2020-2021学年北京市首都师范大学第二附属中学高一下学期期末考试数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年北京市首都师范大学第二附属中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知复数(其中i为虚数单位)，z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】求得共轭复数表达式，判断所处象限即可.【详解】由复数表达式知，，对应的点为，处在第三象限；故选：C2．若向量，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的坐标形式求得，验证与0的关系，判断向量关系，并求得模长进行比较即可.【详解】由题知，，则，故，且，故故选：B3．函数是A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数【答案】A【详解】试题分析：=，所以，又，函数为奇函数．【解析】二倍角公式，诱导公式．4．已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为A． B．－ C． D．－【答案】C【详解】试题分析：底角为锐角，，即.【解析】三角恒等变换．5．设在中,角所对的边分别为,若,则的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】B【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.【详解】因为，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.6．在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，则的值是（）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由坐标知，利用模长公式求得模长，结合三角函数两角差的余弦公式求得结果.【详解】由A，B坐标知，，则故选：D7．在边长为1的正方形ABCD中，向量，则向量的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量关系知E为DC的中点，F为BC靠近B端的三等分点，可以求得向量的模长，然后求得数量积，从而求得向量夹角.【详解】由向量关系知E为DC的中点，F为BC靠近B端的三等分点，则，，，则由知，则故向量的夹角为故选：B8．已知，则“”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】利用复数的定义进行判断即可【详解】为纯虚数，是错的，比如，z不是纯虚数，故充分性不成立；z为纯虚数，故必要性成立；故答案选：B9．已知i为虚数单位，下列说法中正确的有（）个（1）若复数z满足，则复数z対应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上；（2）若复数z满足，则复数；（3）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模；（4）复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据复数在复平面内的几何意义对选项一一分析即可.【详解】对于（1），若复数z满足，则复数z対应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，故（1）错误；对于（2），若复数z满足，设，则，解得，则，故（2）错误；对于（3），复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模，故（3）正确；对于（4），若，有，两边同时平方，根据向量运算有，即，故（4）正确；故（3）（4）正确，共有2个.故选：B10．在中，a，b分别为内角A，B所对的边，b＝5，B＝30°，若有两解，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理得，当三角形有两解，则得解【详解】因为有两解，所以，故选：B.【点睛】三角形有两解，由正弦定理得则是解题关键，属于基础题.二、填空题11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，△ABC的面积S为___________.【答案】【分析】由正弦定理、余弦定理化简条件的，代入向量数量积求得，从而代入面积公式求得结果.【详解】由正弦定理知，，由余弦定理知，则，又则三角形面积故答案为：12．如图，在中，为中点，，，则__________．【答案】【分析】分析可知，利用、表示向量，结合平面向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】，，，故答案为：．13．设当时，函数取得最大值，则______.【答案】；【详解】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.三、双空题14．（1）设复数(其中i为虚数单位)，则z的虚部是___________.（2）已知复数z满足，则的取值范围为___________.(其中i为虚数单位)【答案】1【分析】（1）根据除法运算求得复数z，求得虚部；（2）根据复数几何意义，复数z在复平面内的几何意义为以原点为圆心，半径为1的圆，的几何意义为圆上的点到的距离，从而根据点到圆上的点的距离求得取值范围.【详解】（1），则z的虚部是1；（2）由复数z满足，复数z在复平面内的几何意义为以原点为圆心，半径为1的圆，则的几何意义为圆上的点到的距离，则其最小值为圆心到的距离减去半径即，最大值为圆心到的距离加上半径即，则的取值范围为.故答案为：1；15．已知函数.（1）___________；（2）时，f(x)的最小值为___________.【答案】【分析】化简函数解析式得到，代入求得；时，，函数在处取得最小值，代入求得最小值.【详解】则时，，则函数在处取得最小值，即故答案为：；16．已知是平面上一点，，．①若，则____；②若，则的最大值为____．【答案】【详解】由题意，（1）中，因为，所以为线段的三等分点，因为，所以，如图所示，则，（2）中，因为，所以，如图所示，当点是线段的中点时，此时取得最大值，此时最大值为，所以的最大值为．点睛：本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．四、解答题17．已知，，且，，求的值及角.【答案】，【详解】试题分析：，，所以，利用，结合两角和的正切公式与二倍角的正切公式，可求得，.试题解析：∵，∴∵，∴.∴∴.【解析】三角恒等变换．【方法点晴】要求的值，就先求它的一个三角函数值，此处就求的正切值.求解过程中要注意角的大小影响角的正切值的正负号.由于，，所以.观察题目已知条件的角和要求的角可以发现，可知必须结合两角和的正切公式与二倍角的正切公式才能求解.18．已知函数.（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）设是锐角，且，求的值.【答案】（1）；单减区间为，；（2）【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式化简得到，从而求得最小正周期及单减区间；（2）由角的范围求得，则，代入求得结果.【详解】（1）f(x)的最小正周期为，单减区间应满足，解得，，则函数的单减区间为，（2）因为，则，则，则19．已知在△中，．（1）若，求；（2）求的最大值．【答案】(1)2(2)【分析】（1）由余弦定理即题设可得，进而利用正弦定理可求得；（2）由（1）知，利用三角函数恒等变换的应用，化简可得，利用正弦函数的图象与性质，即可求解最大值.【详解】（1）由余弦定理及题设，得．由正弦定理，，得．（2）由（1）知．．因为，所以当，取得最大值．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换的应用和三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查了转化思想和推理与运算能力，属于基础题.20．在△ABC中.∠BAC=120°，AB=AC=1（1）求的值；（2）