2025高考数学专项复习：圆中鬼魅阿波罗尼斯圆（含答案）

2025高考数学专项复习圆中鬼魅，阿波罗尼

斯圆

圆中鬼魅，阿波罗尼斯圆

8.1定义

引例已知动点尸与两定点/、8的距离之比为“％>0),那么点尸的轨迹是什么？

Ipjl

证明不妨设/(—。，0)、3(c,0)(c>0),P(x,y),由一=2(Z>0)得：

\PB\

J(x+c)2+/

=4,即

(1-Z2)x2+2c(l+22)x+c2(l-22)+(1-22)/=0,

①当Jwl时，即为V+2c(l+1)x+°2+2=0,整理得：0一4±1「+/

1-22IZ2-l)

总为半径的圆;

即点尸的轨迹是以4T±lc,0为圆心,

②当2=1时，化简得x=0,即点尸的轨迹为y轴.

定理一般地，平面内到两个定点距离之比为常数〃彳>0,2/1)的点的轨迹是圆，此

圆被叫做“阿波罗尼斯圆”.特殊地，当2=1时，点尸的轨迹是线段的中垂线.

起名背景阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时

期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥

曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.

注在研究完椭圆和双曲线的标准方程后，对于|尸削+|尸8|=2。，||尸削-出剧|=2°,我

们可以清楚地了解点尸的轨迹；类似地，如果改成：=或|上4|・|尸弱=2°,点尸的轨

\PB\

迹方程又当如何？

显然，本专题就是对幽=2。进行的探究，对于|尸削/尸因=2。的探究，可参见后续圆

\PB\

锥曲线之卡西尼卵形线专题.

8.2调和点列vs阿波罗尼斯圆

如图，①/、C、B、。为调和点列；②PC、尸。分别为//尸3的内、外角平分线；③PC

±PD；以上三个条件中，知道任意两个都可以推得第三个!

P，一

设阿波罗尼斯圆的圆心为。，半径。。=。0=/，则有上=止=叱=4,即

PBCBDB

OA-rOA+r日口OA-r+OA+rOA-r-(QA+r)即即

——4,——4g\"

r-OBOB+rr-OB+r+OBr-OB-(r+OB)

OA•OB=户(反演).

AB

同时，即r=

~~zr-

z

已知两个定点及定比，求阿波罗尼斯圆

半径公式已知动点尸与两定点N、8的距离之比为2(2*1),则已知两个定点/、B,

及定比2,则.【最好熟记！】

EMC彳4B

注菠萝圆的常用公式必=9=」二=4,04•08=/，菠萝圆的半径为：r=~c

PBrOBA--

A

很常用，形式也很简单，最好熟记！！

圆心坐标利用定比分点求内外分点的坐标，即4。=±九08,。包括£)内、。外，由于

内外分点也是圆直径的两个端点，故圆心坐标和半径可以一起确定.

已知一个定点和阿波罗尼斯圆，求另一个定点和定比

如图，已知其中一个定点/,以及动点尸对应的阿波罗尼斯圆，如何快速确定另一个定

点2和定比力的位置？

注圆心。在线段的延长线上！！有些粗心的同学在数形结合画草图的时候，肯定会犯

模糊？

例已知动点尸与两定点小0,0)、3(3,0)的距离之比为;，则动点尸的轨迹方程

为.

法一直译法

设点尸(x,y)是曲线上任意一点，则=.，化简整理可得:(X+1)2+/=4.

/xT+F2

法二利用定比分点，确定内外分点法

设。为分点，则诟=±；砺，可得：。内(1,0)，。外(-3,0),由于内外分点也是圆直

径的两个端点，易得圆心坐标为(-1,0),半径为2.

法三设圆心为C,半径为r,贝|，=^~=-^=2,又里=8=-^=L，即口=1,

1,1PBrCB1

5zt---2-----

A2

由定比可知圆心C在定点A的左侧，故C(-1,0).

例(1)(2006四川文理)已知两定点A(-2,0),B(l,0),如果动点P满足条件I上4|=2\PB\,

则点P的轨迹所包围的图形的面积等于().

A.7iB.4兀C.8兀D.9兀

(2)在平面直角坐标系中，圆龙2+/=1交X轴于/、8两点，且点/在点3左边，若直

线x+5+加=0上存在点尸，使得|尸削=2仍8|,则正的取值范围为.

解(1)选B；r=^-=^—=2;(2)一21.

2--2--L3」

A2

例(1)(2008江苏)满足条件48=2,AC=41BC的AABC的面积的最大值是.

(2)已知等腰三角形腰上的中线长为G，则该三角形面积的最大值是.

解(1)法一易知C的轨迹为圆。，且半径=——=20,分析易得：

A--行

272

当且仅当时，面积取最大，即为2挺.

法二作高法；作CDJ_4B于点。，设4D=x,CD=〃，贝lj8£»=|2-x|,由/C=JiBC

可得：

x2+h2=2((x-2)2+h2),即h2=—x2+8x-8,

故〃2V8,易知面积最大为20.

⑵法一如图所示，AB=AC,中线AD=6，S&ABC=2S“BD，又48=240,/的

轨迹是以3、。为定点的菠萝圆，其半径=逋，故△N3C最大值为

A-12-13

42

2x—xBDx尸=2.

2

7

法二借助重心的性质：如图所示，设重心为G,则CG=5G=—5。，故

3

149

S./\A力BC,=/\r《.=3x—x—•BQ?•sin/BGC<2,

当且仅当N3GC=巴时取等号.

2

例(2014湖北文压轴)已知圆O：x2+/=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(6*-2)和常

数4满足：对圆O上任意一点M,都有M四|=/他4|,则(1)6=；

(2)2=.

解此题的背景是阿波罗尼斯圆，熟悉背景的话，此题可以直接口算，是送分题！

由于乙乙=厂2,故6=-；，结合图形可知1MBl<|范例，即2<1,即2=「［=困=(.

例在平面坐标系xOy中，已知圆x2+j?=r&>0),两个定点/go1和

(SPA

5(q,0)aw§r,且尸为圆上任意一点,若—为定值左，则a=,k=.

22

解结合草图必有Q〉0且0〈左<1,由OA•OB=r,BP—•a=r^>a=3r,

3

OAr

例(2015湖北理压轴)如图，圆C与x轴相切于点7(1,0),与y轴正半轴交于两点4

8(8在/的上方)，且以*=2.

⑴圆C的标型方程为；

(2)过点/任作一条直线与圆。：/+/=1相交于〃、N两点，下列三个结论:

网一红网_幽_2.③幽+幽一2也

°\NB\\MB\'°|W|\MB\'°\NA\MB\

其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)

(2)显然圆O是以A、B为定点的阿波罗尼斯圆，易得/(0,8-1),5(0,72+1),阿

波罗尼斯圆的半径r=l,故詈!=幽=刨=4=&-1,粤=0+1,因此，①②

|7V3|\MB\r\OB\\NA

③都正确.

例(1)已知点尸在边长为2的正方形N5CO的内切圆上运动，则/P+何P的最小值

是.

(2)已知P在边长为2的正三角形/8C的内切圆上运动，则AP+2BP的最小值是

解(1)有圆。和一个定点(/或8),由于。/=。8,故不妨取/为定点，设另一个

,6

OA'=__pA1—

定点为H,定比为力(结合图形，必有％>1),则。/•。4=/=>"一2，则W=X=

A=V2PA

因此，AP+GBP=6(AP'+BP)2亚大B,又A'B=>JOA'2+OB2=,故

AP+42BP>45.

⑵和上题分析类似，・04=/T,AP+2BP=2(/P+BP)>2A'B=々.

4=2

例(1)已知4、5分别为x、歹轴上的两个动点，且48=10,/为4B的中点，P(10,0),

,3］，则^PM+QM的最小值为.

(2)设点加■在圆C：(x-4)2+(y-4)2=8上运动，点/(6,-1),。为原点，贝UMO+2肱4

的最小值为.

(3)如图所示，直角扇形AOB的半径为6,C、D分别为OA、OB上的点，其中OC=3,

OD=5,点P为弧AB上任意一点，则2PC+PD的最小值为.

根据“工尸M+QM”可以确定菠萝圆的定比必为2或上，又OP=10,—=2,显然

22r

菠萝圆的一个定点必定可以是P,设另一个定点为N(”，0),利用==

即小；

(2)根据“M9+2M4”可以确定菠萝圆的定比必为2或L又r=2女，OC=4近,

2

—=2,显然菠萝圆的一个定点必定可以是原点0,设另一个定点为尸，利用

r

==&，点P在直线y=x上，易得尸(3,3),结合图形可知爱=2,故

MO+2MA=2MP+2MA>2PA=10.

(3)13；方法类似，具体过程略.

8.3角平分线vs阿波罗尼斯圆

MA-MCMB-MC

例(1)(2016台州一模)已知C是线段上的一点，％=，

|AS|\MB\

则必挈的最小值范围为___________.

IZBI

⑵(2016杭州一模)已知力、砺是非零不共线的向量，T^OC=-OA+-^OB,定

r+1r+1

义点集K华多=丝萃，豆片彳商］,当&、K,eW时，若对于任意的北2,

I\KA\KB\'

不等式|用瓦|<cl7^恒成立，则实数c的最小值为.

解⑴-;MA-MC

丝=邑=2BMC=2AMC,故点M轨迹是以A、B为定

\MB\

点的菠萝圆.

设AB的中点为D,利用极化恒等式:

2

MA-MBI砺『-由「>|函「-屈I2

\AB\29

(2)-；OC=——OA+——OB=AC=rCB,n/AKC=/BKC,

3r+1r+1

故点K的轨迹为圆，又不等式|而|<c］焉卜恒成立，故c>

—4RK,Kii4

显然，当为圆的直径时取得最大值，故&(=当，即仁津?二—二〉」丁=3

」网」2-13

rr2

JT

例在中，AC=2,AB=mBC(m>1),若恰好当2=时，△/5C面积最大,

贝!Jm=.

答案2+6；如图所不，点B的轨迹为菠萝圆O,因止匕，当△/BC面积最大时，OB=r,

由于//BC=巴，ikZABM=ZCBM=-,又NBMC=»,则

364

BAOA

m=------=tanAOCB=tan75°=2+73.

BCOCOC

例P、。是两个定点，点M为平面内的动点，且出4=4(%>0且2R1),点M的轨

阿|

迹围成的平面区域的面积为S,设S=/(2),则以下判断正确的是().

A./(㈤在(0,1)上是增函数，在(1,+8)上是减函数

B./(/)在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是减函数

C./(刃在(0,1)上是增函数，在(1,+oo)上是减函数

D./(㈤在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数

解设|尸0|=4,贝！］：•=上下，故5=/(2)=兀/=—耳—，结合对勾函数的性质,

几'r+-V-2

A22

显然选A.

例已知点3(1,0),C«,0),点。是直线NC上的动点，若恒成

立，则实数/的取值范围是.

解对40W2助直译可得点D的轨迹是：+［y+^］N|，

依题意，只须直线/c：?+y=i与圆口一｛+,+；］=［相切或相离即可，即

41

332速，解得/V2-G或此2+百.

J1+”3

例过△NBC的重心G作直线分别交边。于点M、N,若AB=6,AC=43BC,

则当△NBC的面积最大时，四边形MNCB面积的最大值为（）.

A,巫口5屈„5百D,巫

D.---C.------

189918

解选D；由"AB=6,AC=43BC”可知点C的轨迹为圆，且半径

AB

r=41

12

当△45C的面积最大时，则此时的点C到的距离为半径尸，此时

1n

SzA_AABC=2-AB-K=2^.欲使得四边形MNC5面积最大，则等价于△4W的面积最小,

直线过△45。的重心G,设万7=%刀，AN=yAC,其中0<x、><l,

/—,■、

1(AMAN],MN三点共线可得：

则4=；（布+硝-----------+------、、G3='+',

3xy)xy

11144

由于3=—+—出^,故孙N-,S&,AMN=^'S>--S，因此，四边形

xy89AABCAABC

s6

面积的最大值为—,此时的直线MN恰好和直线5c平行.

18

例已知△48C的面积为1,//的平分线交对边3C于。，AB=2AC,S.AD=kAC,

左£R,贝I当左=

解—；由/B=2/C可知：点N的轨迹为阿氏圆，设其半径为七则堡=」上=!

5ROB2

D

故。。=—,0B=2R,如图所示，作出相应的几何图形.

2

由于△ZBC的面积为定值，欲使得边5C的长度最短，则5C边上的高必须最大，即为

半径R,即在阿氏圆与y轴的交点处，此时40Z=002+尺2=2叱，4c°=OC?+R°=，R2.

例在△48C中，点。在边8c上，且DC=28。，AB：AD：AC=?,：kA,则实数左

的取值范围为.

_____„O____»1____»

法一根据题意有发=2而，BPAD=-AB+-AC,两边平方整理得：

33

k2二卫+Ucos。，其中。为刀和衣的夹角，故。£(0,兀)，注意到左〉0,易解得左.

99

B%

法二由于四=3,如图所示，构造菠萝圆模型，设菠萝圆的半径为R,则竺=区=3,

ROC

即OC=K,OB=3R,CD=-BC=—R.

不妨令R=9,则菠萝圆方程为：x2+y2=81,C(3,0),。(妨，0),故

(x-lk+y

xe(-9,9)，

(x-3)2+y2

注意到15e(-9,9),故人在区间端点处取得最值，易得上与，；.

注法一中的向量手法，可以积累一下，在解三角形中，与线段分点有关的题，可以尝

试使用！

法二利用了阿氏圆的背景，相对法一，思路也很简单，就是计算量是硬伤！！

例已知共面向量a、b、c满足|。|=3,b+c=2a,且|/>|=|/>-c|.若对每一个确定

的向量方，记山Ta|(feR)的最小值为4mm,则当力变化时，人加的最大值为()•

4

A.-B.2C.4D.6

答案选B.

B

C

a

解如图所示，易知点B的轨迹为阿氏圆，41kl的最大值即为阿氏圆的半径/=告=2.

2--

2

Jv2

例已知椭圆茄+方=1(。>6>0),A、F是其左顶点和左焦点，P是圆=〃上

Ipjl

的动点，若需=4(2为常数)，则此椭圆的离心率为.

解点P的轨迹是菠萝圆，故|。削,|。*=/,即m=加，解得e=避二L

2

例(2013江苏)如图，在平面直角坐标系中，已知点/(0,3),直线/：y=2x-4,设圆

C的半径为1,圆心在直线/上.

(1)若圆心C在直线y=x-l上，过点/作圆C的切线，求切线的方程.

(2)若圆C上存在点使儿〃=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

解(1)圆心C为直线了=2x-4和y=x-l的交点，解得C(3,2),易知切线的斜率必存

在，故设切线为了=h+3,则=解得左=0或左=-\,故切线的方程为了=3或

3x+4j?-12=0.

(2)圆心C在直线y=2x-4上，故圆C的方程为：(x-a)2+[y-2(a-2)]2=l,

设M(x,y),由=得：-3)2=2旧+/,即/+(了+1)2=4,因此，

点M的轨迹是以圆心。(0,-1),半径为2的圆.

由题意可知点M也在圆。上，因此，只需要圆C和圆。有公共点即可，故

|2-1|<|CZ)|<2+1,BP1<7a2+(2a-3)2<3,

mo＜a＜—故圆心。的横坐标Q的取值范围为

5f

例(2002全国文)已知点尸到两定点M(-1,O)、N(l,0)距离的比为后，点N到直线

的距离为1,求直线7W的方程.

解设尸的坐标为(xj),由题意有*=3,即J(x+1)2+/=VLJ(XT)2+R,

整理得尤2+「-6x+1=o,因为点N至！JPM的距离为1,I儿w|=2,所以PMN=30°,直线PM

的斜率为土;,直线PM的方程为y=±g(x+l),将了=±f(x+1)代入Y+y2-6x+1=0

整理得/-4x+l=0

解得X=2+G，x=2-6,则点尸坐标为(2+G1+G)或(2-君1+G),

(2+6,—1一白)或(2—6,1一百)，直线尸N的方程为y=x_l或y=_x+l.

例在x轴正半轴上是否存在两个定点/、B,使得圆f+必=4上任意一点到43两

点的距离之比为常数!？如果存在，求出点/、2坐标；如果不存在，请说明理由.

2

分析设点P为圆。上任一点，半径「=2,假设/在2的左侧，则必=四=二=0