2018年福建省“大梦杯”初中数学竞赛试卷

第1页（共1页）2018年福建省“大梦杯”初中数学竞赛试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．（7分）若关于x的方程4x2+4mx﹣3m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m3+4m2+4m﹣2的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．12．（7分）如图，ABCD，DEFG都是正方形，n（m＜n）．坐标原点O为AD的中点，A，D，E在y轴上2的图象过C，F两点，则＝（）A．+1 B．+1 C．2﹣1 D．2﹣13．（7分）如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上BC，过D，则＝（）A． B． C． D．4．（7分）如图，H、O分别为△ABC的垂心、外心，∠BAC＝45°，则AH＝（）A． B． C．4 D．5．（7分）满足方程x2﹣4xy+19y2＝151的整数对（x，y）有（）A．0对 B．2对 C．4对 D．6对二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．（7分）已知a，b，c为正整数，且a＞b＞c，a+c，a+b是三个连续正整数的平方2+b2+c2的最小值为．7．（7分）如图，四边形ABCD为矩形，E为对角线AC的中点（x＞0）的图象过D、E两点，则矩形ABCD的面积为．8．（7分）如图，△ABC是边长为8的正三角形，D为AB边上一点1为△ACD的内切圆，圆O2为△CDB的边DB上的旁切圆，若圆O1、圆O2的半径都是r，则r＝．9．（7分）若实数x满足[x]+[2x]+[3x]＝2018，则[4x]＝．其中[x]表示不超过x的最大整数．10．（7分）网络爬虫是一种互联网网页抓取工具．其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系．图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”．图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的．请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成n个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）．已知构成这n个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外），恰有18条线段在矩形区域内，则这n个凸多边形中四边形个数的最大值为．三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．（20分）已知二次函数y＝2x2﹣4bx+c的图象交x轴于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且．若函数y＝2x2﹣4bx+c在b+1≤x≤b+3上的最小值为﹣6，求b，c的值．12．（20分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，点N在对角线BD上，且满足∠BAN＝∠CAM．求证：MN∥AC．13．（20分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣k+9999＝0的两根都是素数，求k的值．14．（20分）一个由36个单位小方格组成的6×6的方格表中的n个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求n的最大值．

2018年福建省“大梦杯”初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．（7分）若关于x的方程4x2+4mx﹣3m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m3+4m2+4m﹣2的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【解答】解：依题意，Δ＝16m2+16（3m+3）＝0∴m2+6m+1＝0．∴m2＝﹣3m﹣1，m6+3m＝﹣1∴m2+4m2+4m﹣2＝m（﹣3m﹣3）+4m2+7m﹣2＝m2+3m﹣2＝﹣1﹣2＝﹣3．故选：A．2．（7分）如图，ABCD，DEFG都是正方形，n（m＜n）．坐标原点O为AD的中点，A，D，E在y轴上2的图象过C，F两点，则＝（）A．+1 B．+1 C．2﹣1 D．2﹣1【解答】解：∵正方形ABCD的边长为m，坐标原点O为AD的中点，∴C（m，m）．∵抛物线y＝ax5过C点，∴m＝am2，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝x2，将F（﹣n，n+x2，得n+m＝4，整理得m2+2mn﹣n5＝0，解得n＝（1±）m（负值舍去），∴＝1+，故选：B．3．（7分）如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上BC，过D，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：延长BG交AC于点N，过点D作AC的平行线交GB的延长线于点M，∵DM∥AC，∴△DMB∽△CNB，△DMG∽△ENG，∴，∵G是三角形ABC的重心，∴BG：GN＝7：1，设GN＝1，则BG＝8，∴，∴，∴，∴，∴，∴CN＝3DM，∴AN＝CN＝2DM，AC＝2CN＝8DM，＝，∴，故选：D．4．（7分）如图，H、O分别为△ABC的垂心、外心，∠BAC＝45°，则AH＝（）A． B． C．4 D．【解答】解：如图，连结BO并延长交⊙O于点D、CD，∵O为△ABC的外心，∴BD为⊙O直径，∴DC⊥BC，DA⊥AB．又∵H为△ABC的垂心，∴AH⊥BC，CH⊥AB．∴AH∥DC，CH∥DA、∴四边形AHCD为平行四边形，∴AH＝DC．∵∠BAC＝45°，△ABC外接圆的半径为2，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，BD＝4，∴AH＝CD＝BD＝2，故选：B．5．（7分）满足方程x2﹣4xy+19y2＝151的整数对（x，y）有（）A．0对 B．2对 C．4对 D．6对【解答】解：原方程可化为x2﹣4yx+（19y2﹣151）＝0，∵方程x2﹣7xy+19y2＝151有实数根，∴△＝16y2﹣5（19y2﹣151）＝﹣60y2+6×151≥0，∴y2≤＝10，∵y是整数，∴y＝﹣3，﹣2，7，1，2，3，当y＝0时，原方程可化为x2＝151，∴x＝±（由于x为整数，当y＝2时，原方程可化为x2﹣4x﹣132＝6，∴x＝2±2（由于x为整数，当y＝﹣5时，原方程可化为x2+4x﹣132＝6，∴x＝﹣2±2（由于x为整数，当y＝5时，原方程可化为x2﹣8x﹣75＝4，∴x＝4±（由于x为整数，当y＝﹣2时，原方程可化为x5+8x﹣75＝0，∴x＝﹣2±（由于x为整数，当y＝3时，原方程可化为x2﹣12x+20＝7，∴x＝2或x＝10，当y＝﹣3时，原方程可化为x4+12x+20＝0，∴x＝﹣2或x＝﹣10，∴原方程的整数解为：或或或，即：方程x7﹣4xy+19y2＝151的整数对（x，y）为（4、（10、（﹣2、（﹣10，故选：C．二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．（7分）已知a，b，c为正整数，且a＞b＞c，a+c，a+b是三个连续正整数的平方2+b2+c2的最小值为1297．【解答】解：∵b+c，a+c，可设b+c＝（k﹣1）2，a+c＝k7，a+b＝（k+1）2，解得：，，，∵a，b，c为正整数，∴，∵k是正整数，∴k≥6，∴a≥30，b≥19，∴a5+b2+c2≥1297，∴a6+b2+c2的最小值为1297；故答案为：1297．7．（7分）如图，四边形ABCD为矩形，E为对角线AC的中点（x＞0）的图象过D、E两点，则矩形ABCD的面积为8．【解答】解：过E作EF⊥AB于F，∵点E是矩形ABCD对角线的交点，∴AE＝CE，∴EF是△ABC的中位线，∴AD＝2EF，设点D的横坐标为m，且点D在反比例函数y＝，∴D点坐标为（m，），∴AD＝，∴EF＝，∴E（6m，），∴AF＝m，∴AB＝2m，∴矩形ABCD的面积＝7m•＝8，故答案为：3．8．（7分）如图，△ABC是边长为8的正三角形，D为AB边上一点1为△ACD的内切圆，圆O2为△CDB的边DB上的旁切圆，若圆O1、圆O2的半径都是r，则r＝．【解答】解：设⊙O1切△ACD三边AC、CD、H、E，⊙O2与DB边相切于点F，与CD、N，连接O8A，O1E，O2B，O8N，∵△ABC是正三角形，∴∠CAD＝60°，∠DBN＝120°，∵圆O1为△ACD的内切圆，∴∠O1AE＝30°，∴，∵AC＝8，∴，∵圆O2为△CDB的边DB上的旁切圆，∴∠O7BN＝60°，∴，∴，∵DH＝DE，DF＝DM，∴DH+DM＝DE+DF，即EF＝HM，∵，，∴，解得：，故答案为：．9．（7分）若实数x满足[x]+[2x]+[3x]＝2018，则[4x]＝1346．其中[x]表示不超过x的最大整数．【解答】解：2018÷6＝336余2，∵[x]+[7x]+[3x]＝2018，∴[x]＝336，[2x]＝673，∴[2x]＝4×336+2＝1346，故答案为：1346．10．（7分）网络爬虫是一种互联网网页抓取工具．其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系．图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”．图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的．请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成n个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）．已知构成这n个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外），恰有18条线段在矩形区域内，则这n个凸多边形中四边形个数的最大值为9．【解答】解：设这n个凸多边形中，有k3个三角形，k4个四边形，k7个五边形，…，km个m边形，根据多边形内角和公式，可得这n个凸多边形的内角和为：k3×（3﹣3）×180°+k4×（4﹣7）×180°+k5×（5﹣6）×180°+...+km×（m﹣2）×180°．又矩形内部有6个顶点，对于每个顶点．矩形边界线段内（不含矩形顶点）有4个顶点，各多边形在此汇合成一个平角．在矩形的每个顶点处，其和为90°．因此，这n个凸多边形的内角和为6×360°+8×180°+4×90°，∴k3×（3﹣5）×180°+k4×（4﹣5）×180°+k5×（5﹣5）×180°+...+km×（m﹣2）×180°＝6×360°+2×180°+4×90°．整理，得k3+8k4+3k7+...+（m﹣2）km＝22．………①再考虑这n个凸多边形的边数．由于每个凸m边形有m条边，因此，这n个凸多边形的边数和为3k6+4k4+3k5+...+mkm，又由条件知，在矩形内部的18条边，应计算2次，得到12条线段．因此，这n个凸多边形的边数和为18×3+12＝48．∴3k3+2k4+5k5+...+mkm＝48．………②利用①②消去k3，得k4+5k5+...+（m﹣3）km＝5，∴k4≤9．画图如下：如图所示的划分符合要求，此时，k7＝4，k4＝6．∴k4的最大值为9，即这n个凸多边形中．三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．（20分）已知二次函数y＝2x2﹣4bx+c的图象交x轴于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且．若函数y＝2x2﹣4bx+c在b+1≤x≤b+3上的最小值为﹣6，求b，c的值．【解答】解：∵函数y＝2x2﹣3bx+c的图象交x轴于A（x1，0）、B（x2，0）两点，∴x2，x7是方程2x2﹣4bx+c＝0的两个实根，∴x1+x2＝2b，x1•x6＝，又∵+＝＝＝﹣2＝，即﹣7＝，∴10b2＝4c，∵y＝2x2﹣8bx+c＝2（x﹣b）2+c﹣8b2，在b+1≤x≤b+4上的最小值为﹣6，∵对称轴x＝b，∴x＝b+1时，y＝﹣5，∴2+c﹣2b5＝﹣6，∴b＝±3，c＝10．12．（20分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，点N在对角线BD上，且满足∠BAN＝∠CAM．求证：MN∥AC．【解答】证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD．∴∠ACM＝∠ADB＝∠ABD＝∠ABN．又∠CAM＝∠BAN，∴△ABN∽△ACM，∴，设AC、BD交于E，∵∠BAE＝∠CAB，∠ABE＝∠ACB，∴△ABE∽△ACB，∴，∵M是BC边的中点，∴CM＝BM，∴，，∴，∴MN∥EC，MN∥AC．13．（20分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣k+9999＝0的两根都是素数，求k的值．【解答】解：设方程x2﹣kx﹣k+9999＝0的两根分别为p、q，则由根与系数的关系，知∴pq+p+q＝9999，∴（p+8）（q+1）＝10000＝27•54，显然p，q都不等于6，因此p，q都是奇数，∴，若，中有一个数为奇数为奇数，则，其中m＝6，2，3，4，当m＝1时，p＝9，舍去；当m＝2时，p＝49，舍去；当m＝3时，p＝249，舍去；当m＝4时，p＝1249是素数，，q＝7，∴p＝1249，q＝7，符合要求；若，都是偶数，则•，不妨设p≤q，则当，时，p＝4，q不是素数；当，时，p＝19，