江苏省常州市某中学2024届高三第三次模拟数学试题（含答案解析）

江苏省常州市金坛第一中学2024届高三第三次模拟数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=｛刈尤2-尤一2<0｝,8=｛x|y=log2（尤一1）｝,则AU3=（）

A.(-1,1)B.(-1,3)C.(-1,+co)D.(l,+oo)

2.若复数z满足上2=i,则同=(

z

A.5/5B.2C.72D.1

22

3.已知双曲线——匚=1,贝广〃z=2”是“双曲线C的离心率为百”的（）

mm+2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

已知

4.tanfa+—1=—2,则sin2a=(

2

AB.

-14

5.己知数列｛%｝为等差数列，也｝为等比数列，%=用=3,贝U（）

A.bxb-j>axaqB.bx+b-j>ax+an

C.他Vq%D.<ax+a-.

6.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该

球的表面积为（）

A.4%B.6兀C.8TID.1071

7.己知点尸是直线彳-»-“=。上的动点，由点尸向圆。：/+/=1引切线,切点分别为知,代

且NMPN=90。，若满足以上条件的点尸有且只有一个，则7”=（）

A.72B.±72C.2D.±2

8.在VABC中，ZACB=120°,BC=2AC,Z）为VA5C内一点，ADLCD,NBDC=120°,

则tanNACD=（）

A.2A/2B.遇C.76D."

22

二、多选题

9.随机变量X,y分别服从正态分布和二项分布，即X~N（2,1）,则（）

A.P（X<2）=1B.E（X）=E“）c.D（x）=r>（r）D.p（y=i）=|

r

10.在VABC中，已知tan,=sin（A+B）,则以下四个结论正确的是（）

A.cosAcosB最大值—

2

B.sinA+sinB最小值］

C.tanA+tanB的取值范围是［2,+oo）

D.sin2A+sin2B+sin2C为定值

11.如图，有一个正四面体ABC，其棱长为1.下列关于说法中正确的是（）

A.过棱AC的截面中，截面面积的最小值为正

4

B.若P为棱8£>（不含端点）上的动点，则存在点P使得cosZAPC=：

C.若M,N分别为直线AC,2。上的动点，则M,N两点的距离最小值为电

2

D.与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有10个

三、填空题

12.集合A={HTWX+1V6},B=^x\m-l<x<2m+l,meR^,若A|JB=A，则实数力的

取值范围为.

13.已知甲，乙两位同学报名参加学校运动会，要从100米，200米，跳高，跳远四个项目

中各选两项，则甲，乙两位同学所选项目恰有1项相同的概率为.

试卷第2页，共4页

xe*-x2-2x(x<1)

14.已知函数应x）=当xG(—co,利时，段）,则实数m

2无一3(x>l)

的取值范围是.

四、解答题

15.近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起.某企业着力推进技术革新，利润稳步

提高.统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图.其中

2019年至2023年对应的年份代码依次为1,2,3,4,5.

［利润y（亿元）

100

90•

80•

75..,

70

~oj，341年）代码X

⑴根据散点图判断，y=a+瓜和y=c+公2哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于

年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于龙的回归方程；

（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润.

参考公式及数据；

〃__

3=^--------->a=y-bx,

j=l

l=\j=lj=lj=lj=l

£X；=55,txf=979,Zy,.=390,£x*=1221,2；r2y.=4607.9

55555

TT

16.在平行六面体A8CD-A瓦G2中，底面ABCD为正方形，AB=AA,=2,A\AB=~,

侧面cr>2G，底面ABCD.

多~

/\K77/

7C

AB

（1）求证：平面A8C±平面CDD£；

（2）求直线ABt和平面48G所成角的正弦值.

17.己知函数/（X）=2（znx-lnx）+e.

⑴若f（无）的图象在点QJ⑴）处的切线与直线/：2x+y+1=0垂直，求机的值；

⑵讨论了（尤）的单调性与极值.

22

18.已知椭圆3+2=1（。>。>0）的左右顶点分别为A，&,右焦点为尸，已知

ab

M=3，M=i.

（i）求椭圆的方程和离心率；

⑵点尸在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线劣尸交>轴于点。，若三角形APQ的面积是三角

形&尸尸面积的二倍，求直线人尸的方程.

19.在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法.给定两个正整数%”,若函数/（x）的

〃7+〃阶导数存在，函数“X）在x=0处的［m,n］阶帕德近似定义为：

=…，且满足：〃0）=R（0）"'（0）=R（0）,…，1+"）（0）=心叫。），

其中/㈤⑴为函数了⑺的左阶导数.对于给定的正整数"V,函数/■（%）的上W,同阶帕德近

似是唯一的，函数“X）的帕德近似记为［向%X）.例如，［1/2&3=言.

（1）证明：当时，sinx<x<tanx；

（2）当尤e（0,1）时，比较sinx与口/2］sin（j）的大小；

（3）数列｛%｝满足q=2,a.+i=2sin^,记S,=4+电+…+。,，求证：50TT<S2024<100n.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CCAAACDBABCACD

题号11

答案AC

1.C

【分析】解不等式化简集合4求出函数的定义域化简集合8,再利用并集的定义求解即得.

【详解】解不等式尤2_》_2<0,得一1<》<2,即A=(T2),

函数y=log2(x-l)有意义，得解得x>l,则8=(1,+00),

所以AU3=(-I,E).

故选：C

2.C

【分析】根据复数的乘、除法运算可得z=T-i,贝丘=-l+i，结合复数的几何意义即可求

解.

【详解】由二/，^z=—=^=-l-i,

Z11

所以』=-l+i，^|Z|=A/1+T=V2.

故选：C

3.A

【分析】分类讨论双曲线焦点所在位置，结合离心率可得根的取值范围为{-4,2},再根据

包含关系分析充分、必要条件.

【详解】若双曲线C的离心率为百，则有：

当双曲线C的焦点在X轴上，贝叫72c7解得相>0,

[b2=m+2>0

可得J1+管=6,解得机=2；

当双曲线C的焦点在y轴上，贝=一”"：2)>°,解得加<_2,

b=-m>Q

可得3+不[=6,解得m=T；

综上所述：加的取值范围为{-4,2}.

答案第1页，共14页

显然｛2｝是｛-4,2｝的真子集，

所以“m=2”是“双曲线C的离心率为6”充分不必要条件.

故选：A.

【分析】先求得tana,再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【详解】依题意，tan[a+1]=：ana+l=_2,tana=3,

1-tancr

2sinicos。63

sin2a+cos2atan2or+19+15

故选：A

5.A

【分析】利用等比数列和等差数列的性质结合基本不等式求解即可.

【详解】由｛%｝为等差数列，也｝为等比数列，%=2=3,

可得4+%=2a&=6,1>四=b：=9.

由41幺爱J=9，当且仅当0=%=3时取等，

可得«i«7=仿仿，故A正确，C错误.

当白>0时，4+白？2小姑7=6=q+%;

当且仅当伪=2=3时取等，

当仇<0时，bx+b-f<-2,结7=_6<q+%,

当且仅当4=白=-3时取等，故B,D都错误.

故选：A.

6.C

【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.

【详解】由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为小

则r=/+1|1=五,故该球的表面积为4*=8兀.

故选：C

答案第2页，共14页

7.D

【分析】连接OM，ON,结合圆的切线性质可推得点尸在以点。为圆心，下为半径的圆C上,

再由题意可知该圆与直线x-y-加=0相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.

【详解】连接则HW_LOM,PN_LQV.

又NMPN=90°,OM=ON,所以四边形MPNO为正方形，.•.|PO|=0|ON|=0,

于是点尸在以点。为圆心，&为半径的圆C上.

又由满足条件的点P有且只有一个，则圆C与直线=0相切,

所以点0到直线x-y-根=。的距离4=后，解得加=±2.

故选：D.

8.B

【分析】在RtA4）C中，设NACE>=。，AC=x,即可表示出CB,CD,在△BCD中利用正

2x_xcos3

弦定理得到国=sin（"60。）,再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切,

即可得解.

【详解】在RtjWC中，设NACD=，［o<6<；］,令AC=x（尤>0）,

则CB=2x,CD=xcosO,

在△5⑺中，可得ZBCD=120。—夕，ZCBD=6>-60°,

由正弦定理———=———,

sinZCDBsinZCBD

2xxcosOxcosO

得由飞的-6。。）一Lm”38S0,

222

答案第3页，共14页

41

所以耳

22

nT^tan6>=—,tanZACD=—.

22

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到△BCD中

利用正弦定理得到关系式.

9.ABC

【分析】A选项，根据正态分布对称性得到A正确；BC选项，根据正态分布和二项分布求

期望和方差公式求出答案；D选项，利用二项分布求概率公式进行求解.

【详解】A选项，根据正态分布的定义得尸（X4〃）=g,故A正确；

B选项，E（X）=〃=2,£（y）=4x1=2,故E（X）=E（y）,故B正确；

c选项，D（X）=/=I,o（y）=4x1xl=i,故。（x）=n（y）,故C正确;

选项，（）

Dpy=i=ci?!xh-1故D错误.

4

故选：ABC.

10.ACD

c

【分析】根据tan]=sin（A+3）可判断VABC是以。为直角的直角三角三角形，进而根据三

角函数的性质以及恒等变换和诱导公式即可逐一求解.

.C

ccsin—CC

【详解】由tan]=sin（A+5）得tanmusinCn2=2sin-cos一,

C22

cos—

2

因为彳｛（。，彳],所以singw0,cosg>0,故850=，^=>2='=>。=女，

2I2；2222242

对于A;cosAcosB=cosAcos=cosAsinA=—sin2A当2A£（0,兀），所以

2

|sin2Ae[o,1,最大值为!，故A正确,

212」2

对于B;sinA+sinB=sinA+sinI-AI=sinA+cosA=6sin]：+A

因为A£[o,,],.，.A+—ef—+AjG^LA/2J,故取不到1,故B错误,

答案第4页，共14页

对于C,tanA+tanB-+sin3_sinAcosB+sinBcosA_sin（A+5）_1由选

cosAcos3cosAcosBcosAcosBcosAcosB

项A可知--------->2,故C正确，

cosAcosB

对于D;sin2A+sin2g+sin2c=sin2A+sin2A^j+1=sin'A+cosR+l=2,故D正确，

故选：ACD

11.AC

【分析】选项A三角形的底边一定，高最小时面积最小确定；选项B用余弦定理可得；选

项C,易得M,N分别为线段AC,BD的中点时，M,N的距离最小，即可判断；选项D分

类讨论可得.

【详解】对于A,设截面与棱3。的交点为。，

如图，

过棱AC的截面为AACQ,则。为棱3。的中点时，AACQ的面积取得最小值,

在等腰AACQ中，AC=1,AQ=CQ=^,可求得S"0=正，故A正确；

对于B,因为AB=BC,BP=BP,ZABP=NCBP,所以

、C2君

所以AP=CP,^AP=CP=t,tG,1,则-©[J

2)t

4尸2+。尸2-4。2

It2-121

在△ACP中,cos/APC=亍~=1方

2APCP

所以§WcosZ.APC<—,故B错误;

答案第5页，共14页

c

对于C,取线段AC,BD的中点分别为M,N,因为AN=NC,

所以在等腰A®VC中，MN为底边上的中线，

则MVJLAC,同理可证MV_LB£),

故MN为线段AC,8。的公垂线，

所以M,N分别为线段AC,2。的中点时，M,N的距离最小，

AM=CM=—,所以政V=

2

即M,N两点的距离最小值为电，故C正确；

2

对于D,与正四面体各个顶点的距离都相等的截面分为以下两类：

(1)平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个;

(2)平行于正四面体的两条对棱，且到两条对棱距离相等，这样的截面有3个，

故与正四面体各个顶点的距离都相等的截面共有7个，故D错误.

故选：AC.

12.(-^,-2]u[-l,2]

【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求优的范围.

【详解】由=且A={x|—2<%<5},

当3=0时，B<^A,则加一122m+1,即机4一2,

答案第6页，共14页

m-1>-2

当时，若贝上机>一2,解得—IV机《2,

2m+1<5

综上，实数优的取值范围为(一2]u[T,2].

故答案为：(-«,-2]u[-l,2].

13.-

3

【分析】分别求出两位同学从4个不同的项目中各选2项、两位同学所选的项目恰有1项相

同的选法，结合古典概型的概率公式计算即可求解.

【详解】甲乙两位同学从4个不同的项目中各选2项，共有C：C；=36种选法，

甲乙两位同学所选的项目恰有1项相同，共有C：C；C；=24种选法，

242

所以甲乙两位同学所选的项目恰有1项相同的概率为prr

363

2

故答案为：—.

14.[-1,2-二]

2e

【分析】先分类讨论，求解在不同区间的最值，利用最值取得的条件对参数加进行讨论.

【详解】当时，/(x)=(x+D(e「2),

令/'(%)>。，贝!Jln2<x<l或％<—1；/z(x)<0,则一l<%<ln2,

・•・函数f(x)在(-1,ln2)上单调递减，在(9,-1),(ln2,l)单调递增，

.•・函数f(x)在X=-1处取得极大值为=1-,

在x=ln2出的极小值为/(ln2)=-(ln2)2,"l)=e-3.

当x>l时，f(x\=2x-^--,:A<x2--,

e2e

综上所述，优的取值范围为卜1,2-J

故答案为：[-1,2-^-]

2e

15.(l)y=c+“适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程类型

⑵5=68.65+0.85x2

答案第7页，共14页

（3）估计2024年的企业利润为93.3亿元

【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案;

（2）利用最小二乘法求出乩时即可得解；

（3）令尤=6即可得解.

【详解】（1）由散点图的变化趋势，知〉=。+公2适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于

年份代码x的回归方程类型;

15-I，=1

(2)由题意得：V=w£(%)2=ll,9=：Z%=78,

3,=i55

“仙八

4607.9-5ux——55x——390

55317.9

d=2=0.85

,⑺，5x(行55374

979-5x

39055

x2=-------0.85X—=68.65,

55

所以亍=68.65+0.85/；

⑶令尤=6,y=68.65+0.85x62=99.25,

估计2024年的企业利润为99.25亿元.

16.(1)证明见解析

⑵迈

7

【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【详解】（1）因为底面ABC。为正方形，

所以3C，CD,又侧面CDD£1底面ABCD,

侧面C£>2Gn底面ABCD=CD,且BCu平面ABC。,

所以BC,平面CDAG，

又因为BCu平面ARC,所以平面ABC,平面CDRG.

JT

（2）因为A5=A4j=2,ZA^AB^—,连接CR,

答案第8页，共14页

则AC£）A为正三角形，取C。中点。，则，。LCD,

由BC_L平面CDD6及DQu平面CDD©,得。。_LBC,

又CDcBC=C,所以RO,底面ABCD,

过点0作OMHBC交AB于M，

如图以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则A（2,-l,0）,4（2,0,A/3）,*2,1,0）,旦（2,2,退），Q（0,2,73）,

所以率=（0,1,-6）,4G=（-2,2,0）,ABj=（0,3,73）.

设平面ABG的法向量n=（x,y,z）,

n-\B=y--J3z=0,

所以

为.AG=-2x+2y=0.

令z=l,则x=y=百，可得平面ABC的法向量为=（百，6」）.

,__.,A耳•司462不

所以cosAB,,同=।Y—=—7=—,—

1」碉同V12.7373717

故直线和平面A5G所成角的正弦值为手.

（2）答案见解析.

【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，（1）=2（相-1）=；,即可求解，

（2）求导，对加进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值.

【详解】（1）由题得，的定义域为（。,+/）.

答案第9页，共14页

2(mx-1)

/.f\x)=2m——=

xx

•・"（©的图象在点（1J⑴）处的切线与直线/：2x+y+l=0垂直,

/'(I)=2(/72-l)=p

解得m=^-.

4

(2)由(1)知/(X)=2(ET).

%

①当小WO时，广（无）＜0恒成立.

/（X）在（0,+◎上为减函数，此时/（%）无极值;

②当相＞0时，由广（无）＞0,得x＞L,由广（无）＜0,得0＜尤＜1，

mm

.•./。）在（0,工］上单调递减，在上单调递增，

1m）\mJ

故/（x）的极小值为/=2Inm+2+e,无极大值.

综上可得，当加W0时，f（x）在（0,+s）上为减函数，Ax）无极值；

当相＞0时，在（0」］上单调递减，在上单调递增.

VmJ\mJ

了（%）的极小值为21nm+2+e,无极大值.

221

18.⑴椭圆的方程为r上+v乙=1,离心率为0=不

432

⑵y=±却一2）.

\a+c=3广

【分析】（1）由解得。=2,c=l,从而求出b=6,代入椭圆方程即可求方程，再

［a—c=l

代入离心率公式即求离心率.

（2）先设直线4尸的方程，与椭圆方程联立，消去V,再由韦达定理可得从而得

S

到P点和。点坐标.由^QA,=SAAPQ+%A2P=2%.+SiW，得2闻=3|调,即可得到关于

%的方程，解出左，代入直线4尸的方程即可得到答案.

【详解】（1）如图，

答案第10页，共14页

\a+c=3i------广

由题意得q_c=i，解得a=2，c=l，所以6=也寸=总，

22

所以椭圆的方程为Y工+V乙=1,离心率为e=C9=1，.

43a2

22

(2)由题意得，直线4尸斜率存在，由椭圆的方程为?+(=1可得4(2,0),

设直线&P的方程为y=^(x-2),

龙--1

联立方程组43,消去y整理得：(3+4/)/一16rx+16^-12=0,

y=Z(x-2)

由韦达定理得“”鉴瞪8公-6

所以％=

3+4/

’8床一6-12k

所以P

、3+4左2'3+4^2

所以%%=:x4x|%F=；xlx|y/总4V,=于4、|调，

所以SAAZQA=SAAPQ+旬4.=25如尸/+S&AA2P，

所以2阅=3|调，即2卜2刈=3-丑7,

解得左=±¥，所以直线4尸的方程为〉=±*(》-2).

19.(1)证明见解析

⑵sinxv[l/21g)

(3)证明见解析

答案第11页，共14页

[分析](1)分另IJ构造g(x)=x_sirw,xe0,^-1,/z(x)=tanx-x,x根据导数判断

函数单调性进而证明;

。aJ,根据导数结合(1)得出/(x)在［og71j单调递减,

2

得出f(x)</(o),即可比较大小;

(3)令/，根据引理，不等式放缩及(1)的结论得出S2°24>50TT,再根据(2)的结

论，累加法及不等式放缩，即可证明Szg<1。。兀.

【详解】(1)令g(x)=x-sinx,xe0,^1,则g，(x)=l-co&x>0,

故尤时，g(x)为增函数,

.•.g(x)>g(O)=O,故当xe呜时,sinx<x，

令人(元)=tanx-x,xeI0,

cosX

故时，/z(x)为增函数,

:.h(x)>h(0)=0,故当时，tanx>x,

综上可知，当时，x<sinx<tanx.

(2)^/(x)=(x2+6^sinx-6x,XG^0,^,

则/'(X)=2xsinx+(%2+6)co&¥-6,设皿x)=2xsinx+

贝|mr(x)=4xcosx-(4+f卜inx=14%一(4+炉)tanxJ-cosx

<|^4tanx-^4+x2^tanxJ-cosx=-x2-sinx<0,

故/'(X)在上为减函数，

所以当