2020-2021学年广西南宁市五中、九中、十中等16校高一上学期期末联考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年广西南宁市五中、九中、十中等16校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则（）A．{-1，0，1} B．{1，2} C．{-1，0，1，2} D．{0，1，2}【答案】B【分析】由交集定义求得结果.【详解】由交集定义知故选：B2．圆的圆心和半径为（）A．(1，1)和11 B．(-1，-1)和11 C．(-1，-1)和 D．(1，1)和【答案】D【分析】根据圆的标准方程写出圆心和半径即可.【详解】因为，所以圆心坐标为，半径为，故选：D3．函数的定义域为（）A． B． C． D．R【答案】D【分析】利用指数函数的性质即可得出选项.【详解】指数函数的定义域为R.故选：D4．过点，的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【答案】A【分析】解方程即得解.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8π B．16π C． D．【答案】A【分析】由三视图还原直观图得到几何体为高为4，底面半径为2圆柱体的一半，即可求出体积.【详解】由三视图知：几何体直观图为下图圆柱体：高为h=4，底面半径r=2圆柱体的一半，∴，故选：A6．已知幂函数的图象过点(4，2)，则（）A．2 B．4 C．2或-2 D．4或-4【答案】B【分析】设幂函数代入已知点可得选项.【详解】设幂函数又函数过点(4，2)，，故选：B.7．函数的图像恒过定点，则的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数的性质即可得出结果.【详解】由指数函数恒过定点，所以函数的图像恒过定点.故选：D8．函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据零点存在定理判断．【详解】，，，∴零点在区间上．故选：C．【点睛】本题考查零点存在定理，掌握零点存在定理是解题基础．9．函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．10．若表示空间中两条不重合的直线，表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断．【详解】对于A，若n⊂平面α，显然结论错误，故A错误；对于B，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n或m，n异面，故B错误；对于C，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C正确；对于D，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n位置关系不能确定，故D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题．11．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，先求圆心到直线的距离，再求半径的范围．【详解】解：圆的圆心坐标，圆心到直线的距离为：，又圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，满足，即：，解得．故半径的取值范围是，（如图）故选：．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题．12．如图，把边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折起，当直线BD和平面ABC所成的角为时，三棱锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为，可以证明平面、平面，求出的面积后利用公式求出三棱锥的体积.【详解】取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为.因为为等腰直角三角形，故，同理，而，故平面，而平面，故平面平面，因为平面平面，平面，故平面，故为直线BD和平面ABC所成的角，所以.在等腰直角形中，因为，，故，同理，故为等边三角形，故.故.故选：C.【点睛】思路点睛：线面角的构造，往往需要根据面面垂直来构建线面垂直，而后者来自线线垂直，注意对称的图形蕴含着垂直关系，另外三棱锥体积的计算，需选择合适的顶点和底面.二、填空题13．直线与直线平行，则实数的值为_______.【答案】【分析】根据直线一般式，两直线平行则有，代入即可求解.【详解】由题意，直线与直线平行，则有故答案为：【点睛】本题考查直线一般式方程下的平行公式，属于基础题.14．已知函数，则___________.【答案】8【分析】由函数解析式，代入求值.【详解】由，则故答案为：815．已知长方体的8个顶点都在球的球面上，若，，，则球的表面积为___________.【答案】【分析】求得长方体外接球的半径，从而求得球的表面积.【详解】由题知，球O的半径为，则球O的表面积为故答案为：16．若函数有4个零点，则实数a的取值范围为___________.【答案】【分析】将函数转化为方程，作出的图像，结合图像分析即可.【详解】令得，作出的函数图像，如图，因为有4个零点，所以直线与的图像有4个交点，所以.故答案为：三、解答题17．设直线与相交于一点.（1）求点的坐标；（2）求经过点，且垂直于直线的直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点的坐标；（2）求出直线的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可.【详解】（1）由，解得，因此，点的坐标为；（2）直线的斜率为，垂直于直线的直线斜率为，则过点且垂直于直线的直线的方程为，即：.【点睛】本题两直线交点坐标的计算，同时也考查了直线的垂线方程的求解，解题时要将两直线的垂直关系转化为斜率关系，考查计算能力，属于基础题.18．已知集合，.（1）求，；（2）已知集合，若，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）求出集合，再由集合的交、并、补运算即可求解.（2）根据集合的包含关系列出不等式：且，解不等式即可求解.【详解】（1）∵，∴，∴..∴∴，∴；（2）由（1）知，由，可得且，解得.综上所述：的取值范围是19．如图，在三棱柱中，侧棱平面，、分别是、的中点，点在侧棱上，且，，求证：（1）直线平面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由中位线的性质得出，由棱柱的性质可得出，由平行线的传递性可得出，进而可证明出平面；（2）证明出平面，可得出，结合可证明出平面，再由面面垂直的判定定理即可证明出结论成立.【详解】（1）、分别为、的中点，为的中位线，，为棱柱，，，平面，平面，平面；（2）在三棱柱中，平面，平面，，又且，、平面，平面，而平面，故.又，且，、平面，平面，又平面，平面平面.【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.20．旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为元.旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过人时，飞机票每张元；若旅行团的人数多于人时，则予以优惠，每多人，每个人的机票费减少元，但旅行团的人数最多不超过人.设旅行团的人数为人，飞机票价格元，旅行社的利润为元.（1）写出每张飞机票价格元与旅行团人数之间的函数关系式；（2）当旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.【答案】（1）；（2）当旅游团人数为或时，旅行社可获得最大利润为元.【分析】（1）讨论和两种情况，分别计算得到答案.（2），分别计算最值得到答案.【详解】（1）依题意得，当时，.当时，；∴（2）设利润为，则.当且时，，当且时，，其对称轴为因为，所以当或时，.故当旅游团人数为或时，旅行社可获得最大利润为元.【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.21．已知圆的圆心坐标为，直线被圆截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）求经过点且与圆C相切的直线方程.【答案】（1）；（2）和.【分析】(1)根据圆心坐标设圆的标准方程，结合点到直线的距离公式求出圆的半径即可.(2)当切线斜率不存在时满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程，结合点到直线的距离公式和圆心到直线的距离为半径，计算求出直线斜率即可.【详解】（1）设圆的标准方程为：圆心到直线的距离：，则圆的标准方程：（2）①当切线斜率不存在时，设切线：，此时满足直线与圆相切.②当切线斜率存在时，设切线：，即则圆心到直线的距离：.解得：，即则切线方程为：综上，切线方程为：和22．已知函数，且.（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性.（2）求满足的实数x的取值范围.【答案】（1）定义域为，奇函数；（2）当时的取值范围是；当时的取值范围是．【分