数学课后导练：离散型随机变量的方差

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则（）A.Eξ=3。5,Dξ=3。52B。Eξ=3。5，Dξ=C。Eξ=3.5，Dξ=3.5D.Eξ=3。5，Dξ=解析：ξ可以取1，2，3,4，5，6.P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P（ξ=4)=P（ξ=5）=P（ξ=6）=,∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5,Dξ=［(1—3。5）2+(2-3。5)2+(3—3.5)2+(4—3.5）2+(5-3.5）2+（6-3。5)2]×=.答案：B2.设导弹发射的事故率为0。01,若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是（）A.Eξ=0。1B。Dξ=0.1C。P（ξ=k）=0.01k·0。9910—kD.P（ξ=k)=·0。99k·0。01解析：ξ—B（n，p),Eξ=10×0.01=0。1。答案：A3.已知ξ—B（n,p），且Eξ=7，Dξ=6,则p等于(）A。B.C。D.解析：Eξ=np=7，Dξ=np(1—p）=6，所以p=。答案:A4.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为0。02.设发病的牛的头数为ξ,则Dξ等于（）A。0.2B。0.8C解析：Dξ=10×0.02×0.98=0。196。答案：C5。有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2,Dξ1＞Dξ2,则自动包装机_______________的质量较好.解析：Eξ1=Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样。Dξ1＞Dξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定.∴乙机质量好.答案:乙综合运用6.下列说法正确的是()A。离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。B。离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。C。离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。D.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值.答案：C7.设服从二项分布B（n,p)的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1。44，则二项分布的参数n、p的值为（）A.n=4,p=0.6B。n=6，p=0。4C。n=8,p=0。3解析：由Eξ=2。4=np，Dξ=1.44=np(1-p）可得1-p==0.6,p=0。4，n==6.答案：B8。一射手对靶射击,直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（)A。2。44B.3。376C解析:ξ=0，1，2，3，此时P(ξ=0）=0.43,P（ξ=1)=0.6×0。42，P（ξ=2)=0.6×0.4，P(ξ=3)=0。6,Eξ=2。376.答案:C9。某市出租车的起步价为6元,行驶路程不超过3km时，租车费为6元,若行驶路程超过3km，则按每超出1km(不足1km也按1km计程)收费3元计费。设出租车一天行驶的路程数ξ(按整km数计算，不足1km的自动计为1km）是一个随机变量,则其收费也是一个随机变量。已知一个司机在某个月每次出车都超过了3km,且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300（km)，它们出现的概率依次是0.12、0。18、0。20、0.20、100a2+3a、4a.（1）求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差;(2）求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差。解析：（1)由概率分布的性质有,0。12+0.18+0。20+0。20+100a2+3a+4a=1。∴100a2+7a=0.3，∴1000a2+70a—3=0，a=,或a=-（舍去），即a=0.03，∴100a2+3a=0.18,4a=0.12,∴ξ的分布列为：ξ200220240260280300P0。120.180.200。200.180.12∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0。20+280×0.18+300×0.12=250（km）。Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0。20+102×0。20+302×0。18+502×0.12=964；(2)由已知η=3ξ-3(ξ＞3，ξ∈Z)，∴Eη=E(3ξ—3）=3Eξ-3=3×250-3=747（元），Dη=D（3ξ-3）=32Dξ=6723拓展探究10。一台设备由三大部件组成，在设备运转中,各部件需要调整的概率相应为0。10,0.20和0.30。假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ.解析:设A1={部件i需要调整}（i=1,2，3）,则P（A1)=0.1,P（A2）=0.2,P(A3）=0.3.由题意，ξ有四个可能值0，1，2，3.由于A1，A2，A3相互独立,可见P(ξ=0)=P()=0。9×0.8×0。7=0.504；P(ξ=1）=P(A1）+P(A2)+P（A3)=0.1×0。8×0。7+0。9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398;P(ξ=2）=P(A1A2）+P(A1A3)+P（A2A3）=0。1×0。2×0。7+0。1×0。8×0.3+0.9×0。2×0.3=0。092；P(ξ=3)=P（A1A2∴Eξ=1×0。398+2×0.092+3×0。006=0.6,Dξ=Eξ2-(Eξ)2=1×0。398+4×0.092+9×0。006-0.62=0.82—0。36=0.46。备选习题11。在一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数为ξ，则下式等于的是（）A.P（0＜ξ≤2）B。P（0≤ξ≤1）C.DξD.Eξ答案：B12。精制食盐每袋的质量是随机变量，期望值为500g，标准差为5g，求装有50袋这种食盐的一箱质量（不含箱子的质量)的数学期望与标准差。解析：设ξi表示第i袋食盐的重量（i=1,2,…，50),η表示一箱食盐的总重量，则η=。∵各ξi相互独立，且Eξi=500,=5(i=1,2，…,50),∴Eη=E()==25000g，Dη=D(）===1250g2，∴≈35。4g.13。若ξ是离散型随机变量，P（ξ=x1）=,P(ξ=x2)=,且x1＜x2，又知Eξ=,Dξ=。求ξ的分布列。解析：依题意ξ只取2个值x1与x2，于是有Eξ=35x1+x2=,Dξ=x12+x22-Eξ2=.从而得方程组解之得或而x1＜x2，∴x1=1，x2=2.∴ξ的分布列为ξ12P14.把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数,求Eξ、Dξ。解析：ξ的所有可能取值为0,1，2，3.P（ξ=0)=，P（ξ=1）=,P（ξ=2）=，P(ξ=3)=.∴ξ的分布列为ξ0123P∴Eξ=,Dξ.15.摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5,现摇出3个小球，规定所得奖金(元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金