2024-2025学年广东省深圳市高三（上）联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳市高三（上）联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据1，1，5，7，8，8，9，10，10，11的平均数和第40百分位数分别为(

)A.7，7 B.7，7.5 C.7.5，7 D.7.5，7.52.已知集合A={x|0<x2<5}，B={x∈Z||x−1|<2}，则A∩B=A.{−1,0,1,2} B.{0,1,2} C.{1,2} D.{−1,0,1,2,3}3.若z−1z=2−i，则z=(

)A.1+i2 B.−1+i2 C.1−i4.已知向量a=(1,1)，b=(x,y)，若a⊥(b−4a)，A.12 B.8 C.9 D.−45.已知α、β∈(π,32π)，sin(α−β)=cosA.−12 B.1 C.0 6.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的圆柱的侧面积为(

)A.323π B.37.已知函数为f(x)=13x3+ax2+x,x<−1A.[1,73] B.(−∞,73]8.函数f(x)=|cosx|−3sin(2x−π6A.3 B.4 C.5 D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知变量X服从正态分布X∼N(0,σ2)，当σ从小变大时，则A.P(−12<X<12)变大 B.P(−110.已知命题p：对于正数a，b，∀x0∈[0,+∞)使(x0+a)⋅A.a⋅eb>1 B.ab≤1e11.函数f(x)的定义域为R，若f(x+y+1)=f(x)+f(y)−m，且f(0)=n，m，n∈Z，n>m则(

)A.f(−1)=−m

B.f(x)无最小值

C.i=140f(i)=860n−820m

D.f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l：y=kx是曲线f(x)=ex+1和g(x)=lnx+a的公切线，则实数a=______．13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2acosB=c−a.当c+3ab取最小值时，则A=______．14.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动.顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会(2次抽奖结果互不影响)；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示．奖品一个健身背包一盒蛋白粉概率31则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

如图，在直角三角形POA中，PO⊥AO，PO=2AO=4，将△POA绕边PO旋转到△POB的位置，使∠AOB=2π3，得到圆锥的一部分，点C为AB上的点，且AC=14AB．

(1)在AB上是否存在一点D，使得直线OA与平面PCD平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，请说明理由；

(2)设直线OC与平面PAB16.(本小题15分)

已知数列{an}满足3a1+32a2+…+3nan=(2n−1)⋅3n+1+317.(本小题15分)

已知O为坐标原点，点(1,22)在椭圆C：x2a2+y2b2=1，(a>b>0)上，过左焦点F1和上顶点A的直线l1与椭圆相交于点A，B.记A，B的中点为M，有kOM=−12.过上顶点A18.(本小题15分)

甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分，答错不得分：然后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛.比赛过程中，有选手领先2分者立即晋级，比赛结束(不管该轮比赛有没有完成).已知甲答对题目的概率为13，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各积1分的概率为16.记比赛结束时甲乙两人的答题总次数为n(n≥2)．

(1)求p；

(2)求在n=4的情况下，甲晋级的概率；

(3)由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3轮，若超过3轮没有晋级者，则择期再进行比赛.求甲在319.(本小题17分)

函数f(x)=lnx，g(x)=x2−x−m+2．

(1)若m=e，求函数F(x)=f(x)−g(x)在[12,2]的最小值；

(2)若f(x)+g(x)≤x2−(x−2)ex参考答案1.B

2.C

3.B

4.A

5.B

6.A

7.D

8.C

9.BD

10.BD

11.BCD

12.3

13.π414.3738415.解：(1)依题意，PO⊥AO，PO⊥BO，且AO，BO⊂平面AOB，AO∩BO=O，则PO⊥平面AOB，

由∠AOB=2π3，AC=14AB，得∠AOC=π6，∠BOC=π2，即CO⊥BO，

以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系Oxyz，

则C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,4),A(3,−1,0)，OA=(3,−1,0),AB=(−3,3,0)，

假设在AB上存在一点D，满足OA//平面PCD，

由OA⊂平面AOB，平面AOB∩平面PCD=CD，得CD||OA，

令AD=tAB=(−3t,3t,0)(0≤t≤1)，

则D((1−t)3,3t−1,0)，CD=((1−t)3−2,3t−1,0)，

于是(1−t)3−23=3t−116.(1)解：当n≥2时，由3a1+32a2+…+3nan=(2n−1)⋅3n+1+34，

得3a1+32a2+…+3n−1an−1=[2(n−1)−1]⋅3n−1+1+34，

两式相减得3nan=(2n−1)⋅3n+1+3417.解：(1)设F1(−c,0)，而点A(0,b)，∴直线l1的方程为y=bcx+b，

联立直线l1与椭圆的方程y=bcx+bx2a2+y2b2=1，消去y并整理得(1a2+1c2)x2+2cx=0，

可得xM=−a2ca2+c2，则yMbc2a2+c2，

由kOM=−12，得a2=2bc，而a2=b2+c218.解：(1)甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：

两人轮流随机抽题作答，答对积1分，答错不得分：然后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛，

比赛过程中，有选手领先2分者立即晋级，比赛结束(不管该轮比赛有没有完成)，

甲答对题目的概率为13，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，

抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各积1分的概率为16，

记比赛结束时甲乙两人的答题总次数为n(n≥2)．

由题意可得13×p=16，即p=12；

(2)当n=4时，甲乙两人各答两题，由于比赛结束，

∴总有一人两题全对，另一人两题全错，且第四题答题人必须答对才能结束，

∴当n=4时，后答题人晋级，

设甲晋级为事件A，n=4的情况为事件B，

则P(B)=12×23×12×23×12+12×12×13×12×13=572，

P(AB)=12×12×13×12×13=172，

则P(A|B)=P(AB)P(B)=172572=15；

(3)甲在3轮比赛之内成功晋级，则两人可能的答题总次数为3、4、519.解：(1)当m=e时，F(x)=lnx−x2+x+e−2，x>0，

求导得F′(x)=1x−2x+1=−(2x+1)(x−1)x，

由F′(x)>0，得(2x+1)(x−1)>0，解得12<x<1；

由F′(x)<0，得(2x+1)(x−1)<0，解得1<x≤2，

函数F(x)在[12,1)上单调递增，在(1,2]内单调递减，

而F(12)=e−74−ln2，F(2)=e−4+2ln2，

F(12)−F(2)=94−ln2>0，

所以函数F(x)=f(x)−g(x)在[12,2]的最小值F(2)=e−4+ln2；

(2)不等式f(x)+g(x)≤x2−(x−2)ex在x∈(0,t]恒成立，

即lnx+x2−x−m+2≤x2−(x−2)ex在x∈(0,t]恒成立，

等价于m≥(x−2)ex+lnx−x+2在x∈(0,t]恒成立，

设ℎ(x)=(x−2)ex+lnx−x+2，x∈(0,t](t>1)，

求导得ℎ′(x)=(x−1)ex+1x−