2025年中考数学复习之命题与证明

2025年中考数学复习新题速递之命题与证明

选择题（共20小题）

1.（2024春•句容市期中）下列命题中是假命题的是（）

A.对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形

B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形

2.（2024春•思明区校级期中）下列命题中，是真命题的是（）

A.带根号的数就是无理数

B.坐标平面内所有的点都在四个象限内

C,内错角相等

D.一个二元一次方程有无数多解

3.（2024•铜梁区校级开学）下列命题为假命题的是（）

A.对顶角相等

B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

C.垂线段最短

D.同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

4.（2023秋•潍城区期末）下列命题的逆命题是真命题的是（）

A.若”+。=0,则/=层B.若a-b=0,则/=匕2

C.若|a|-|6|=0,则/=启D.若则

5.（2023秋•南阳期末）给出下列命题：①平方根与立方根相等的数只有0；②任意一个无理数的绝对值

都是正数；③-3没有立方根；④有一个角是60°的三角形是等边三角形.其中真命题的个数为（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

6.（2024•东莞市校级一模）下列命题中真命题是（）

A.一个角的补角一定大于这个角

B.两点之间，直线最短

C.平行于同一条直线的两条直线平行

D.相等的角是对顶角

7.（2023秋•港南区期末）对于命题“如果/1+/2=90°,那么/1W/2.”能说明它是假命题的反例是

)

A.N1=N2=45°B.Zl=40°,N2=50°

C.Zl=50°,Z2=50°D.Zl=40°,Z2=40°

8.（2024春•禹城市校级月考）下列说法中，正确的个数有（）

①实数和数轴上的点是一一对应的；

②?是一个分数；

③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；

④“同位角相等”为真命题；

⑤立方根等于本身的数是1和0;

⑥商的平方根是±9.

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.（2024春•济宁期中）下列命题是真命题的是（）

A.相等的角是对顶角

B.若数。、6满足/=/,则

C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

D.垂线段最短

10.（2024春•中江县月考）已知关于x,y的方程组产+下列命题正确的个数为（）

①当。=-2时，方程组的解x,y的值互为相反数；

②无论。取什么实数，x+2y的值始终不变；

③x,y都为自然数的解有4对；

④若尤W1,则lWyW4.

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.（2024春•灯塔市期末）下列命题的逆命题正确的是（）

A.对顶角相等

B.如果两个实数相等，那么它们的平方相等

C.两直线平行，同旁内角互补

D.全等三角形的对应角相等

12.（2023秋•雅安期末）下列命题中真命题是（）

A.有理数和数轴上的点---对应

B.三角形的一个外角大于任何一个内角

C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

D.一次函数的图象是一条直线

13.（2024春•江北区校级月考）下列命题中假命题的个数为（）

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；

④垂直于同一条直线的两条直线垂直.

A.4个B.3个C.2个D.1个

14.（2024春•襄州区期末）下列命题是假命题的是（）

A.直线a,b,c在同一平面内，若a_L6,bLc,贝！Ia〃c

B.直线外一点与已知直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

C.点尸（-5,3）与点。（-5,-3）到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等

D.同位角相等

15.（2024春•温州期末）用反证法证明命题''在同一平面内，若直线a，c,b±c,贝Ua〃匕”时，应假设

（）

A.a//cB.a与b不平行

C.b//cD.aA.b

16.（2024春•通河县期末）下列命题中是真命题的是（）

A.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离

B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

C.无限不循环小数是无理数

D.过一点有且只有一条直线与这条直线平行

17.（2024•岳阳楼区校级开学）下列命题中，真命题是（）

A.平行四边形的对角线相等

B.矩形的对角线互相垂直

C.多边形的外角和为360°

D.三角形的外角等于两个内角之和

18.（2024•宝安区校级模拟）下列命题中，正确的是（）

A.顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是矩形

B.若甲、乙两组数据的方差S%=0.39,S；=0.27,则甲组数据比乙组数据稳定

C.线段A3的长度是2,点C是线段AB的黄金分割点且ACVBC,贝=隗—1

D.二次函数y=/+3%+*的顶点在x轴

19.（2023秋•大渡口区期末）下列命题中，是真命题的是（）

A.同位角相等B.同旁内角互补

C.内错角相等D.对顶角相等

20.（2023秋•郸城县期末）能说明命题“任何数a的平方都大于0.”是假命题的一个反例可以是（

1

A.a=-2B.。=0C.D.〃=3.14

2025年中考数学复习新题速递之命题与证明（2024年9月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共20小题）

1.（2024春•句容市期中）下列命题中是假命题的是（）

A.对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形

B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形

【考点】命题与定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定.

【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】A

【分析】根据平行四边形以及特殊平行四边形的判定定理逐项判断即可.

【解答】解：对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故A是假命题，符合题意；

一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故8是真命题，不符合题意；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故C是真命题，不符合题意；

对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故。是真命题，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了平行四边形以及特殊平行四边形的判定定理，掌握相关定理内容是解题关键.

2.（2024春•思明区校级期中）下列命题中，是真命题的是（）

A.带根号的数就是无理数

B.坐标平面内所有的点都在四个象限内

C.内错角相等

D.一个二元一次方程有无数多解

【考点】命题与定理；实数；二元一次方程的解；点的坐标；同位角、内错角、同旁内角.

【专题】实数；一元二次方程及应用；平面直角坐标系；线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】D

【分析】根据无理数的概念，坐标系中点的特点，平行线的性质，二元一次方程的解逐一进行判断即可.

【解答】解：A.带根号的数不一定是无理数，比如〃=2是有理数，原命题为假命题，故此选项不符

合题意；

B.坐标平面内所有的点不一定都在四个象限内，也可能在坐标轴上，原命题为假命题，故此选项不符

合题意；

C.两直线平行，内错角相等，原命题为假命题，故此选项不符合题意；

D.一个二元一次方程有无数多解，原命题为真命题，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查判断命题的真假，掌握无理数的概念，坐标系中点的特点，平行线的性质，二元一次

方程的解是解题的关键.

3.（2024•铜梁区校级开学）下列命题为假命题的是（）

A.对顶角相等

B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

C.垂线段最短

D.同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；垂线段最短；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论;

平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识.

【答案】B

【分析】根据对顶角相等、行线的性质、垂线段最短、平行公理判断即可.

【解答】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意.

8、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项是假命题，符合题意.

C、垂线段最短，是真命题，不符合题意.

。、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是要

熟悉课本中的性质定理.

4.（2023秋•潍城区期末）下列命题的逆命题是真命题的是（）

A.若〃+。=0,则/=/B.若a-b=0,则/=必

C.若间-|例=0,则/=庐D.若a>b,则

【考点】命题与定理；绝对值；有理数的乘方.

【专题】实数；推理能力.

【答案】C

【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断正误即可.

【解答】解：A.逆命题为若/=序，则a+b=O,是假命题，不符合题意；

B.逆命题为若/=序，则a-6=0,是假命题，不符合题意；

C.逆命题为若。2=庐，则⑷-|例=0,是真命题，符合题意；

D.逆命题为若|。|＞族|,则。＞b,是假命题，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，熟练写出原命题的逆命题进行判断是解题的关键.

5.（2023秋•南阳期末）给出下列命题：①平方根与立方根相等的数只有0；②任意一个无理数的绝对值

都是正数；③-3没有立方根；④有一个角是60°的三角形是等边三角形.其中真命题的个数为（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

【考点】命题与定理；平方根；立方根；无理数；实数的性质；等边三角形的性质.

【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】根据平方根和立方根的概念、绝对值、等边三角形的判定定理判断即可.

【解答】解：①平方根与立方根相等的数只有0,是真命题；

②任意一个无理数的绝对值都是正数，是真命题；

③-3有立方根，故本小题命题是假命题；

④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本小题命题是假命题；

故选：B.

【点评】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关

键是要熟悉课本中的性质定理.

6.（2024•东莞市校级一模）下列命题中真命题是（）

A.一个角的补角一定大于这个角

B.两点之间，直线最短

C.平行于同一条直线的两条直线平行

D.相等的角是对顶角

【考点】命题与定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】C

【分析】根据线段的性质、平行线的判定、对顶角和补角判断.

【解答】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，原命题是假命题；

8、两点之间，线段最短，原命题是假命题；

C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；

。、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；

故选：C.

【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假

命题；经过推理论证的真命题称为定理.

7.（2023秋•港南区期末）对于命题“如果/1+/2=90°,那么/1W/2.”能说明它是假命题的反例是

（）

A.N1=N2=45°B.Zl=40°,/2=50°

C.Zl=50°,/2=50°D.Nl=40°,N2=40°

【考点】命题与定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；数感.

【答案】A

【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可.

【解答】解：A、Z1=Z2=45°满足/1+/2=90°,但不满足/1W/2,满足题意；

B、/1=40°,/2=50°满足命题“如果Nl+N2=90°,那么N1WN2."，不符合题意；

C、Zl=50°,Z2=50°不满足命题“如果/1+/2=90°,那么/1WN2."，不符合题意；

D、Nl=40°,Z2=40°不满足命题“如果/l+N2=90°,那么N1WN2."，不符合题意；

故选：A.

【点评】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键.

8.（2024春•禹城市校级月考）下列说法中，正确的个数有（）

①实数和数轴上的点是一一对应的；

②V手2是一个分数；

③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；

④“同位角相等”为真命题；

⑤立方根等于本身的数是1和0；

⑥府的平方根是±9.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】命题与定理；平方根；立方根；实数与数轴；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论;

平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】B

【分析】根据平行线的判定和性质，立方根的定义，实数的性质一一判断即可.

【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故①说法正确.

②V手2是无理数，不是分数；故②说法错误.

③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法正确.

④“同位角相等”，成立的条件是平行线.故“同位角相等”是假命题，④说法错误.

⑤立方根等于本身的数是1和0,还有-1.故⑤说法错误.

⑥府的平方根是±3.故⑥说法错误.

综上所述：正确说法有①③，共2个，

故选：B.

【点评】本题考查了命题、平行线的判定和性质，立方根的定义，实数的性质等知识，属于中考常考题

型.

9.（2024春•济宁期中）下列命题是真命题的是（）

A.相等的角是对顶角

B.若数a、6满足/=/,则a=b

C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

D.垂线段最短

【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；垂线段最短；同位角、内错角、同旁内角.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】D

【分析】利用对顶角的定义、数的平方运算、平行的性质以及垂线段的性质、逐项判断后即可确定正确

的选项.

【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、若数°、b满足/=廿，则或。=-从故原命题错误，是假命题，不符合题意；

C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

。、垂线段最短，故原命题正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大.

10.(2024春•中江县月考)己知关于x,y的方程组—a,下列命题正确的个数为()

①当。=-2时，方程组的解x,y的值互为相反数；

②无论。取什么实数，尤+2y的值始终不变；

③尤，y都为自然数的解有4对；

④若xWl,则l<yW4.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】命题与定理；一元一次方程的解；二元一次方程组的解.

【专题】一次方程(组)及应用；运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】①先求出方程组的解把a=-2代入求出x、y即可；

(y=J.—a

②把后二:1广代入尤+2y进行计算即可；

③方程组变形为无+2y=3,再确定方程的解即可；

④根据xWl和x=l+2a求出aWO,求出-3WaW0,再求出1-a的范围即可.

【解答】解：解方程组?二：一。得：［：=：+:

(%—y=3a(y=1—a

①当〃=-2时，％=l+2义(-2)=-3,y=l-(-2)=3,

所以小y互为相反数，故①正确；

.•.x+2y=2a+l+2-2a=3,

・•・无论〃取什么实数，x+2y的值始终不变；故②正确；

③将方程组忙+一。可变形为x+2y=3,

.•.X,y都为自然数的解为［二；，仁二：，共2对，故③错误;

④。W1,

.•・x=l+2〃Wl,

即〃W0,

・•・-3WaW0,

-心0,

.,.421-心1,

"•'y=1-a,

lWy<4,故④正确；

综上，正确的结论有3个，

故选：C.

【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识

点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.

11.（2024春•灯塔市期末）下列命题的逆命题正确的是（）

A.对顶角相等

B.如果两个实数相等，那么它们的平方相等

C.两直线平行，同旁内角互补

D.全等三角形的对应角相等

【考点】命题与定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】C

【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可.

【解答】解：A、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，不符合题意；

8、逆命题为如果两个数的平方相等，那么这两个数也相等，错误，不符合题意；

C、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，正确，符合题意；

。、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，不符合题意.

故选：C.

【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大.

12.（2023秋•雅安期末）下列命题中真命题是（）

A.有理数和数轴上的点一一对应

B.三角形的一个外角大于任何一个内角

C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

D.一次函数的图象是一条直线

【考点】命题与定理；数轴；一次函数的图象；同位角、内错角、同旁内角；三角形内角和定理；三角

形的外角性质.

【专题】一次函数及其应用；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力.

【答案】D

【分析】正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.根据实数与数轴、三角形外角的定义和性质、

平行线的性质、一次函数的图象与性质逐项分析判断即可.

【解答】解：A.实数和数轴上的点一一对应，故该命题是假命题，不符合题意；

B.三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角，故该命题是假命题，不符合题意；

C.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故该命题是假命题，不符合题意；

D.一次函数的图象是一条直线，该命题是真命题，符合题意；

故选：D.

【点评】本题主要考查了命题的真假判断、实数与数轴、三角形外角的定义和性质、平行线的性质、一

次函数的图象与性质等知识，解题的关键是要熟悉所学的定义、性质定理及判定定理.

13.（2024春•江北区校级月考）下列命题中假命题的个数为（）

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；

④垂直于同一条直线的两条直线垂直.

A.4个B.3个C.2个D.1个

【考点】命题与定理；直线的性质：两点确定一条直线；垂线；平行公理及推论.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】B

【分析】根据相关教材中相关性质定理对上述命题进行判断，即可解题.

【解答】解：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；

②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；

③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，原命题是真命题；

④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.原命题是假命题；

综上所述，其中假命题的个数为3个，

故选：B.

【点评】本题主要考查了命题的真假判断，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是关键.

14.（2024春•襄州区期末）下列命题是假命题的是（）

A.直线a,b,c在同一平面内，若a_L6,b±c,贝!Ia〃c

B.直线外一点与已知直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

C.点尸(-5,3)与点Q(-5,-3)到x轴的距离相等，至Uy轴的距离也相等

D.同位角相等

【考点】命题与定理；坐标与图形性质；垂线；垂线段最短；同位角、内错角、同旁内角；平行线的判

定.

【专题】平面直角坐标系；线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】D

【分析】利用平行线的判定方法、垂线段的性质、点的坐标特点及平行线的性质分别判断后即可确定正

确的选项.

【解答】解：A、直线a,b,c在同一平面内，若a_Lb,6_Lc,则a〃c,正确，是真命题，不符合题意；

B,直线外一点与己知直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确，是真命题，不符合题意；

C、点P(-5,3)与点。(-5,-3)到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等，正确，是真命题，

不符合题意；

。、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大.

15.(2024春•温州期末)用反证法证明命题''在同一平面内，若直线a，c,bLc,则'时，应假设

()

A.a//cB.a与b不平行

C.b//cD.a-Lb

【考点】反证法；垂线；平行线的判定.

【专题】反证法；线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】B

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断.

【解答】解：反证法证明”在同一平面内，若bLc,则。〃6”时，应假设a与6不平行，即。

与b相交，

故选：B.

【点评】本题考查的是反证法、两直线的位置关系，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结

论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多

种情况，则必须一一否定.

16.（2024春•通河县期末）下列命题中是真命题的是（）

A.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离

B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

C.无限不循环小数是无理数

D.过一点有且只有一条直线与这条直线平行

【考点】命题与定理；实数；对顶角、邻补角；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行公

理及推论.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】C

【分析】根据点到直线的距离定义对①进行判断；根据平行线性质对②进行判定；根据无理数定义对③

进行判断；根据经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行对④进行判断.

【解答】解：A、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误，不符合题

思；

8、两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，不符合题意；

C、无限不循环小数是无理数，原说法正确，符合题意；

。、经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，该选项说法错误，故不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；熟练掌握正确的命题称为真命题，错误的命

题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理是关键.

17.（2024•岳阳楼区校级开学）下列命题中，真命题是（）

A.平行四边形的对角线相等

B.矩形的对角线互相垂直

C.多边形的外角和为360°

D.三角形的外角等于两个内角之和

【考点】命题与定理；多边形内角与外角；平行四边形的性质；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质、矩形的性质、多边形的外角和、三角形的外角性质判断即可.

【解答】解：A、平行四边形的对角线不一定相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；

8、矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项命题是假命题，不符合题意；

C、多边形的外角和为360°,是真命题，符合题意；

。、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故本选项命题是假命题，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关

键是要熟悉课本中的性质定理.

18.（2024•宝安区校级模拟）下列命题中，正确的是（）

A.顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是矩形

B.若甲、乙两组数据的方差S^=0.39,=0.27,则甲组数据比乙组数据稳定

C.线段A8的长度是2,点C是线段的黄金分割点且ACV8C,贝=遮一1

Q

D.二次函数y=/+3久+热的顶点在x轴

【考点】命题与定理；黄金分割；二次函数的性质；平行四边形的性质；矩形的判定；中点四边形.

【专题】二次函数图象及其性质；统计的应用；多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】D

【分析】根据中点四边形，方差，黄金分割，二次函数性质等逐项判断即可.

【解答】解：顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是平行四边形；故A错误，不符合题意；

若甲、乙两组数据的方差S&=0.39,S：=0.27,则乙组数据比甲组数据稳定；故B错误，不符合题意；

中乙

线段的长度是2,点C是线段AB的黄金分割点且ACV8C,贝遍-1,故C错误，不符合题

思声；

二次函数丫="2+3尤+飘顶点为（—称，0）,在x轴上，故£＞正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握中点四边形，方差，黄金分割，二次函数性质等知识.

19.（2023秋•大渡口区期末）下列命题中，是真命题的是（）

A.同位角相等B.同旁内角互补

C,内错角相等D.对顶角相等

【考点】命题与定理.

【答案】D

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.

【解答】解：A、错误，两直线平行，同位角相等；

B、错误，两直线平行，同旁内角互补；

C、错误，两直线平行，内错角相等；

。、对顶角相等，正确，是真命题，

故选：D.

【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关

键是要熟悉课本中的性质定理.

20.（2023秋•郸城县期末）能说明命题“任何数a的平方都大于0.”是假命题的一个反例可以是（）

1

A.a=-2B.a=0C.a=D.〃=3.14

【考点】命题与定理.

【专题】实数；数感；推理能力.

【答案】B

【分析】写出一个。的值，不满足/即可.

【解答】解：当。=0时，a2=0,

所以命题“任何数a的平方都大于0.”是假命题.

故选：B.

【点评】本题考查了命题与定理有关知识，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子.可据此判断出

正确的选项.

考点卡片

1.数轴

(1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的三要素：原点，单位长度，正方向.

(2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数.(一般取右方

向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.)

(3)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大.

2.绝对值

(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

(2)如果用字母。表示有理数，则数。绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当。是正有理数时，。的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；

③当a是零时，a的绝对值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(a<0)

3.有理数的乘方

(1)有理数乘方的定义：求〃个相同因数积的运算，叫做乘方.

乘方的结果叫做事，在/中，。叫做底数，〃叫做指数.a"读作。的〃次方.(将a"看作是a的"次方的

结果时,也可以读作a的〃次幕.)

(2)乘方的法则：正数的任何次塞都是正数；负数的奇次累是负数，负数的偶次累是正数；0的任何正整

数次幕都是0.

(3)方法指引：

①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幕的符号，然后再计算事的绝对值；

②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减.

4.平方根

(1)定义：如果一个数的平方等于a,这个数就叫做。的平方根，也叫做。的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

(2)求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数a的正的平方根表示为W，负的平方根表示为“-6”.

正数。的正的平方根，叫做。的算术平方根，记作伪.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

5.立方根

(1)定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说，如果4=a,

那么x叫做a的立方根.记作：VH.

(2)正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

(3)求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中。叫做被开方数.

注意：符号正中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一

个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

6.无理数

(1)、定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周率、2的平方根

等.

(2)、无理数与有理数的区别：

①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

1

比如4=4.0,百=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如a=1.414213562.

②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

(3)学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有n

71

的数，如分数5是无理数，因为TT是无理数.

无理数常见的三种类型

(1)开不尽的方根，如VLV3,遮等.

(2)特定结构的无限不循环小数，

如0.303003000300003…(两个3之间依次多一个0).

(3)含有n的绝大部分数，如2n.

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如同是有理数，而不是无理数.

7.实数

(1)实数的定义：有理数和无理数统称实数.

(2)实数的分类：

，、正有理数

有理数•or正实数

实数：I负有理数或实数：0八

下钿J正无理数1负实数

I1负无理数

8.实数的性质

(1)在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样.实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点

与原点的距离.

(2)实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

(3)实数a的绝对值可表示为间={a(a»0)-a(a<0),就是说实数。的绝对值一定是一个非负数，即

|a|20.并且有若|x|=a(a》0),则尤=±a.

实数的倒数

乘积为1的两个实数互为倒数，即若。与b互为倒数，则ab=\-,反之，若ab=l,则a与b互为倒数，

这里应特别注意的是0没有倒数.

9.实数与数轴

(1)实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表

示的数，不是有理数，就是无理数.

(2)在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是

在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

(3)利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原

点左侧，绝对值大的反而小.

10.一元一次方程的解

定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右两边相等.

11.二元一次方程的解

(1)定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

(2)在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以

二元一次方程有无数解.

(3)在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知

数(一般是系数绝对值较大的)的值，再依次求出另一个的对应值.

12.二元一次方程组的解

(1)定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

(2)一般情况下二元一次方程组的解是唯一的.数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次

方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方

程中的字母系数.

13.点的坐标

(1)我们把有顺序的两个数。和方组成的数对，叫做有序数对，记作(a,6).

(2)平面直角坐标系的相关概念

①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴.

②各部分名称：水平数轴叫x轴(横轴)，竖直数轴叫y轴(纵轴)，x轴一般取向右为正方向，y轴一般取

象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点.它既属于无轴，又属于y轴.

(3)坐标平面的划分

建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，

第四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.

(4)坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系.

14.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y

轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符

号

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问

题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.

15.一次函数的图象

(1)一次函数的图象的画法：经过两点(0,b\0)或(1,k+b)作直线

注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、

纵坐标尽量取整数，以便于描点准确.②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线(正比例函数是过

原点的直线)，但直线不一定是一次函数的图象.如x=a,y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是

一次函数的图象.

(2)一次函数图象之间的位置关系：直线y=fcc+b,可以看做由直线>=依平移依个单位而得到.

当6>0时，向上平移；6<0时，向下平移.

注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然;

②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减;

③两条直线相交，其交点都适合这两条直线.

16.二次函数的性质

二次函数丫=。/+法+。(60)的顶点坐标是(一舄———对称轴直线尤=-舄二次函数y=czx2+bx+c

zu4a乙a

(〃W0)的图象具有如下性质：

h_h

①当〃>0时，抛物线yuaf+bx+c(〃W0)的开口向上,xV—万时，y随x的增大而减小；1〉—万时,

^4Cvl/v

y随x的增大而增大；％=-为时，丁取得最小值-4a,即顶点是抛物线的最低点.

②当〃<0时，抛物线yuaf+bx+c(〃#0)的开口向下,xV-塔时，y随x的增大而增大；尤>一旦时,

La'La

y随x的增大而减小；x=-白时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点.

③抛物线丁="/+法+。(〃W0)的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|-名|个单位，再向上或向

4ac—£)2

下平移I------1个单位得到的.

4a

17.直线的性质：两点确定一条直线

(1)直线公理：经过两点有且只有一条直线.

简称：两点确定一条直线.

(2)经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了.

18.对顶角、邻补角

(1)对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置

关系的两个角，互为对顶角.

(2)邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.

(3)对顶角的性质：对顶角相等.

(4)邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°.

(5)邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角都是相对与两

个角而言，是指的两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形成的.

19.垂线

(1)垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一

条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

(2)垂线的性质

在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“过一点”的点在直线上或直线外都可以.

20.垂线段最短

(1)垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.

(2)垂线段的性质：垂线段最短.

正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是相对于这点与直

线上其他各点的连线而言.

(3)实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两

个中去选择.

21.点到直线的距离

11)点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

(2)点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段.它只能量出

或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形.

22.同位角、内错角、同旁内角

(1)同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线

(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角.

(2)内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线

(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角.

(3)同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直

线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角.

(4)三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决

定.在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直

线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“产”形，

内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.

23.平行公理及推论

(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

(2)平行公理中要准确理解“有且只有”的含义.从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思.

(3)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

(4)平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用.

24.平行线的判定

(1)定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，

两直线平行.

(2)定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，

两直线平行.

(3)定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角

互补，两直线平行.

(4)定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.

(5)定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.

25.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

26.三角形内角和定理

(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

(3)三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平

行线.

(4)三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

27.三角形的外角性质

(1)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

(2)三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

(3)若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

(4)探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角.

28.等边三角形的性质

(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，腰和底、顶

角和底角是相对而言的.

(2)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线

是对称轴.

29.多边形内角与外角

(1)多边形内角和定理：(力-2)780°且〃为整数)

此公式推导的基本方法是从〃边形的一个顶点出发引出(n-3)条对角线，将〃边形分割为(«-2)个三

角形，这(〃-