCD-N/iCbDi中，底面4BCD为平行四边形，NR4D=120°,侧棱441

_L底面48c。，M为棱CD上的点.AD=AiA=2,A\B\=DM=\.

(1)求证：AM^AxBi

(2)若河为CD的中点，N为棱。Di上的点，且DN=咚,求平面/uW与平面48。所成角的余弦

值.

【解答】解：(1)证明：在平行四边形48CD中，ZBAD=120°,：.ZADM=60°,

在△ADM中，AD=2,DM=1,

所以4M=V71D2+DM2-7.-AD-DM-cos^ADM=J22+l2-2•2•1•1=V3,

可得AD2=AM2+DM2,

所以4W_LCD,

又CDHAB,所以

又侧棱441_L底面/BCD,/Mu平面/BCD,

所以NM_L44i,

又A8A/4=N,AB,/4u平面N/1518,

所以/M_L平面44bBi2,

又/LSu平面441318,

所以

(2)因为M为CD的中点，DM=1,

所以CD=2,所以平行四边形NBC。为菱形，

则四边形NbBCbDi也为菱形，则四边形4/。。为直角梯形，则。A=02+(2—1)2=V5,

第12页(共16页)

由（1）知：AB,AM,44i两两垂直，分别以48,AM,441所在直线为x轴，y轴，z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系4-xyz,

则点4式0,0,2),B(2,0,0),£>(-1,V3,0),(一义，孚，2),M(0,V3,0),

靛》=(-3,V3,0),力;B=(2,0,-2),MD^Q-1,0,0),

设平面/15D的一个法向量为%=y〉zi),

则B?,即卜「吗=0,所以『30+何i=0,

、江1ArB岛•=0(2/-2zi=。

令％1=1,得11=(LV3,1).

因为。DN=所以DN==(,,—/1),

—TTQrsT

则MN=MD+DN=(一挤，一牛，1),&M=(0,遮,-2),

设平面的一个法向量为九2二(%2，丫2，Z2),

则把1即心•”=(),所以卜%_£+Z2=0,

Vn21ArM(n2-AXM=0(V3y2-2z2=0

令X2=2,得12=(2，2®3),

由原图可知平面与平面AiBD所成角为锐角，

所以平面与平面/1AD所成角的余弦值为爱2

17.（15分）南水北调中线工程建成以来，通过生态补水和减少地下水开采，华北地下水位有了较大的回

升，水质有了较大的改善，为了研究地下水位的回升情况，对2015年〜2021年河北某平原地区地下水

埋深进行统计如下表：

第13页（共16页）

年份2015201620172018201920202021

埋深（单25.7425.2224.9523.0222.6922.0320.36

位：米）

根据散点图知，该地区地下水位埋深y与年份/（2015年作为第1年）可以用直线y=4+a拟合.

（1）根据所给数据求线性回归方程＞=仇+a,并利用该回归方程预测2023年北京平原地区地下水位

埋深；

（2）从2016年至2021年这6年中任取3年，该地区这3年中每一年地下水位与该地区上一年地下水

位相比回升超过0.5米的年份数为X,求X的分布列与数学期望.

附相关表数据：£二1%=164.01,631.26,

参考公式：其中b二a=y—bt.

蔻=1(tj-t)2

【解答】解：⑴由题知，t=(1+2+3+4+5+6+7)=4,歹=卜%=164.01x；=23.43,

%色-乔=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28,

),■,yiti-nyt63126-7x4x2343"

b=＞尸,~=_0385,a=y-bt=23.43+0.885X4=26.97,

所以线性回归方程为y=—0.885什26.97,

2023年为t=9,贝Uy=-0.885X9+26.97=19.005,

所以2023年北京平原地区地下水位埋深19.005米.

（2）由题知，在2016年至2021年6年中，

2016年、2018年、2020年、2021年共4年该地的地下水位上升超过0.5米,

所以X的取值可能为0,1,2,

P（X=0）=裳=9P（X=l）=券=得，P（X=2）=1|=|，

C613C613C63

所以X的分布列为：

X012

P182

15155

1Q24

所以E(X)=Ox+1x+2x耳=亍

第14页（共16页）

18.（15分）已知函数/'（x）=%一（m+2）bix———.

（1）若/（x）在（1,/（1））处的切线/垂直于直线x-2y+l=0,求/的方程;

（2）讨论/（x）的单调性.

【解答】解：（1）因为f（久）=久一（a+2））久一孚,

m+22m%2—(m+2)x+2m

所以外吗=

1—―x+不二

因为/（x）在x=1处的切线I垂直于直线x-2y+l=0,

所以，(1)=-2,即1-(m+2)+2m=-2,解得m--1；

又因为/（I）=3,

所以/的方程为y-3=-2G-1),即2x+y-5=0；

（2）由题知，/（x）的定义域为（0,+8）,

由(1)得，f，3=%2-S+Y+2-=(%-2)§一叫

所以当mWO时，令/G）>0得x>2,令，（x）<0得0<x<2,

所以/（x）在（2,+8）上单调递增，在（0,2）上单调递减;

当0c机<2时，令，(x)>0得0<x<〃z或x>2,令/(x)<0得

所以/（x）在（0,m）和（2,+8）上单调递增，在（加，2）上单调递减；

当机=2时，f（x）20在（0,+8）上恒成立，

所以/（x）在（0,+8）上单调递增；

当加>2时，令，（x）>0得0<x<2或x>加，令/G）<0得2Vxe机，

所以/（x）在（0,2）和（〃?，+8）上单调递增，在（2,m）上单调递减.

综上，当mWO时，f（x）在（2,+8）上单调递增，在（0,2）上单调递减；

当0<加<2时，f（x）在（0,m）和（2,+8）上单调递增，在（m,2）上单调递减；

当机=2时，f（x）在（0,+°°）上单调递增；

当加>2时，/（%）在（0,2）和（加，+8）上单调递增，在（2,加）上单调递减.

/y2

19.（17分）设椭圆靛+6=1（a>6>0）,过M（2,企）、N（限1）两点，。为坐标原点.

（I）求椭圆E的方程；

OT—>

（II）若直线>=而+4（左>0）与圆，+产=3相切，并且与椭圆E相交于两点4、B,求证：

/y2

【解答】（I）解：因为椭圆益+言=1（。>6>0）,过M（2,a）、N（V6,1）两点，

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