2023年中考备考数学中难题综合复习（二）

初三数学中难题综合复习二

1.（江苏常州・二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线/经过二、三、四象限，且还经过

点（0,机），（2,九），（p,1）和（3,-2）,则下列判断正确的是（）

A.m<nB.m<-3C.n<-2D.p<-1

、4

2.（江苏•苏州高新区实验初级中学一模）如图，反比例函数y=—的图象和二次函数

x

）=f+3元图象交于点人（1,4）,贝U不等式丁+3/一4>0的解集为（）

A.x>lB.0<x<lC.x<0D.工>1或％<0

3.（江苏•泰州中学附属初中三模）在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+b"为常数）

4

的图像与x、y轴分别交于点A、B,直线与双曲线y=—分别交于点尸、Q,则APBP

的值是（）

A.4B.8C.10D.与b的取值有关

4.（江苏•南师附中树人学校一模）二次函数y=-%2+2妹+〃（m,〃是常数）的图象与x轴

两个交点及顶点构成等边三角形，若将这条抛物线向下平移七个单位后（％>0）,图象与x

轴两个交点及顶点构成直角三角形，则上的值是.

5.（江苏南通・二模）已知抛物线,=加+法-3过点（利-6,疗-〃必-3）（机#6）,与y轴和直

线x=4分别相交于点4、2,点M（〃z,〃）为抛物线上A,B两点之间（包含A,2两点）的一

个动点，若“<-3,则b的取值范围为.

6.（江苏南京・二模）如图，线段AB、CD的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点

MC

M.若每个小正方形的边长都是1,则管的值是.

D

7.（江苏泰州•中考真题）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角a=30。的

斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索

道8至山顶。处，此时观测C处的俯角为19。30，，索道8看作在一条直线上.求山顶。

的高度.（精确到lm,sinl9°30'=0.33,cosl9°30,=0.94,tanl9°30'=0.35）

8.（江苏南通•中考真题）如图，为。。的直径，C为。。上一点，弦AE的延长线与过点

C的切线互相垂直，垂足为D,ZCAD=35°,连接8C.

C1）求EIB的度数；（2）若A3=2,求EC的长.

9.（江苏•盐城）如图，点。是正方形A8C0的中心.

（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点0）,使得EB=EC；（保留作图痕迹,

不写作法）

ZCE0.

10.（江苏南京•中考真题）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早Imin出发，乙

的速度是甲的2倍.在整个行程中，甲离A地的距离M（单位：m）与时间x（单位：min）

之间的函数关系如图所示.

（1）在图中画出乙离A地的距离为（单位：m）与时间x之间的函数图;

（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间.

11.（江苏镇江・二模）已知抛物线y=o?+6x+10交x轴于点A（-10,0）和点3（2,0）,其对

称轴为直线/，点C在/上，坐标为（九-3）,射线A3沿着直线AC翻折，交/于点E如图

（1）所示.

（1）a=,b=；

（2）如图（2）,点尸在x轴上方的抛物线上，点E在直线/上，EP=EB且ZBPE=ZBAF,

求证：ABBE=PBAF.

（3）在（2）的条件下，直接写出tanZBAF的值=；直接写出点尸的坐标（，）.

12.(江苏连云港•一模)定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边

形为圆美四边形.

(1)请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称;

(2)如图1,在等腰用AABC中，ABAC=90°,经过点A、B的回。交AC边于点。，交BC

Aft

于点E,连结。石.若四边形ABED为圆美四边形，求二的值；

DE

(3)如图2,在AABC中，经过A、B的回。交AC边于点O,交BC于点E,连结AE,BD

交于点?若在四边形ABED的内部存在一点P.使得NP3C=/AT>P=。，连结PE交于

点G,连结以，若%_LP£>,PB±PE.

①求证：四边形ABED为圆美四边形；

②若£=30。，PA+PE=8,2~=是,求DE的最小值.

初三数学中难题综合复习二解析

1.（江苏常州・二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线/经过二、三、四象限，且还经过

点（0,机），（2,力），（p,1）和（3,-2）,则下列判断正确的是（）

A.m<nB.m<-3C.n<-2D.p<-1

【答案】D

【解析】【分析】设直线/的解析式为>=匕+6（麻0）,根据经过二、三、四象限判断出k,b

的符号，再根据直线/过点（0,m）,（2,n）,（p,1）和（3,-2）,由一次函数的图象性质，

逐项判定即可.

【详解】如图，设直线/的解析式为了=丘+。（b0）,

回直线/经过二、三、四象限，

国%<0,b<0,y随x的增大而减小，

A选项，00<2,y随x的增大而减小，Slm>n,故该选项不符合题意；

3选项，E0<3,y随x的增大而减小，勖〃>-2,故该选项不符合题意；

C选项，02<3,y随尤的增大而减小，囱〃>-2,故该选项不符合题意；

。选项，由图象可知：当y=l时，m/K-l正确，故该选项符合题意.故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数图象性质以及一次函数图象与系数的关系，依照题意画出图形,

利用数形结合找出m,n的取值范围是解题的关键.

4

2.（江苏•苏州高新区实验初级中学一模）如图，反比例函数>=—的图象和二次函数

y=/+3x图象交于点4（1,4）,则不等式^+3/一4>0的解集为（)

A.x>\B.0Vx<1C.x<0D.x>l或x<0

【答案】A

【解析】【分析】根据炉+3/-4>0得出7+3，>4,然后分x>0和x<0分别对应图像求

解即可.

【详解】解：EX3+3X2-4>0,团^+31>4,

当尤>0时：X2+3X>~,由图得：x>l,

X

_4

当x<0时，d+3x<-,有图得：0<%<1（舍去），回x>l,故选：A.

X

【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数综合，根据题意得出d+3/>4然后根据图形判

断解集范围是解本题的关键.

3.（江苏・泰州中学附属初中三模）在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+b（b为常数）

4

的图像与无、y轴分别交于点A、B,直线AB与双曲线>=—分别交于点P、Q,则APBP

x

的值是（）

A.4B.8C.10D.与匕的取值有关

【答案】C

4

【解析】【分析】如图，过尸向乂y轴作垂线，垂足分别为MM,由于尸点在y=—上，设

尸（九丑），代入一次函数解析式，得到关系式，根据=由正切的定义可知

m

BM=2MP,PN=2AN,勾股定理求得AP,3尸，结合已知关系式，即可求得答案.

【详解】如图，过P向无。轴作垂线，垂足分别为

:.ZBPM=ZBAO,

44

••.P点在尸—上，设尸(九一)，代入产-2%+》得：

xm

4-7

—=—2m+b,

m

m(b—2rri)=4,

一次函数y=-2x+b(6为常数)的图像与x、y轴分别交于点A、B,

令尤=0,y=b,则3(0,6),

hh

令y=。,X=~,则A(e，0),

b

..OA=—,OB=b,

2

•/P(m,—),

m

4

/.OM=一,ON=m,

m

b

AN=—m,PM=m,

2

•：ZBPM=/BAO,

tan/BPM=tanZBAO=—=2,

OA

:.BM=2MP,PN=2AN,

:.AP=ylAN^PN2=45AN,BP=^BM2+MP2=45BM，

b

APBP=5AN-PM=5（--m）xm,

,/m（b-2m）=4,

:.APBP=10.故选C.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，正切的定义，掌握以上知识

是解题的关键.

4.（江苏•南师附中树人学校一模）二次函数y=-7+23+”〃是常数）的图象与x轴

两个交点及顶点构成等边三角形，若将这条抛物线向下平移4个单位后（左＞0）,图象与x

轴两个交点及顶点构成直角三角形，则左的值是—.

【答案】2

【解析】【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（％,加+〃），根据抛物线与x轴的

两交点的连线段的长度公式得到抛物线y=-x2+2mx+n（m,〃是常数）的图象与x轴两个交

点的距离为2而帝，根据等边三角形的性质得加2+“=1・2府金，解得加2+〃=3,则

此时抛物线的顶点的纵坐标为3；根据等腰直角三角形的性质得源+〃=万・2y1府+n，解得

m2+n=l,则此时抛物线的顶点的纵坐标为1,从而得到人的值.

【详解】解：回丫=-x2+2mx+n--（尤-施）2+m2+n,

回抛物线的顶点坐标为（m,m2+n）,

抛物线与x轴的两交点的连线段的长度=亚三9=J4m2-4x（-1）x巳=2而三;，

\a\|-1|

当抛物线与x轴两个交点及顶点构成等边三角形时，m2+『与・2"三，所以〃+"=3,

此时抛物线的顶点的纵坐标为3；

当抛物线与x轴两个交点及顶点构成等腰直角三角形时，/+〃=3・2而二，

所以忆2+〃=i,此时抛物线的顶点的纵坐标为1；

回%=3-1—2.故答案为：2.

【点睛】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知抛物线的图象特点及等边三角

形的性质.

5.（江苏南通•二模）已知抛物线丁=凉+云-3过点（根-6,疗-〃必-3）（m#6）,与，轴和直

线x=4分别相交于点4、8,点”（〃工,〃）为抛物线上A,B两点之间（包含A,B两点）的一

个动点，若“<-3,则b的取值范围为.

【答案】

【解析】【分析】先将点（租-6,加-桢-3）代入抛物线解析式求出。的值，再求出点A,8的

坐标，然后根据点M（W）的位置、3建立不等式，解不等式即可得.

【详解】解：将点（加一久加2一56一3）代入、=依2+法一3得：

a（m-b）2+b（m-b）-3=m2-mb-3,

整理得：（a-1）（根-b）2=0,

,：m手b,

a—1=0,解得a=l,

则抛物线的解析式为y=f+fcv-3,

当x=0时，y=-3,即A（0,-3）,

当x=4时，y=4?+46-3=13+46,即8（4,13+46）,

,点为抛物线上A,B两点之间（包含A,B两点）的一个动点，且后-3,

.-.13+4^<-3,解得故答案为：b<-4.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求出。=1是解题关键.

6.（江苏南京・二模）如图，线段AB、CD的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点

M.若每个小正方形的边长都是1,则MC嗓的值是.

C

12

【答案】y

【解析】【分析】在网格上找到RQ，N点，构造相似三角形即可求得言的值.

MD

【详解】如图，设A3与格点的交点为N,N所在网格线与A3所在的网格线的交点分别

为尸,。.

C

AP//BQ

△APNsABQN

PNAP1

QN~~BQ^3

3

：•NQ=I

：.ND=\+-=-

44

又；BC//DN

MCBC312

:.ANDMsABCMiMDND77.故答案为二.

T7

【点睛】本题考查了格点中的相似三角形的判断与性质，利用相似三角形对应边成比例及格

点中的数据求线段长是解题的关键.

7.（江苏泰州•中考真题）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角a=30。的

斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索

道CD至山顶。处，此时观测C处的俯角为19。30，，索道CD看作在一条直线上.求山顶。

的高度.（精确到lm,sinl9°30'=0.33,cosl9-30z=0.94,tanl9°30z=0.35）

【答案】H4m

【分析】过点C作CE0DG于E,CB的延长线交AG于F,在RfflIBAF中可求得BF的长，从而

可得CF的长；在Rt回DCE中，利用锐角三角函数可求得DE的长，从而由DG=DE+CF即可求

得山顶。的高度.

【详解】过点（:作CE0DG于E,CB的延长线交AG于F,设山顶的所在线段为DG,如图所

示

D

G

在RflSBAF中，a=30°,AB=50m

则8F=AB.sina=50x；=25(m)

EICF=BC+BF=30+25=55(m)

在RA3DCE中，0DCf=19°30,,CD=180m

ElDE=CD.sinNDCE工180x0,33。59(m)

回四边形CFGE是矩形

EIDG=DE+EG=DE+CF=59+55=：L：L4(m).即山顶D的高度为114m.

【点睛】本题考查了解直角三角形在实际测量中的应用，题目较简单，但这里出现了坡角、

俯角等概念,要理解其含义，另外通过作适当的辅助线，把问题转化为在直角三角形中解决.

8.(江苏南通•中考真题)如图，为0。的直径，C为0。上一点，弦AE的延长线与过点

C的切线互相垂直，垂足为D,NC4D=35。，连接BC.

(2)求能的度数；(2)若AB=2,求EC的长.

【答案】(1)55。；(2)—.

1O

【分析】(1)连接OC,如图，利用切线的性质得到OCSCD,则判断0aME,所以即AC=I3OC4

然后利用回。CA=EIOAC得至胆IOA8的度数，即可求解；(2)利用(1)的结论先求得ME。=回以。

=70。，再平行线的性质求得回COE=70。，然后利用弧长公式求解即可.

【详解】解：(1)连接OC,如图，

0CD是回。的切线，0OC0CD,

SiAESCD,SiOCSAE,^SiDAC^OCA,

OOA=OC,13cAD=35°,^3\OAC=^OCA=^CAD=35°,

EL4B为回。的直径，H3ACB=90°,00B=9O--0O/1C=55O；

(2)连接OE,OC,如图，

由（1）得EIEAO=I30AC+I3CAD=70",

SOA=OE,EEM£O=0E4O=7O°,

njir70TT77r

0OCEME,S0COE=EMEO=7O°,B4B=2,贝！JOC=OE=1,回EC的长为菽==讴.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线.

9.（江苏•盐城）如图，点。是正方形ABC。的中心.

（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点。），使得EB=EC；（保留作图痕迹,

不写作法）

【分析】（1）作BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上（正方形内部异于点。）的点

E即为所求；

（2）根据等腰三角形的性质和角的和差关系即可求解.

【解析】（1）如图所示，点E即为所求.

(2)证明：连接08,0C,

点0是正方形ABCD的中心,

A0B=0C,

又,：EB=EC,

；.。£垂直平分BC,

：.ZEFB=ZEFC.

'：EB=EC,

；.NEBC=/ECB,

：.Z0EB=Z0EC.

10.（江苏南京・中考真题）甲、乙两人沿同一直道从A地去8地，甲比乙早Imin出发，乙

的速度是甲的2倍.在整个行程中，甲离A地的距离月（单位：m）与时间x（单位：min）

之间的函数关系如图所示.

（1）在图中画出乙离八地的距离%（单位：m）与时间x之间的函数图;

（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间.

【答案】（1）图像见解析；（2）12min

【解析】【分析】(1)根据甲乙的速度关系和甲比乙提前一分钟出发即可确定乙的函数图像；

(2)设甲整个行程所用的时间为xmin,甲的速度为vm/min,利用甲乙的路程相同建立

方程，解方程即可.

【详解】解：(1)作图如图所示：

(2)设甲整个行程所用的时间为xmin,甲的速度为vm/min,

EXV=2V(X-1-5),解得：尤=12,

回甲整个行程所用的时间为12min.

【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，要求学生能根据问题情境绘制出函数图像，能建

立相等关系，列出方程等.

11.(江苏镇江二模)已知抛物线y=o?+6x+10交x轴于点A(-10,0)和点3(2,0),其对

称轴为直线/，点C在/上，坐标为(加,-3),射线A3沿着直线AC翻折，交/于点E如图

(1)所示.

图⑴图⑵

(1)a=,b=；

(2)如图(2),点P在x轴上方的抛物线上，点E在直线/上，EP=EB且ZBPE=ZBAF,

求证：ABBE=PBAF.

(3)在(2)的条件下，直接写出tanNBAF的值=；直接写出点尸的坐标(,).

【答案】(1)a=-1,6=T；(2)证明过程见解析；(3)tanNBAF=g,

【解析】【分析】(1)把A，8代入解析式求解即可；

(2)根据已知条件证明4BPE〜ZXBAF,即可得解；

(3)设/与无轴交于X,求出8C,根据折叠的性质得到ZBAC=NC4F,ZBAF=2ZBAC,

根据正切的定义求解即可；

【详解】(1)把4(-10,0)和3(2,0)代入y=o?+法+io中得,

1

100(2-106+10=0a=—

解得＜2,

4a+2/?+10=0

b=-4

1

-a=——

故J2；

。=一4

(2)国EP=EB,

田/PBE=/BPE,

团点厂在直线/上,

国AF=BF,

^ZFAB=ZFBAf

y^ZBPE=ZBAF,

®/ABF=/BPE=NPBE=/BAF,

0ABPE-ABAF,

BPBE

R]-----=------

BABF

BPBE

团----=-----,

BAAF

^PB.AF=AB.BE,

⑦ABBE=PB・AF；

(3)设/与x轴交于H,作CMSAF,垂足为M,

设对称轴x=-10+2=—4,

2

回HC=O-(-3)=3,AH=-4-(-10)=6,

3

mrnZBAC=-

AH6-2

团射线A5沿着直线AC翻折得到AF,

团团A4C二回CAF;团84b=2回区AC,

^\CM=CH=3,

^\AM=AH=6f

^\MFH=WFA,0FMC=0F7M=9OO,

^FMC^\FHA,

MC生，即L型

团——=

HAFA26+a

3-

MCFM

团----=-----

HAFH

3_a

即66+4+3,

2

36+3〃

团------=6a,

团a=4,

K等6+4

~2~

团尸"=8,

…厂FH84

团tanZBAF=----

AH63

连接B4交直线/于K,

回团A3尸二团尸BE,

m^BP^FBE,

FBBE

回-------,

ABBP

^ABP^FBE,

^\PAB=^BFE9

^BFE=^\AFH,

^\KAH=^AFHf

盟AHK/AHF=90°,

画AH雁］回2A,

AHHK

团---=----,

FHAH

6HK

团一=---

86

9

团KH=一,

2

9

团K(-4,-),

2

315

回直线AK的解析式为y=：x+］，

315

y=—x+——

44

由,

1

y=——x9-4x+10

2

j_

x-

2

解得（即点A）或＜

63

163、

团尸万’¥）

故答案为：金，；，竽.

3zo

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、正切的定义，准

确计算是解题的关键.

12.（江苏连云港,一模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边

形为圆美四边形.

（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称;

（2）如图1,在等腰MAABC中，=90°,经过点A、B的回。交AC边于点。，交BC

于点E,连结OE.若四边形ABED为圆美四边形，求笑的值；

（3）如图2,在AABC中，经过A、8的回。交AC边于点。，交BC于点、E,连结AE,BD

交于点E若在四边形ABED的内部存在一点P.使得/P3C=/ADP=tz,连结PE交3。于

点G,连结B1,若R4_LPD,PBA.PE.

①求证：四边形ABED为圆美四边形；

【答案】（1）正方形；（2）72+1（3）①见解析，②DE的最小值为4后

【解析】【分析】（1）根据圆美四边形的定义直接得出结论;

(2)先判断出回8匹=回。成