中考数学易错易混集训：一元二次方程（五大易错类型）

专题06易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型

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目录

【典型例题】...................................................................................

【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略“aWO”】.....................................1

【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略ZW0”1.............................................................................3

【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略..............................8

【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△=()”].......................................12

【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】.......................................15

【典型例题】

【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略

例题：(2023春•山东泰安•八年级校考阶段练习)关于X的方程加*-3=0是一元二次方程，则

加的值是()

A.0B.-1C.1D.±1

【答案】B

【分析】理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0;②未知数的最高次数为2；

结合一元二次方程的定义，可以得到关于别的方程和不等式，求解即可得到加的值.

【详解】解：•.•原方程是关于x的一元二次方程，

J加-1w0

+1=2，

解得加=一1.

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

【变式训练】

1.(2022秋•海南省直辖县级单位•九年级校考阶段练习)方程(加-2)/1+3加x-4=0是关于x的一元二次方

程，贝1]()

A.m=±2B.m=2C.m=-2D.冽w±2

【答案】c

【分析】根据一元二次方程的定义，即含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次

方程，可得方程，解方程即可求解.

【详解】解：•.•方程（加-2）/1+3加》-4=0是关于云的一元二次方程，

Jm-2w0

一||m|=2

..in——2,

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键.

2.（2022秋•四川达州•九年级校考期末）若关于x的方程（加+2）/-+6彳-9=0是一元二次方程.则加的值

为（）

A.m手—2B.m=+2C.m=—2D.m=2

【答案】D

【分析】根据一元二次方程的概念得出关于m的方程，进而得出结果.

【详解】解：二•关于x的方程（冽+2）--+6无-9=0是一元二次方程

・••加2-2=2,且加+2。0,

m=2

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，理解一元二次方程的概念是解题的关键.

3.（2022秋•新疆乌鲁木齐•九年级校考期末）若标万x""i+2x-1=0是关于x的一元二次方程，则加的值

是.

【答案】2

【分析】利用二次方程的定义列方程及不等式解题即可.

【详解】解：由题意得：同=2,m-l>0,

解得：m=2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查二次方程的定义及二次根式的非负性，能够根据定义及性质列式是解题关键.

4.（2022秋•新疆乌鲁木齐•九年级乌鲁木齐市第九中学校考期末）已知方程（苏-2加卜同-x-9=0,当加=

时，是关于x的一元二次方程.

【答案】-2

【分析】根据一元二次方程的定义可进行求解.

【详解】解：•.•"-2以卜同一无一9=0是一元二次方程，

|m|=2,m2-2mw0,

m=-2.

故答案为-2.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

5.（2023秋糊南湘西•九年级统考期末）已知：（加-1）”叫+6x-l=0是关于x的一元二次方程，贝！I

m=.

【答案】3

【分析】根据一元二次方程的定义即得出何+1|=2且加_1片0,解出加即可.

[m-1^0

【详解】根据一元二次方程的定义可得：jlm+1l=2,

解得：m=—3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义.掌握一元二次方程必须满足的两个条件：未知数的最高次数是2；

二次项系数不为0是解题关键.

【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略“W0”】

例题：（2023•全国•九年级假期作业）关于x的一元二次方程（加-1）/+2》+|加|T=0,常数项为0,则冽的

值等于（）

A.1B.-1C.1或一1D.0

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的定义即可求得加的值.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程（刃-1）/+2尤+同-1=0,常数项为0,

M-1=o,

・••加=1或-1,

:关于X的方程（〃L1）尤2+2X+网-1=0是一元二次方程，

加一1w0,

・••加W1,

m=-\•

故选B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023•山东泰安・新泰市实验中学校考一模）关于x的一元二次方程-x+/_i=o的一个根为0,

则实数。的值是（）

A.1B.-1C.0D.+1

【答案】B

【分析】根据一元二次方程解的定义得到/一1=0,再解关于。的方程，然后根据一元二次方程定义确定a

的值.

【详解】解：把x=0代入一元二次方程（"l）x2-x+/_l=o

得/_i=o,

解得%=l,a2=-1,

而a—1N0,

，。的值为T,

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解，也考查了一元二次方程的定义，解题的关键是注意1W0.

2.（2023春•浙江•八年级期中）若关于x的一元二次方程（。-1）/+工-/+1=（）有一个根为0,则。的值等

于（）

A.-1B.0C.1D.1或者-1

【答案】A

【分析】根据一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，将x=0代入方程可得_02+1=0,根据二次

项系数不为0,可得awl,进而即可求解.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程（。-1）/+苫-/+1=0有一个根为0,

—a2+1=0>a—1/0,

♦•a=-1,

故选

【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，解题的关键是注意二次项系数不能

等于0.

3.（2023春•北京东城•八年级北京市第一六六中学校考期中）若关于x的一元二次方程

（机+2）/+4工+（/2-4）=0有一个根为0,则实数冽的值为（）

A.2B.-2C.-2或2D-1或0

【答案】A

【分析】根据一元二次方程的解的定义，即可求解.

【详解】解：:一元二次方程（冽+2）/+4x+（疗-4）=0的一个根为0,

将x=0代入（冽+2）/+4、+（冽2—4）=0,可得m2—4=0且加+2w0,

解得：m=2.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的

解是解题的关键.

1.（2023秋•辽宁丹东•九年级统考期末）若关于x的一元二次方程（加-2）/+3x+疗-4=0有一个根为0,

贝!Jm=.

【答案】-2

【分析】把x=0代入方程（〃-2）/+3》+切2-4=0,解方程即可求得加的值，且机-2片0,从而即可得到

答案.

【详解】解：把x=0代入方程（加一2）/+3%+m2—4=0得，

加2-4=0,

解得：町=2,m2=-l,

7-2/0,

"7N2,

..171——2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的解，解题时，注意关于x的一元二次方程

（m-2）x2+3x+m2—4=0二次项系数不为零，即加—2W0.

4.（2023•全国,九年级假期作业）若x=0是一元二次方程/+加=1》+62-4=0的一个根，则6的值

是.

【答案】2

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入尤2+后卫+62-4=0得/一4=0,然后解关于6的

方程即可.

【详解】解：把x=0代入》2+7^1尤+62-4=0得〃一4=0,

解得6=±2,

：.b>l,

b=2.

故答案为：2

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解，还考查了二次根式有意义的条件.

22

5.（2023春・北京西城•九年级北师大实验中学校考阶段练习）若关于x的一元二次方程（a+l）x-ax-a=0

有一个根是x=1,则a=.

【答案】1

【分析】根据一元二次方程的定义可得aW-1，根据一元二次方程的解的定义将x=l代入原方程，得到关

于。的一元二次方程，解方程即可求解.

【详解】解：•.•关于X的一元二次方程（。+1）%2—/x—q=0有一个根是X=1,

••Q+1—Q2—a=0QW—1,

解得：4=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键.

6.（2023秋•江苏扬州•九年级校考期末）若关于1的一元二次方程（左-2）1+6、-左2—左二。有一个根为1,则

左的值为.

【答案】-2

【分析】根据一元二次方程根的定义，将1代入关于x的一元二次方程（»2）Y+6x-左2—左=。得到关于左

的方程求解，再根据一元二次方程定义确定左值即可得到答案.

【详解】解：由题意得：

才巴X=1代入方程（左一2）工2+6x—左2—左=0,得：

左一2+6—左2—左二。，

解得：k=±2,

•..左一2w0,

:.k丰2

k——2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键.

7.（2022秋•新疆乌鲁木齐•九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程（加+l）/+5x+加2+加=o有一个根

为0,则切=.

【答案】0

【分析】根据题意可知将x=0代入方程所得式子仍然成立，可得加的值为0或1，利用一元二次方程成立

的条件可知加/I,从而可得答案机=0.

【详解】解：把x=0代入方程可得加2+加=0

.,.加=0或1

•••方程是一元二次方程

机+1/0,即加H-1

:.m=0

故答案为：m=0

【点睛】此题考查一元二次方程的解的定义，需要注意一元二次方程成立的条件，将解代入方程并保证二

次项系数不等于0是解题的关键.

【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略““WO”】

例题：（2023春・浙江金华•八年级统考期末）若关于x的一元二次方程区2一2入+4=0有两个相等的实数根,

则k的值为（）

40或43.4或8C.8D.4

【答案】D

【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式A=〃-4ac=0,建立方程，求出值即可.

【详解】解：二•关于x的一元二次方程for,-2^+4=0有两个相等的实数根，

/.A=Z>2-4«C=（-2*）2-4*X4=0,

解得左=4,心=0（舍去）.

...人的值为4,

故选：D.

【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式.一元二次方程办2+云+c=0（a/0）的根与A=〃-有如

下关系：（1）A>0o方程有两个不相等的实数根；（2）A=0o方程有两个相等的实数根；（3）A<0=方

程没有实数根.

【变式训练】

1.（2023春•黑龙江大庆•九年级校考期末）已知方程（斤-3）f+2x+l=0有两个实数根，则左的取值范围是

（）

A.左<4B.k<4C.左<4且左w3D.左W4且左w3

【答案】D

【分析】根据根的判别式和己知得出A20且左-3/0,求出解集即可.

【详解】方程（"3）/+2x+l=0有两个实数根，则ANO,且"3W0,

即22,4（后-3）20,k丰3

解得：上44且左W3,

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能根据根的判别式得出关于k的不等式是解此题

的关键.

2.（2023•山东聊城•统考中考真题）若一元二次方程%工2+2式+1=0有实数解，则机的取值范围是（）

A.m>-1B.m£1C.m>-IJLm0D.以£1且TMNO

【答案】D

【分析】由于关于x的一元二次方程mx2+2x+l=0有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知A>0,

且小片0,据此列不等式求解即可.

【详解】解：由题意得，4-4m>0,且加/0,

解得，m£1,且机W0.

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程"2+法+0=0（"0）的根的判别式公=62_4切与根的关系，熟练掌握根

的判别式与根的关系式解答本题的关键.当A>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，一

元二次方程有两个相等的实数根；当△<（）时，一元二次方程没有实数根.

3.（2023•河南南阳•统考三模）若关于x的一元二次方程（1-左），-5尤+5=0有两个不相等的实数根，则先

的值可以是（）

,1「1

A.—B.1C.—1D.—

43

【答案】D

【分析】根据方程的系数结合根的判别式A>0,可得出关于左的一元一次不等式，结合二次项系数不等于

0,可得出左的取值范围，对照四个选项即可得出结论.

【详解】解：；关于x的一元二次方程（1-左）x2-5x+5=0有两个不相等的实数根，

A=（-5）2-4x（1-A:）x5=5+20A;>0,

解得：人〉—J，

4

〈I—左w0,

k>—且kw1,

4

故选：D.

【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记"当A>0时，方程有两个不相等的实数根

4.（2023春•山东泰安•八年级统考期末）关于x的一元二次方程（。+1）X2-4X+1=0有两个不相等的实数根,

则。的取值范围是（）

A.a<3J!La*-1B.a<3C.a<3且aw-1D.a<3

【答案】C

【分析】根据根与系数关系及一元二次方程定义列式求解即可得到答案；

【详解】解：二•一元二次方程（a+l）/-4x+l=0有两个不相等的实数根，

w0

K--4x（6Z+l）xl>0'

解得：4<3且4。一1,

故选C；

【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根时

△—廿一4ac>0•

5.（2023•湖北荆州•统考中考真题）已知关于x的一元二次方程依2_（2左+4卜+"6=0有两个不相等的实

数根.

⑴求上的取值范围；

（2）当后=1时,用配方法解方程.

2

【答案】（1）左>一弓且左wo

（2）X1=3+JiW,x2-3-V14

【分析】（1）根据题意，可得（2人+4『-4左（后-6）>0,注意一元二次方程的系数问题，即可解答，

（2）将4=1代入履2一（2上+4）龙+左一6=0,利用配方法解方程即可.

【详解】（1）解：依题意得：，、2,、，

△=（2左+4）—4左（左一6）=40左+16>0

2

角牟得k>一1且左。0;

（2）解：当左=1时，原方程变为：――6工一5=0,

贝府-_6X+9=5+9,

.•.（X-3）2=14,

x-3=，

，方程的根为*=3+VF?,x2=3-V14.

【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程

是解题的关键.

6.（2023•江苏•九年级假期作业）关于x的一元二次方程蛆2.4》+3=0有实数根.

⑴求〃？的取值范围；

⑵若加为正整数，求出此时方程的根.

4

【答案】⑴〃且机片0

（2）X]=1,x[=3

【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式A20,可得出关于加的一元一次不等式组，解之即可得出加

的取值范围；

（2）由（1）的结论，结合仅为正整数，可得出机的值，再其代入原方程，解之即可得出结论.

【详解】（1）解：：关于x的一元二次方程加/-4》+3=0有实数根，

加H0

A=（-4）2-4xmx3>0>

4

解得：冽且加w0,

4

：.m的取值范围为冽且加w0；

4

（2）•.•冽W]且加。0,且冽为正整数，

m=1,

・,・原方程为4X+3=0,

即（％—3）（x—1）=0,

解得：玉=1,工2=3.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解

题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式A20,找出关于冽的一元一次不等式组；（2）代入冽

的值，求出方程的解.

7.（2023・全国•九年级假期作业）已知关于工的一元二次方程（加-4）/-（2加-1）%+冽=0有两个不相等的实数根.

⑴求机的取值范围；

⑵当机取满足要求的最小正整数时，求方程的解.

【答案】(1)加>-｝且加片4

e-1-V13-1+V13

⑵为=-^,x2=-^

【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=〃-4℃=[-(2"[-1)丁-4%何-4)>0,

且加-4/0,求出冽的取值范围即可；

(2)得到加的最小整数，利用公式法解一元二次方程即可.

【详解】(1)丁一元二次方程(加-4)X2-(2"L1)X+"Z=0有两个不相等的实数根，

\=b2—4ac=[-(2m-1)]2-4m同-4)=>0,且〃z—4W0,

4m2-4m+l-4m2+16m>0>且/n—4/0,

解得：m>--L且加片4；

12

(2)用满足条件的最小正整数是m=l,

止匕时方程为一3/—x+l=0，

1±J(-l)2-4x(-3)x11+713

x-2x(-3)--6

解得：玉=士叵，x2=匚手.

66

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程

加+6X+C=0("0)的根与判别式A="_4ac的关系是解答本题的关键.

【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△中()”】

例题：(2023春•安徽马鞍山•八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末)若加、”是关于x的方程

/+(2左+3)x+/=o的两个不相等的实数根，且工+1=-1,则左的值为.

mn

【答案】3

【分析】根据根与系数的关系得到机+〃=一2左一3,mn=k2,再根据工+1=-1得至一2左-3=0,解方程

mn

求出后的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可.

【详解】解：••,加、"是关于X的方程，+(2左+3卜+左2=0的两个不相等的实数根，

••m+n=-2k-3,mn=k2,

mn

.m+n1,

..----=-1,n即n〃？+〃=-mn,

mn

：._（-2k-3）=k：

/.左2-2左一3=0,

解得太=3或左=—1,

又•••方程有两个不相等的实数根，

A=（2左+3『一4左2>0,

k>--,

4

:・k=3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方

程的相关知识是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023•全国•九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程/+2s+/-机+2=0有两个不相等的实数

根，且X1+%+匹=2,则实数加=.

【答案】3

【分析】利用一元二次方程尤2+2加x+/-加+2=0有两个不相等的实数根求出加的取值范围，由根与系数

关系得到西+x?=-2刃,再了2=病-"z+2,代入%+xZ+占•％=2,解得加的值，根据求得的根的取值范围，

确定m的值即可.

【详解】解：.••关于》的一元二次方程/+2妙+苏-机+2=0有西个不根等的实数根，

A=（2加）'一4（加2-加+2）=4加一8>0,

解得m>2,

xl+x2=-2m,xlx2=nf-m+2,龙［+9+无］=2,

—2m+m2—m+2=2

解得见=3,牡=0（不合题意，舍去），

・••加=3

故答案为：3

【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系

数关系的内容是解题的关键.

2.（2023春•黑龙江大庆•八年级统考阶段练习）已知关于x的方程/+2》+%=。有两个不相等的实数根.

（1）求机的取值范围.

⑵若两个实数根分别是A,x2,且（再2-I）?+2（再+三）=0,求加的值.

【答案】⑴加〈1

⑵m=—\

【分析】（1）根据题意可得A>0,继而求得实数用的取值范围；

（2）由方程的两个实数根为小巧，且》；+君+（痞）2=7,可得方程/+2加-3=0,解关于加的方程求得

答案.

【详解】⑴解：・.•关于x的一元二次方程/+2》+%=0有两个不相等的实数根.

A=b2-4ac=22-4xlxm>0,

即以<1；

（2）解：由根与系数的关系可知：x,+x2=-2,Xl-x2=m,

'''—1）~+2（X]+x?）=0,

.-.（m-1）2-4=0

m-\=+2,

解得加=3或"2=-1,

而用<1,

二优的值为T.

【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系.注意A>00方程有两个不相等的实数根，若二次项

系数为1,常用以下关系：A，王2是方程f+px+quO的两根时，Xj+x2^-p,x/=q.

3.（2023春■安徽六安•八年级统考期末）已知关于工的一元二次方程2工2+41+〃7=0.

⑴若x=l是方程的一个根，求加的值和方程的另一根；

⑵若占、%是方程的两个实数根，且满足x；+X；+5%％=0,求冽的值.

【答案】⑴加的值为-6,另一个根为-3

⑵机的值为-2

【分析】(1)直接把x=l代入方程2/+4》+加=0中，求出加的值，再根据根与系数的关系求出另一个根

即可；

(2)根据根与系数的关系得到西+超=-2,匹•/=£,再利用判别式求出用42,结合已知条件推出

22

(X1+X2)+3X1X2-(X1XJ=0,即L2)2+31-(m：0,解方程即可得到答案.

【详解】(1)解：将x=l代入方程得，2xf+4x1+加=0,

解得m=-6

设另一个根为々，贝□+%=-：4，

解得％2=-3

工加的值为-6,另一个根为-3；

4YYI

(2)解：由题意得：占+工2=—5=-2百•%=5，

同时满足△20即42—4x2加20,

m<2,

x；+x；+5再入2—=0,

（占+工2）2+3再入2-（%工2）2=0

m

，（-2）2+3号-=0

解得加=-2或加=8,

'/m<2

m=—2,

.,.加的值为-2.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二

次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键.

【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】

例题：（2023・四川凉山・统考一模）已知等腰三角形/BC的一边长。=6,另外两边的长瓦c恰好是关于x的

一元二次方程无2-（3左+3）x+9左=0的两个根，则“BC的周长为

【答案】15

【分析】分情况讨论：若。作为腰，则方程的一个根为6,将6代入求出左的值，然后求出方程的解，得出

三角形的周长；将。作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据△=（）求出发的值，然后将左的值代

入方程求出解，得出周长.

【详解】若。=6为腰，则氏c中还有一腰，即6是方程/-（3左+3）x+9左=0的一个根.

/.6?-（3汇+3）x6+94=0

解得：k=2

2

将左=2代入x2-（3左+3）x+9左=0得：X-9X+18=0

解得：.再=3,无2=6,

此时能构成三角形，A4BC的周长为：6+3+6=15

若。=6为底，则6=c,即方程/-（3上+3）尤+9左=0有两个相等的实根.

A=[—（3左+3）丁一4x9左=0

解得：/=&=1

将左=1代入x?—（3左+3）x+9左=0得：%2-6x+9=0

解得：.占=%=3,

V3+3=6

•••此时不能构成三角形，不能计算周长

综上可得：”3C的周长为15.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按

若。是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键.特别注意验证是否能构成三角形.

【变式训练】

1.（2023春•黑龙江大庆•八年级校联考期中）方程/-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则

这个三角形的周长是（）

A.12B.15C.12或15D.18或9

【答案】B

【分析】先利用因式分解的方程求出一元二次方程的两个根，然后分别讨论两个根为底边时能否构成三角

形，最后求解即可.

【详解】解：-9x+18=0,

6）=0,

解得：网=6,x2-3,

:当底为6,腰为3时，由于3+3=6,不符合三角形三边关系，

...等腰三角形的腰为6,底为3,

，周长为6+6+3=15,

故选B.

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和构成三角形的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进

行求解.

2.（2023春•重庆•九年级重庆八中校考阶段练习）一个等腰的底边为4,腰是方程一一5》+6=0的一个根.则

这个等腰三角形的周长可能是（）

A.8B.10C.8或10