数学课后导练：离散型随机变量的均值

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。袋中有7个白球，3个红球，现采取不放回方式取球，直到取到红球为止.以ξ表示取球次数，则Eξ=()A.B。C。D。答案：A2。某随机变量ξ的概率分布为:ξ0123P0。1ab0.1且Eξ=1。5，则a=_________，b=_________。答案：a=b=0。43。已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品。需要从中取出2个正品,每次取出1个,取出后不放回，直到取出2个正品为止，设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ.解析：每次取1件产品，∴至少需2次，即ξ最小为2，有2件次品，当前2次取得的都是次品时，ξ=4，所以ξ可以取2，3，4。P（ξ=2)=；P（ξ=3）=；P（ξ=4)=1-.∴ξ的分布列如下：Ξ234PEξ=2×P（ξ=2）+3×P(ξ=3)+4×P(ξ=4)=。4。某工厂对2月份的奖金发放作出了如下规定：在这四周时间里有1周完成生产任务，则得奖金48元；如果有2周完成生产任务，则可得奖金80元；如果有3周完成生产任务，则可得奖金128元;如果4周都完成了生产任务，则可得奖金160元；如果4周都未完成任务,则没有奖金，假设某工人每周完成任务与否是等可能的，求一工人在2月份所得奖金的期望。解析：设该工人在2月份所得奖金为ξ,他每周完成任务的概率为，P（ξ=0）=(）0（)4=，P（ξ=48）=()1（)3=P（ξ=80）=（）2（）2=P(ξ=128）=（）3（）=P(ξ=160）=（）4=∴Eξ=0×+48×+80×+128×+160×=84.5。甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（1)求甲答对的试题数ξ的概率分布及数学期望。（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。解析：（1）ξ的分布列如下：ξ0123P甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=。(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A，B，则P（A）=,P（B）=，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为:P(·)=P(）P（）=(1—）·（1—）=∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1—P（·）=1—=综合运用6.某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设在一年内E发生的概率为P，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金?解析:设保险公司要求赔偿顾客交x元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额,则ξ的分布列为：ξxx—aP1-pp∵公司每年收益ξ的期望值为Eξ=x(1-p）+（x—a）p=x-ap要使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Eξ=0.1a，即x-ap=0.1a，x=（0。1+p）a，∴应交的保险金为（0.1+p)a.7.一批商品共100件，商家称其中只有10件是次品.为检验其质量的真实情况，现从中随机地抽出5件。（1）求抽出的5件商品中次品数的分布列与期望值；（2）如果抽出的5件商品中，有3件是次品，你如何评价该批商品的质量。解析:（1）按商家所说，抽出的5件商品中的次品数是随机变量ξ，则ξ可以取0到5的6个整数。如果抽出的5件商品中恰好有k（k=0，1,2，3，4，5）件次品，则其相应的概率为P(ξ=k）=。按这个计算公式,并精确到0.001，则可求得ξ的分布列是ξ012345P0。5840。3400.0700.0060.0000。000次品数ξ的期望值是Eξ=0×0.584+1×0.340+2×0。070+3×0。006+4×0.000+5×0。000=0。498.这表明，通常情况下,抽出的5件商品中，只能约有半个次品.（2)由上面的分布列可知，P(ξ=3）=0.006。可见,所抽取的5件商品中有3件是次品的可能性极小，只有0。6%.如此小的概率，在一般情况下是不可能发生的。因此，商家“100件商品中只有10件次品”的说法是不可信的。8。有一个赌场,3个骰子设赌，任何人投掷一次若出现3个六点，可赢100元,否则输掉1元。问这个赌规是否公平？为什么？在上述赌规下，赌场出现了一件意外的事，有人掷出了两个六点，另一颗骰子却被突如其来的不速之客--猫撞飞了,于是赌场出现了激烈的争执,赌主要求重掷，赌客当然不干，看客中说赢的,输的，平的都有，请你用概率理论作分析,提出一种对赌注（1+100=101元）作分配的公平方案。解析：该赌规不公平，因为同时掷出3个六点的概率是（)3=，若赌规规定为1∶215就公平了.（即掷不出3个六点，输1元，掷出3个六点，赢215元）。赌事因无法预见的原因而夭折，论输赢都无依据；已出现两个六点,胜率已由提升到,说平了也不对，比较公平的方案是,将赌资（100+1=101元）按5∶1分配,赌主留下，赌客拿走。9。一种电路控制在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把二件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品,我们对该箱中的产品逐一取出测试。（1)求前两次取出的都是二等品的概率;(2）求第二次取出的是二等品的概率；（3)用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取出的件数，求ξ的分布列及数学期望。解析：（1)四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有×种方法，∴前两次取出的产品都是二等品的概率为。（2)四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有×种方法，∴第二次取出的产品是二等品的概率为.（3）ξ的分布列为ξ234P∴Eξ=2×+3×+4×=。拓展探究10.在一块倾斜放置的矩形木板上钉着一个形如“等腰三角形”的九行铁订,钉子之间留有间隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙,第2行3个铁钉之间有2个空隙,…，第9行10个铁钉之间有9个空隙（如图所示)，一个玻璃球通过第1行的空隙向下滚动，玻璃球碰到第2行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或者右空隙，以后玻璃球按类似方式继续往下滚动，落入第9行的某一个空隙内，最后掉入木板下方的相应槽内，玻璃球落入不同的球槽得到不同的分数ξ在图中给出，求Eξ（结果保留两位有效数字）。解析：本题解决的关键是读懂题意，看清图形从第1行开始，玻璃球从一个空隙往下滚,玻璃球碰到此下方的一个铁钉后以的概率落入铁钉左边空隙.同样以的概率落入铁钉右边空隙,玻璃球继续往下滚时，总有落入铁钉左边和右边空隙两种结果，直到最后掉入某一个球槽内,一共进行了8次独立重复试验，若设8次独立重复试验中落入铁钉左边空隙的次数为η，则η-B（8，）。∵P(ξ=10）=P（η=0或η=8）=P（η=0)+P（η=8）=（）0（)8+（）8（)0=，P（ξ=8）=P（η=1或η=7)=P（η=1)+P（η=7）=(）1(）7+（）7（)1=，P（ξ=6）=P（η=2或η=6）=P（η=2）+P（η=6)=(）2（）6+（）6（）2=，P(ξ=4）=P（η=3或η=5)=P（η=3）+P（η=5)=C38（）3（）5+（）5(）3=P（ξ=2）=P(η=4）=（）4（）4=,∴Eξ=10×+8×+6×+4×+2×≈4。19.备选习题11.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定:每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0。8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的分布列和数学期望；（2）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率.解析:（1）ξ的可能值为：-300，—100，100,300。P（ξ=-300）=0。23=0.008P（ξ=—100）=3×0。22×0。8=0.096P（ξ=100)=3×0。2×0.82=0。384P（ξ=300）=0。83=0.512所以ξ的分布列为：ξ-300-100100300P0.0080.0960.3840.512于是：Eξ=（—300）×0.008+（-100）×0。096+100×0.384+300×0。512=180（2）这名同学总得分不为负分的概率为P(ξ≥0）=0.384+0.512=0。896。12。在一个人数很多的单位中普查某种疾病，n个人去验血，可以用两种方案进行：（1）每个人的血分别化验，这需要n次；（2)按k个人一组进行分组,把k个人的血混在一起化验，如果结果是阴性的，那么这k个人只作一次化验就够了，如果结果是阳性的,那么就必须对这k个人逐一化验,即对这k个人进行k+1次化验，假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是p，且这些人的化验是相互独立的,求按第二种方案这n个人平均需要化验的次数.点拔：第二种方案中k个人一组化验，呈阴性和呈阳性时每个人的血化验的次数为随机变量ξ的取值,所以第二种方案这n个人平均化验的次数即为nEξ.解析:按第二种方案，k个人一组化验，若混合呈阴性，则一个人的血化验次,若混合呈阳性，则一个人的血化验次.又k个人的混合血化验是阴性的概率是（1-p）k，呈阳性的概率是1-（1—p）k。于是有分布列ξP（1-p）k1-（1-p）k∴平均化验次数即ξ的数学期望。∴Eξ=（1—p）k+［1-（1-p）k］=1+-（1-p)k.∴按第二种方案这n个人平均需要化验的次数为n［1+-(1-p）k]。13.某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图（例如A→C→D算作两个路段:路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）。（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望。解析:(1）记路段MN不发生堵车事件为，因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次。所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率为P1为1-P（）=1-P（）·P(）·P(）=1—［1-p(AC）][1—P(CD）]［1-P(DB)］=1-;同理路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2=1-P（)=(小于）;路线A→E→F→B中遇到堵车的概率为P3=1-P(）=（大于）；显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择，因此选择路线A→C→F→B可使得途中堵车事件的概率最小。(2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0,1，2，3，P（ξ=0）=P()=；P（ξ=1）=P（）+P(）+P（)=;P（ξ=2）=P(AC·CF·）+P（AC··FB）+P(·CF·FB）=;P（ξ=3）=P（AC·CF·FB)=∴Eξ=0·。答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为。14。据统计，一年中一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者须交保险费100元,若在一年以内，万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元（a＞100）.问a如何确定，可使保险公司期望获利?解析：设保险公司的获利为ξ,ξ所有可能的取值为100、100-a，则ξ的分布列为ξ100100-aP0.990。01∴Eξ=100·0。99+（100—a）·0.01=100—0.0