2024年高考数学一轮复习《函数》单元提升卷（解析版）

单元提升卷03函数

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

【答案】D

【分析】求出函数/⑺的定义域，探讨其奇偶性，再结合x>0时函数值为正即可判断作答.

【详解】由eJ—O,得xwO,即函数〃幻的定义域为(YO,0)U(0，+S),

显然〃无)=二二，/(-%)=—^=-/(%),即函数/⑺是奇函数，其图象关于原点对称，AB不满足;

e—ee—e

当工>。时，e2^>l,e^>l,于是/(x)>0,其图象在第一象限，C不满足，D满足.

故选：D

2.下列函数中，值域为(。,+⑹的是(

5

A.y二

2—x

【答案】B

【分析】分别求出每个函数的值域，即可得出答案.

【详解】对于A：定义域为(3,2)52,+空)，值域(f,0)U(0,+«0,故A错误,

1-X

对于B：定义域为R,因为1—XER,所以y=IG(0,4-00),故B正确;

对于C：定义域为R,因为(｝飞(0,+8),所以e(0,+oo),

所以y=一leJL+oo),故C错误；

对于D：因为041—2*<1,所以y=J1-2工e[0,l)，故D错误，

故选：B.

3.已知函数/(》-1)=炉—2x,且〃a)=3,则实数。的值等于()

A.0B.±y/2C.2D.±2

【答案】D

【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可；

【详解】令》一1=。,》2-2尤=3,解得x=-l或x=3由止匕解得。=±2,

故选：D

4.(2023•山西临汾•统考二模)已知函数/■(*)是定义在R上的连续函数，且满足

f1[/(«)+f(3^)],/(1)=5,〃3)=9.则“2023)的值为()

A.5B.9C.4023D.4049

【答案】D

【分析】令a=x+4,3]=无，代入原式可得/(x+4)—/(x+2)=f(x+2)—f(x)=4,列出等式

/⑶―"1)=4,〃5)-〃3)=4,…，”2023)—“2021)=4,再利用累加法计算即可.

【详解】令a=x+4,3b=x,因为(三支|=：[/(。)+/网)],

得2/(x+2)=/(x+4)+/(x),即/(x+4)-/(x+2)=/(x+2)-/(x),

因为"1)=5,/(3)=9,.•./(3)-/(1)=4,/(5)-/(3)=4,

/⑺—"5)=4,…，/2021)-"2019)=4,/(2023)-/(2021)=4,

将上述1011个式子累加得，“2023)-"1)=4x1011,

/（2023）=4x1011+5=4049.

故选：D

【点睛】求解本题的关键是通过赋值法，令a=x+4,3b=x,将原式转化为

/(x+4)-f(x+2)=/(x+2)-f(x),列出等式，利用累加法计算即可.

117

5.已知方程|1082尤|+1/+5尤-1=。有两个不同的解X|，Z，贝।()

A.B.%9=1

C.0<再％2<；D.0〈玉龙2<1

【答案】D

【分析】根据题意，将方程解问题转化为y=|log2x|及，=-1(无+1『+2的图像交点问题，再结合图像列出

不等关系，即可得到结果.

2

由于11。82尤|+；/+gx-1=O,gp|log2x|=(x+1)+2,在同一坐标系下做出函数yglogzX及

1、,

y=--(-^+1)+2的图像，如图所示：

由图知>=-；(尤+1)2+2在(0,+力)上是减函数，故|log2xj>|log2尤21，由图知。<为<1<%,

所以一log2%]>log2%，Hpiog,jq+log2x2<0,化简得log2(占马)<0,即0<占尤2<1，

故选：D.

6.己知定义域为A的函数,⑺，若对任意的4、oeA,都有/(现+赴)-『(％)</(々)，则称函数为“定

义域上的M函数”，给出以下五个函数:

①/(%)=2x+3,xeR；

o「2「1/

②/(x)=x,xe；

③/(%)=/+1,~W；

TT

(4)/(x)=sinx,xe0,—；

⑤/(x)=log2X,XG[2,+CO),

其中是“定义域上的M函数”的有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【解析】本题首先可以根据题意得出+/)4/(占)+/(尤2)，然后对题目中给出五个函数依次进行研究,

得出它们的/5+%)和/(占)+以X])并进行比较，即可得出结果.

【详解】/(%+%)-((再)"(尤2)，即/(占+/)</(再)+/'(%)，

①：因为/'(x)=2x+3,xeR,

所以/(%+々)=2(石+々)+3,/(XJ+/(%2)=+2x2+6,

易知f(Xl+々)W/5)+/(%)恒成立，①满足；

②：因为7>0)=彳2,

22

所以f(x,+%)=xj+2尤]2+x2,/(%1)+/(x2)=x；+x2,

当为马>。时，/(x,+x2)>/(X])+/(x2),②不满足；

③：因为/(%)=炉+1,

22

所以/(X]+尤2)=尤：+2XJX2+x2+1,/(无])+/(无2)=x：+x2+2,

因为xe,所以2占％+1<2,f(Xi+X2)4/(Xi)+/'(无2)恒成立，③满足；

④：因为/(尤)=sinx,

所以/(%+%)=sin(x(+x2)=sinx1cosx2+sinx2cosx,,

f(x1)+f(x2)=sinx1+sinx?,

JI

因为xw0,—,所以0#cosX]1,0#cosx21,

故/'(再+%)«/(%)+/(电)恒成立,④满足；

⑤：因为f(x)=k>g2X,

所以/(^+x2)=log?(%+9)，/(占)+/(x2)=log2占+log2无2=log2xrx2,

因为xc[2,+oo）,所以升+%4再々，

故〃占+々）4/（占）+/（尤2）恒成立，⑤满足，

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否根据题意明确“定义域上的M函数”的含义是解决本题的

关键，可通过求出函数/⑺的f（xt+%）和/（西）+/（x2）并进行比较来判断函数是否是“定义域上的M函数”,

考查计算能力，是中档题.

7.定义在R上的函数/⑴的图象关于直线x=l对称，且当时，/（x）=3Y-l,有（）

【答案】B

【分析】函数〃x）的图象关于直线x=l对称可得=再根据当了＜1时,/（x）单调递减可得答

案.

【详解】定义在R上的函数A》）的图象关于直线x=l对称,

所以/(1一x)=〃l+x),所以/

因为当X21时，/。）=3工-1为单调递增函数,

定义在R上的函数的图象关于直线x=l对称，

所以当x＜l时，/（X）单调递减，

因为冷＜|，所以情＜4小佃,即呜卜呜卜呜

故选：B.

8.已知“X）是定义在R上的奇函数，且"2）=2,若对任意的巧，马式。,田），均有成

%一马

立，则不等式“X-1）+1＞X的解集为（）

A.（-2,0）U（2,+＜x＞）B.2）U（O,2）

C.(f,—l)U(L3)D.(-1,1)U(3,4W)

【答案】D

【分析】构造函数g⑺=/⑺—X,贝|Jg⑺=/⑺-X在(。,+8)上递增，判断g⑺=/⑺—X也是是定义在

R上的奇函数，可得g(x)=〃x)-x在(-应0)上递增，分类讨论列不等式求解即可.

【详解】因为对任意的4，x2e(O,+a)),均有"%)-/(%)＞1成立,

不妨设苫2＞占＞0,则为-々＜0,

所以/(芯)一/(%)(下一%=>■/1(%)-%</(%)—%，

构造函数g(x)=/(x)-x,则g⑺=/(%)-X在(0,+8)上递增，

因为“X)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=/(x)-x也是是定义在R上的奇函数,

所以g(x)=/(x)-x在(-8,0)上递增，

不等式/(X—1)+1>X化为/(%-l)-(%-l)>0^>g(x-l)>0,

因为〃2)=2=〃2)_2=0=g⑵=0=g(-2)=—g⑵=0,

8(1)>8(2)=尸-1>2—>3

x-1>0[x-l>

1g(%T)〉g(-2)x-l>-2

=>-1<%<1

[x-l<0x-l<0

x-1=0时，g(0)=0,不合题意;

综上不等式/(x-l)+l＞x的解集为(-U)U(3,"),

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数/（6+1）=2x+«-l,贝（I（）

A./（3）=9B.仆）=2d-3x（x2。）

C.的最小值为-1D./（X）的图象与x轴有1个交点

【答案】ACD

【分析】利用换元法求出了（X）的解析式，然后逐一判断即可.

【详解】令"6+121，得五=/一1，则％=得+=/⑺=2/一3f,

故/（X）=2X2-3X,xe[l,+oo）,/（3）=9,A正确,B错误.

/（x）=_3x=,所以在[1,+⑹上单调递增，

/（切两=/⑴二-1，的图象与*轴只有1个交点，C正确，D正确•

故选：ACD

io.某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为4（单位：℃）,环境温度为4（4<4,

单位。C）,物体的温度冷却到6单位：。C）需用时r（单位：分钟），推导出函数关系为

f=上为正的常数.现有一壶开水（ioo℃）放在室温为20℃的房间里，

根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（）（参考数据：ln2=0.7）

A.函数关系。=4+（4-4）/也可作为这壶外水的冷却模型

B.当左=上时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟

20

C.若/（60）=10,则/（30）=30

D.这壶水从100℃冷去哮I]70℃所需时间比从70℃冷去瞭IJ40℃所需时间短

【答案】BCD

【分析】对A,利用指对互化即可判断A；对B,将数据代入公式即得到匕对C,根据/（60）=10,解出左

值，再代入数据即可判断；对D,分别代入公式计算冷却时间，作差比价大小即可.

【详解】对A,由r="0）=K[[ln（4-4）-ln（e-a）],得厄=ln常0—三0，

所以肥十小,整理得，=4+(，-q)J.A项错误；

11QAQA

对B,由题意可知f=/(6)=—[ln(100—20)-ln(。-20)]=—In-------.t=20In----------=201n4=401n2«28,

kk9—2040—20

B项正确；

对c,由"60)=10,得3n线=10,即左=里，则"鸟」n著京=鸟1118=30.C项正确；

k4010m230-20m2

对D,设这壶水从100℃冷却到70℃所需时间为6分钟，则。=〈ln/京=J(ln8-ln5),

K/x_zZLJK

设这壶水从70℃冷却到40℃所需时间为々分钟,

K70-20I/…

贝nlij=—In---------=一(ln5—ln2),

2k40-20k')

因为4-芍=L(ln8+ln2-21n5)=Lln更<0,所以D项正确.

kk25

故选：BCD.

11.已知幕函数〃力=（/-2%-2）”+»9对任意xj,马40,+8）且工产々，都满足［若

/(«)+/(&)>0,则()

。+八>仆)+/(与口(a+b}w+

A.a+b<0B.a+b>QC.f

2)2'\2)2

【答案】BD

【分析】由已知函数为基函数可得病一2加一2=1,再由已知可得此函数在（0,+⑹上递增，贝1］疗+加-9>0,

从而可求出函数解析式，然后判断函数奇偶性和单调性，从而可判断选项AB,对于CD,作差比较即可.

【详解】因为=（m2-2m-2）M+%9为幕函数，

所以苏-2租-2=1,解得根=-1或机=3,

因为对任意再，%e（°，+°°）旦x产马，都满足>°，

所以函数/（X）在（。,+w上递增，

所以〃，+m—9>0

当机=T时，（-1）2+（-1）_9=_9<0,不合题意,

当加=3时，32+3-9=3>0,

所以/（彳）=尤3

因为f(~x)=(t)3=,

所以/（x）为奇函数,

所以由/(«)+/S)>o,得f{d}>-f(b)=f(-b),

因为/（了）=%3在R上为增函数,

所以a>—b>所以a+6>0,

所以A错误，B正确，

对于CD,因为a+6>0,

所以f(a)+于(b)Ta+bya3+b3a+b

22)2-2

_4。3+4/-（/+3。2"+3ab2+）

一8

3（/+/-a2b一加）

一8

_3面（4一6）-62（4一班

-8

3（a-b）2（a+b）、c

8

所以所以C错误，D正确,

故选：BD

12.在一条笔直的公路上有4、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C

地，乙车从8地沿这条公路匀速驶向A地.在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地

的距离y（km）与甲车行驶时间r（h）之间的函数关系如图所示.下列结论正确的是（）

A.甲车出发2h时，两车相遇

B.乙车出发1.5h时，两车相距170km

C.乙车出发2：h时，两车相遇

D.甲车到达C地时，两车相距40km

【答案】BCD

【分析】观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论A错误;

根据速度=路程+时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间=路程一速度和可求出乙车出发L5h时，两

车相距170km,结论B正确；据时间=路程+速度和可求出乙车出发2mh时，两车相遇，结论C正确；结

合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程=速度x时间，即可得出结论D正确.

【详解】观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，

地位于4、8两地之间，

交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误；

甲车的速度为240+4=60(km/h),

乙车的速度为200+(3.5-1)=80(km/h),

---(240+200-60-170)((60+80)=1.5(h),

...乙车出发1.5h时，两车相距170km,结论B正确；

,/(240+200-60)-(60+80)=21(h),

，乙车出发2mh时，两车相遇，结论C正确；

,/80x(4-3.5)=40(km),

.••甲车到达C地时，两车相距40km,结论D正确；

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.有下列说法：

①4-125=5；②16的4次方根是±2；

③痫=±3;④J(x+y)2=|x+y|.

其中，正确的有(填序号).

【答案】②④

【分析】根据n次方根的定义求解.

【详解】w为奇数时，负数的〃次方根是一个负数，VZ125=-5,故①错误；

16的4次方根有两个，为±2,故②正确；

因为阿=3,故③错误；

因为J(x+yG是正数，故J(x+y)?=|x+y|＞故④正确.

故答案为：②④

14.已知函数y=2«x-a+3在(-1,1)上有零点，则实数。的取值范围是

【答案】(一,_3)u(l,y)

【分析】分。=0和awO两种情况，根据零点的定义结合分式不等式运算求解.

【详解】当。=0时，函数＞=3,无零点，不合题意；

Z7—3

当时，由2ov-a+3=0,解得％=----,

2a

a—3

------＜1

所以即2a,解得。＜_3或。＞1；

2a〃一31

------＞-1

、2a

综上所述：实数a的取值范围是

故答案为：(YO,-3)D(1,H<O).

15.已知函数/(x)是二次函数又是事函数,函数g(x)=ln(Jl+V+@,函数〃(x)=/；1：2+2则

〃(20)+)(19)+…+/z(l)+M0)+/l(T)+…+MT9)+/z(—20)的值为______.

【答案】82

【分析】根据已知得出〃x)=a在根据函数g(x)的解析式得出其定义域，并结合对数运算得出

g(-x)+g(x)=O,即可根据函数奇偶性的定义得出函数g(x)为奇函数，即可根据奇函数的性质得出

g(0)=0,根据已知〃(x)结合函数〃x)的解析式与g(无)的奇偶性得出//(-"+”(力=4,且〃(0)=2,即可

根据所求式子的规律得出答案.

【详解】•.•函数/(X)是二次函数又是幕函数，

・/E+X＞。在R上恒成立，

：・函数g(尤)=ln(Jl+*2+x),定义域为R,

函数g(x)为奇函数,

，g(o)=。

g(r)

+2+Z£M±£W+4=4

(-4+2X2+2

且〃(O)=4^+2=2

v702+2

贝U?(20)+/z(19)+…+//(1)+/2(0)+/?(—1)+…+〃(一19)+/?(—20)=20x4+2=82,

故答案为：82.

16.已知f(x)为定义在R上的奇函数，/(尤+2)为偶函数，且对任意的巧，X2G(O,2),x尸马，都有

"6"%)<o,试写出符合上述条件的一个函数解析式/(尤)=.

再-x2

【答案】-sin^x(答案不唯一)

4

【分析】根据给定的奇偶性，推理计算得函数的周期性，再结合单调性求解作答.

【详解】因为“X)是定义在R上的奇函数，则〃f)=—〃x)，且"0)=0，

又〃x+2)为偶函数，贝i]/(-x+2)=/(x+2),即/•(元+4)=/(r),

于是/(x+4)=-f(x),则/(x+8)=-/a+4)=/(x),即是以8为周期的周期函数,

对任意4，x2e(O,2),x尸尤2,都有」丁)[〃龙2)<0,可得了⑴在(0,2)单调递减,

9jrITTT

不妨设/(X)=Asinox,由题意，T=一=8,所以。=一，则/(x)=Asin—x,

CD44

当xe(O,2州寸，,

因为/（%）=Asin%在（0,2）上单调递减，且y=sinx在上单调递增，

7T

所以A<0,不妨取4=一1,此时/（%）=-sin—x.

4

故符合上述条件的一个函数解析式/（%）=-sin7T?x,（答案不唯一）.

4

JT

故答案为：-sin-x（答案不唯一）

4

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.（1）已知logi89=a,18*=5,求1。145.《用a/表示）

（2）已知log94=a,9“=5，求瑛3645.（用。力表示）

Z?+1

【答案】（1）a+b；（2）----

Q+1

【分析】（1）由指数式与对数式的关系可得1。a85="结合对数运算公式化简即可；

（2）由指数与对数关系可得log95=b,利用换底公式和对数运算公式化简可得结论.

【详解】（1）因为18:5,所以1。舐5=人,

所以Iogi845=logi89+logi85=a+。.

（2）因为9"=5,所以loggSu。，

所以log3645=幽竺J°g9，X9,=log,5+1。屏9=织

log36log9（4x9）log94+log99a+l

18.已知函数=4x+3].

⑴作出函数的图象；

⑵就。的取值范围讨论函数>=/（力-。的零点的个数.

【答案】（1）作图见解析

（2）答案见解析

【分析】（1）先作出y=f-4x+3的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方；

（2）数形集结合，函数y=-。的零点的个数就是函数y=/（x）的图象与直线y=a的交点的个数.

【详解】（1）先作出y=f-4x+3的图象，然后将其在X轴下方的部分翻折到X轴上方，原X轴上及其上方

的图0象及翻折上来的图象便是所要作的图象.

o\1\、2./347

(2)由图象易知，函数y=的零点的个数就是函数y=/(x)的图象与直线y=a的交点的个

数./(2)=|22-8+3|=1.

当。<0时，函数>的零点的个数为0；

当。=。与时，函数y=/(“一。的零点的个数为2；

当0<“<1时，函数y=/(x)-a的零点的个数为4；

当。=1时，函数y=/(x)—a的零点的个数为3.

19.已知〃x)=""2'T是定义在R上的奇函数.

2%+1

(1)求实数机的值；

(2)若不等式/(x-3)+/(a+f)>0恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)租=1

⑵件+°°]

【分析】(1)根据奇函数7(。)=。即可求出结果；

(2)根据/(x)的奇偶性和单调性即可求出结果.

rn—1

【详解】(1)因为/(X)为定义在R上的奇函数，所以/(0)=下一=0,所以m=1.

1

此时八幻二!^,经验证，/(-%)=-/«,故根=i.

2%-12

⑵由⑴可知小)="=1一-’

任取石<元2，

292(2/-2巧)

则/⑺一一仃)一"罚

因为X]<Z，则2为<2W，/(西)-/(%2)<0

所以/(再)</(无2)

所以/(x)是R上的增函数.

由/(x-3)+f(a+x2)>0恒成立，

得〃了一3)>/(-a-f)恒成立，

贝！J%—3>—a一/,

所以〃>一/一1+3恒成立，

因为—V—l+3=—U+”

I2)44

所以〃>一13.

4

实数0的取值范围为：件+［•

20.已知函数〃x)=6且awl),当〃x)的定义域是［0』时，此时值域也是［0』.

⑴求。,6的值；

⑵若必/1,证明/(X)为奇函数，并求不等式/(2x-l)+/(x-4)>0的解集.

【答案】(1)。=；,6=3或a=3,b=2

(2)证明见解析，［(，+］

【分析】(1)分。以及。>1,根据函数的单调性，列出方程组，即可求出答案；

(2)根据已知得出〃力=2-白，求出/(f),化简〃T)+〃x)即可得出证明；根据函数的奇偶性以

及函数的单调性，列出不等式，求解即可得出答案.

【详解】⑴当。<”1时，函数y=炉+1单调递减，且优+1>0.

又y=在(。，+")上单调递增，

X

根据复合函数的单调性可知，函数/(X)在［0』上单调递减,

/(0)=^-2=11

Q=一

解得《3；

叫心得=。b=3

当时，函数了=屋+1单调递增，且"+1>0.

又y=在(0,+力)上单调递增，

X

根据复合函数的单调性可知，函数/(%)在[。/上单调递增，

/⑼=或2=0r=3

所以，小〃4J解得匕

f(l)=b-----=1[b=2

IV7a+1i

综上，〃=；，8=3或a=3,b=2.

(2)因为abwl,所以a=3,b=2,

则/(x)=2-&，定义域为R,且函数/(x)在R上单调递增.

因为〃T)+〃x)=2一七+2一六..14-3-44(3-+1)

=0>

y+i3*+i3工+1

所以“X)为奇函数.

则不等式y(2x—l)+〃x—4)>0,可化为/(2x—1)>〃4—x).

又函数/(x)在R上单调递增，贝i]2x-l>4—x,即龙>,

所以不等式/(2xT)+〃x—4)>。的解集为，,+j.

21.已知函数〃x)是定义在(-4,4)上的奇函数，且当xe(O,4)时，/⑺=|1。4乂.

⑴求函数〃x)的解析式和单调区间；

(2)若关于x的方程/(X)=机有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.

|log2x|,0<x<4

【答案】(1)〃X)=o,x=o；单调增区间为(y—i),(1,4)；单调减区间为(—1,0),(0,1)

-|log2(-x)|,-4<x<0

(2)(-2,0)u(0,2)

【分析】(1)由奇函数求解函数的解析式，并求解单调区间即可；

(2)方程/(X)=〃工有两个不相等的实数根，转化为了