2020-2021学年湖北省部分重点中学高一下学期5月联考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年湖北省部分重点中学高一下学期5月联考数学试题一、单选题1．已知向量满足，则（）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【分析】根据向量数量积的运算规则计算即可得出答案.【详解】选项B正确，选项ACD错误故选：B.2．设复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部为A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据复数除法运算法则，求出复数，即可求出结论.【详解】，，则的共轭复数的虚部为.故选:.【点睛】本题考查复数的代数运算、共轭复数，属于基础题.3．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中，,.则原平面图形的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出原平面图形，然后求出面积即可．【详解】，则是等腰直角三角形，∴，又，，∴，在直角坐标系中作出原图形为：梯形，，，高，∴其面积为．故选：A【点睛】方法点睛：本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为，原图形面积为，则．4．在一次分层随机抽样中，可分两层进行抽样，通过计算，已知第一层抽取m个数，其平均数为a，第二层抽取n个数其平均数为b，则抽取的总样本的平均数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平均数的计算公式直接求解即可.【详解】由平均数的计算公式得，故选：D.5．在空间中，已知，，为不同的直线，，，为不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若，，则 B．若且，则C．若，，，，则 D．若，，则【答案】B【分析】根据线面平行的判定定理，判断选项；平面与平面垂直的判定定理，判断选项；线面垂直的判定定理，判断选项；面面平行的判定定理，判断选项.【详解】若，，则或，故错误；若且，则，故正确；若，，，，则与相交或，故错误；若，，则不一定平行，故错误.故选：【点睛】本题考查空间直线和平面位置关系的判断，属于基础题.6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】设圆锥的底面半径为,则母线长为,高为,由同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,可知棱锥与圆锥的体积相等,进而求解.【详解】由题,设圆锥的底面半径为,因为圆锥的侧面展开图是半圆,则母线长为,高为,因为现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,所以棱锥与圆锥的体积相等,所以,解得,所以母线长为,故选:D【点睛】本题考查圆锥的体积公式的应用,考查理解分析能力.7．在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】以D原点，DA，DB，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值即可算出.【详解】如图，以D原点，DA，DB，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，由得，，即，所以，，设面的法向量为：，则取，取面的法向量为：，设二面角为，由得，，则，所以，故选：C.8．在平面四边形中，，若面积依次为，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用面积公式表示出，利用余弦定理求出关系，即可求出最值.【详解】由题可知，，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，，即，则，则当，取得最大值为.故选：A.二、多选题9．复数z满足，则下列结论正确的是（）A．z在复平面内对应的点位于第四象限 B．C． D．【答案】BD【分析】由已知求出根据复数的几何意义可判断A，求z的模可判断B，求共轭复数可判断C，求出的值可判断D.【详解】因为，所以，对于A，z在复平面内对应的点为，位于第三象限，故错误；对于B，，正确；对于C，，错误；对于D，，正确.故选：BD.10．去年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读图，关于下列说法，其中正确的是（）A．2022年我国5G用户规模年增长率最高B．2025年我国5G用户数规模最大C．从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D．这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数【答案】ACD【分析】由图表中所给数据对选项逐一分析判断即得结果.【详解】由图表可得，年5G用户规模年增长率最高，故A正确；年我国5G用户数规模（万人），年用户规模为（万人），规模最大，故B错误；年5G用户规模年增长户数最多为（万人），故B错；由图表可知，从年开始，年与年5G用户规模年增长率增加，从年开始到年5G用户规模年增长率逐年递减，故C正确；由图可以看出，这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数明显大于前5年的平均数，故D正确.故选：ACD.11．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则有两解C．若，则为钝角三角形D．若，则面积的最大值为【答案】ABC【分析】根据三角形大边对大角和正弦定理，可判定A选项；由正弦定理求出，可判定B选项；根据正弦函数的单调性，判定C选项；余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可判定D选项.【详解】由得，设外接圆半径为，，所以，选项A正确；，根据正弦定理得，，所以角有两解，选项B正确；，所以为锐角，在单调递增，若为钝角，即可，为钝角三角形，若为直角，不合题意，若为锐角，，为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理，得，当且仅当时，等号成立，所以，选项D不正确.故选：ABC.12．平面过棱长为1的正方体的顶点A，且平面平面，平面，则下列正确的是（）A．直线m与所成的角为 B．直线n与垂直C．平面到平面的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为【答案】ACD【分析】根据题意证明，，得出、所成角的大小与、所成角的大小相等，为；判断选项A正确，B错误；由题意求出平面到平面的距离，判断选项C正确；由题意知直线与平面所成的角，是与平面所成的角，建立空间直角坐标系求出所成角的正弦值，判断选项D正确．【详解】解：如图1所示，因为平面平面，设平面平面，由平面，所以；又因为平面平面，由平面平面，所以，所以；同理可得，所以、所成角的大小与、所成角的大小相等，即为的大小；因为，所以，所以，所以选项A正确，B错误；由平面过棱长为1的正方体的顶点，且平面，所以平面到平面的距离为，选项C正确；由题意知，直线与平面所成的角，即为与平面所成的角，建立空间直角坐标系，如图2所示：，0，，，，，，1，，设平面的法向量为，，，则，即，令，得，，所以，，，所以，，所以直线与平面所成角的正弦值为，选项D正确．故选：ACD．三、填空题13．向量，，则___________.【答案】【分析】求出的坐标，利用向量的模长公式可求得结果.【详解】，因此，.故答案为：.14．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70百分位数约为________秒．【答案】16.5【分析】设成绩的70百分位数为x，再估计成绩的70百分位数的区间通过计算即可.【详解】设成绩的70百分位数为x，因为，，所以x[16，17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5.故答案为：16.5.15．某中学校园内的香樟树已有较长的历史.如图，小明为了测量香樟树高度，他在正西方向选取与香樟树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得香樟树根部C在西偏北的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北的方向上，树梢D的仰角为，则香樟树的高度为__________米.【答案】【分析】根据图象可得，中，，，运用正弦定理可得，通过在中求解三角形的边长即可．【详解】中，，，运用正弦定理可得，，解得，在中，，．故答案为：．16．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为_______.【答案】【分析】求出截角四面体上下底面距离，再由勾股定理列等式求得半径，代入球的表面积公求解即可【详解】解：因为棱长为的正四面体的高为，所以截角四面体上下底面距离为，序曲其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，则垂直于平面与平面，则,所以，解得，所以该截角四面体的外接球的表面积为,故答案为：四、解答题17．已知是同一平面内的三个向量，其中（1）若，且与方向相反，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角θ.【答案】（1）；（2）θ＝π.【分析】(1)由平面向量共线的坐标表示，即可得出结果.(2)由平面向量的数量积运算，即可得出结果.【详解】（1）设，由和可得或因为与方向相反，所以．（2）因为，所以即，所以，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.18．如图，在中，，，点在边上，，，为垂足.（1）若的面积为，求的长；（2）若，求角的大小.【答案】（1）（2）【详解】分析：第一问利用三角形的面积公式，求出，再用余弦定理求；第二问先求，在中，由正弦定理可得，结合，即可得结论.详解：(1)由已知得S△BCD＝BC·BD·sinB＝，又BC＝2，sinB＝，∴BD＝，cosB＝．在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB＝22＋2－2×2××＝．∴CD＝．(2)∵CD＝AD＝，在△BCD中，由正弦定理，得，又∠BDC＝2A，得，解得cosA＝，所以A＝．点睛：该题考查的是正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，在解题的过程中，只要对正余弦定理的内容以及三角形的面积公式能够熟记，就能求得结果.19．如图，已知平面，平面平面.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先证得平面，结合线面垂直的性质定理即可证出；（2）先作出辅助线，并证得为二面角的平面角，然后求出相关线段的长度，进而在解三角形即可.【详解】（1）证明：如图，过点A作，垂足为E∵平面平面，平面平面∴平面，又∵平面∴又∵平面平面∴又∵∴平面∴（2）解：由（1）中可得，平面，过A作，垂足为F，连接∴，，则平面，∴则为二面角的平面角，设为，平面∴，由（1）可得平面，则在中：，得在中：，得；在中，得，在中，，则∴二面角的余弦值为20．某班同学利用劳动节进行社会实践，对岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组120第二组195第三组100第四组第五组30第六组15（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（2）从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中每组各选多少人？【答案】（1）图形见解析，1000；0.65；a=60；（2）岁中有4人，岁中有2人.【分析】（1）根据频率分步直方图的面积是这组数据的频率，求出频率，除以组距得到高，画出频率分步直方图的剩余部分，根据频率，频数和样本容量之间的关系，做出n、a、p的值．（2）根据分层抽样方法求出两个部分的人数即可．【详解】（1）第二组的频率为，所以高为频率分布直方图如下：第一组的人数为，频率为，所以．由题可知，第二组的频率为，所以第二组的人数为，所以．第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．（2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，岁中有4人，岁中有2人．【点睛】关键的点睛：正确理解并运用频率分布直方图解题是解题关键.21．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E在线段PA上，平面BDE．求证：；若是等边三角形，，平面平面ABCD，四棱锥的体积为，求点E到平面PCD的距离．【答案】（1）详见解析；（2）.【分析】（1）连结AC、BD，交于点M，连结ME则M是AC中点，由PC∥平面BDE，得PC∥ME，由此能证明AE=PE．（2）以AD中点O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过点O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出E到平面PCD的距离．【详解】连结AC、BD，交于点M，连结ME，底面ABCD为矩形，是AC中点，平面BDE，，在中，ME为的中位线，又M为中点，E为中点．是等边三角形，，平面平面ABCD，以AD中点O为原点，OA为x轴，在平面