三角函数中的最值模型之胡不归模型

专题12三角函数中的最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟

考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析,

方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之

间线段最短”，虽然从他此刻位置/到家8之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人

刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的

一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

【模型解读】一动点尸在直线外的运动速度为匕，在直线放N上运动的速度为匕，且匕＜%,/、

B为定点,点C在直线上，确定点C的位置使江+与的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）

匕匕

B

2）构造射线40使得匕—=k,C"=~C,将问题转化为求5C+C”最小值.

AC

3）过8点作交友W于点C,交40于H点，此时3C+C8取到最小值，即2C+HC最小.

【解题关键】在求形如“我+女尸8”的式子的最值问题中，关键是构造与柱8相等的线段，将“我+女尸8”型问题

转化为“以+PC，型.（若k>l,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

例1.（2023•四川绵阳•九年级校联考阶段练习）如图，在必△48C中，ZACB=90°,/B=30。,48=4,

点D、/分别是边8C上的动点，连接C。，过点/作/ELCZ）交5c于点E,垂足为G,连接GR则

GF+\FB的最小值是

【答案】巫一1

2

【分析】由联想到给EB构造含30。角的直角三角形，故把瓦△/2C补成等边△4BP,过尸作3尸的垂

线FH,GF+-FB=GF+FH,易得当G、F、〃成一直线时，最短，又由于点G为动点，易证点G

22

在以NC为直径的圆上，求点G到网的最短距离即当点G在点。到8尸的垂线段上时，GQ的长度.

【详解】延长/C到点尸，使CP=/C,连接AP,过点尸作咫，3尸于点区取/C中点O,连接OG,过

点。作。Q_L5产于点。，VZACB=90°,ZABC=30°,AB=4

：.AC=CP=2,BP=48=4Z.AABP是等边三角形ZFBH=30°

:.RtAFHB中,FH;FB：.当G、F、X在同一直线上时，GF+-FB=GF+FH=GH

22

"JAELCD于点G：./NGC=90。；0为AC^：.OA=OC=OG=-AC

2

：.A,C、G三点共圆，圆心为。，即点G在。。上运动，...当点G运动到。。上时，G"取得最小值

；RtAOfQ中,/尸=60°,OP=3,5加/尸=丝=@二。0=@。尸=述

OP222

...G8最小值为辿-1故答案为：巫-1

22

【点睛】本题考查了含30。直角三角形性质，垂直平分线性质，点到直线距离，圆上点与直线距离，最短路

径，解题关键是找到点G运动到什么位置时，G8最小，进而联想到找出点G运动路径再计算.

例2.（2023上•广东佛山•八年级校考阶段练习）如图，在长方形48co中，48=2,AD=2dE在BC

上，连接DE,在点£的运动过程中，8E+血的最小值为.

【答案】2+2百/2百+2

【分析】在线段8C下方作/C8M=45。，过点E作跖，5M于点尸，连接。尸，求出此时的。尸长度便可.

【详解】解：..•四边形48。是矩形，48=2,AD=2也,

：.ZDCE=90°,CD=AB=2,BC=AD=273，:•BE=26-CE，

在线段3C下方作/C3M=45。，过点£作石尸_15川于点尸，连接。尸，

A.__________________D

BZ、、/3C

r\

\

X

、

EF=—BE,/.—BE+DE=EF+DE>DF,

22

当。、E、b三点共线时，.=。/的值最小，

2

此时ZDEC=N5所=45。，CE=CD=2,：,BE=2^-2,DE=722+22=272»

：.EF=—BE=46-42,二■的最小值为：EF+DE=6+R,

22

:.BE+CDE的最小值为BE+CDE=6三BE+DE=2+26.故答案为：2+2g.

<）

【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是

作辅助线构造走8E+OE的最小值.

2

例3.（2023•四川乐山•统考二模）如图，菱形中，AB=4,ZADC=120°,E是对角线/C上的任意

一点，则［CE+BE的最小值为（）.

2

A.V3B.2A/3C.2D.2围-1

【答案】B

【分析】如图：过点E作跖，DC,过点2作8尸UDC,连接3户,由菱形的性质结合题意可得/O=OC结

合/ADC=120。可得NDC4=30。，则。E=（CE,即+=5E+M：再根据三角形的三边关系可得

跖+3E23尸，则当8/_LDC时，即尸与F重合时，B尸有最小值2/，最后解直角三角形求出5尸即可.

【详解】解：如图：过点£作斯，OC,过点5作AF'LOC,连接3尸.

VZD=120°,AZDCA=30°,ZDCB=30°,即/C3尸=30°.

/.EF=-EC.：.BE+-EC=BE+EF.'：EF+BE>BF

22_

.•.当AFLOC时，即尸与尸重合时，BF有最小值

1A

,

/.BE+-EC的最小值=5F=J8C-COS30°=4X^-=2A/3.故选B.

【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形等知识点，找到8£+1后。有最小值的位置是解答本题的关键.

2

例4.（2023.绵阳市八年级期中）尸是正方形对角线上一点，45=2,贝I」尸4+尸5+尸。的最小值为。

AD

F

BC

解析：PA+PB+PC=2PA+PB=2(PA+-PB)

2

连接AC交BD于O,作AE■使/P8£=30。，过点P作刊tL5E,PF=-PB.

2

显然A、P、F共线时PA+^PB最小。止匕时PA+，PB=AF

22

AB=2,.\AO=BO=V2，:/PBE=30°,.\OE=旦,BE=马尼

33

利用等面积法:▲XAFXBE=，XAEXBO解得：AF=—

222

注意：本题也可以利用费马点（旋转作图）来解决。

例5.（2023上•福建福州•九年级校联考期中）己知如图，。。中直径BC=4,叁=五5=比，点尸是射线

AD上的一个动点，连接。尸，则+的最小值为

2

【分析】作尸EL3C交于£,AF，BC交BC于F,连接/B、AO,AP,令AO交BD于Q,由

AB=AD=DC可得乙iOB=ZAOD=ZCOD=6G,由圆周角定理可得ZCBD=jzCOD=30°,由等边三

角形的判定及性质可得5。是/。的垂直平分线，从而得到4P=OP,由含30。角直角三角形的性质可得

111

PE=-BP,从而得至!]—8P+OP=PE+NP,当/户时，止匕时一AP+。尸最小为4F,最后根据等边三

222

角形的性质及勾股定理进行计算即可得到答案.

【详解】解：如图，作PELBC交BC于E,AF，BC交BC于F,连接/B、AO.AP,令AO交BD于Q,

;AB=AD=DC，:.ZAOB=ZAOD=NCOD,

■：NAOB+ZAOD+ACOD=18CP,:.ZAOB=ZAOD=ZCOD=60。，/.ZCBD=-ZCOD=3cp,

2

OA=OB,是等边三角形，ZABO=60°,AB=BO,

：.NABD=ZABO-ZCBD=6G-3。=3。,NABD=ZCBD,AQ=OQ,BQVAO,

，加是的垂直平分线，AP=OP,在中，ZPBE=30°,ZPEB=90°,

:.PE=-BP,:.-BP+OP=PE+AP,当/尸13c时，止匕时，3尸+。尸最小为4尸，

222

BC=4,:.AB=BO=2,：.BF=OF=1,AF々AB—BP=5X=J5，故答案为：目.

【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点,

熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键.

例6.(2023・广东深圳•校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+3x-4的图象与x轴交

于/、C两点，与了轴交于点2,若P是x轴上一动点，点0(0,2)在y轴上，连接P。，则P0+*尸C的最

小值是.

【答案】3亚

【分析】过户作P//_L8C,过。作"UBC.再由尸尸c得PQ+走?。=?。+9，根据垂线段最短

22'

可知，P0+PH的最小值为。“‘，求出"'即可.

【详解】解：连接BC,过尸作尸过。作QHUBC,

令＞=0,即尤2+3X-4=0,解得x=-4或1,.7(1,0),C(一4,0),

/?

OC=4,ZSOC=90°,ZPCH=45°,:.PH=PCsin45°=—PC.

OB=2

，尸O+gpC=PQ+P//,根据垂线段最短可知，PQ+P"的最小值为。H',

VBQ=OB+OQ=4+2=6,NQBH=45。,.-.QH'=sin450-BQ=3xf2,

.•.尸。+,尸C的最小值为3亚.故答案为：372•

【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解

题的关键是将求尸0+1尸。的最小值转化为求PQ+P"的最小值.属于中考选择题中的压轴题.

例7.(2022•湖南九年级期中)如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一

个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的"自相似分割线”.如图1,在小/台。中，AB=AC=1,

ZBAC=W8°,DE垂直平分N8,且交8c于点D,连接ND

⑴证明直线AD是的自相似分割线；

(2)如图2,点尸为直线。E上一点，当点P运动到什么位置时，以+PC的值最小？求此时JM+PC的长度.

(3)如图3,射线CF平分//CB,点。为射线C尸上一点，当+或二lc0取最小值时，求/Q/C的正弦

值.

【答案】(1)直线是△/8C的自相似分割线；

(2)当点尸运动到。点时，均+PC的值最小，此时P/+PC=Y乎；⑶NQ4C的正弦值为

【分析】(1)根据定义证明即可得证；(2)根据垂直平分线的性质可得

PA+PC=PB+PC>BC,当点尸与。重合时，P4+PC=P3+尸C=3C,此时尸N+PC最小，设8£>=x,则

BC=x+l,根据△£)设ISA/BC,列出方程，解方程求解即可求得5D,进而即可求得BC的长，^PA+PC

最小值；(3)过点A作/于点过点。作0GL3C于点G,连接/G,设CF与4D交于点

根据已知条件求得G0=SUc°，进而转化为/Q+YJC0=NQ+G°，则当0点落在/G上时，点G与

44

点H重合，此时/Q+与1。0的值最小，最小值为进而根据sin/0/C=sinN加C=*求解即可.

(1),.,△A8C中，AB=AC=1,ZBAC=WS°：.ZB=ZC=^-(180°N8/C)=36°

,:DE垂直平分AB：.AD=BD：.NB=/BAD=36°：.ZC=ZBAD

又：ZB=NB：.△DA4s△/Be.•.直线AD是△/BC的自相似分割线.

(2)如图，连接尸8,AD,

图2

；。七垂直平分/8,PA=PB：.PA+PC=PB+PC>BC

当点P与。重合时，尸4+尸。=尸8+2。=8(7,此时尸/+尸(7最小，

ZADC=ZB+ZBAD=72°,ZDAC=ABAC-ZBAD=72°

ZADC=ADAC:.CD=CA=\T^BD=X,贝I」5C=X+1

■:ADBAS"BC；.——=———=.•.尤2+x-l=0解得：x=士"

ABBC1x+12।

■,'x>0Ax=-1+a^,-,BC=X+1=PA+PC=

222

当点尸运动到。点时，H+PC的值最小，止匕时刃+2。=叵匕；

2

(3)如图，过点A作/于点H,过点。作QG,8c于点G,连接/G,设C尸与AD交于点M,

图3

■,•AB=AC,.•.C〃=』8C=^^由（2）知，DC=AC=1

24

DM=AM=-AD=^^-

24

•­•sin/MCD=^=3£=®LQJLLLQ:.AQ+^^-CQ=AQ+GQ>AG

CQCD4G*=4C**4***

vAG>AH,。点落在NG上时，点G与点H重合,

即此时40+与iCQ的值最小，最小值为:.AQAC=AHAC

VAB=AC,AHVBC:_CH=-BC=

24

.­.sinAQAC=sinAHAC=^=二N。/。的正弦值为^

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂

线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键.

例8.（2023•浙江宁波•九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=/x-百分别交x轴、

y轴于/、2两点，若。为x轴上的一动点，则22C+/C的最小值为.

【答案】6

【分析】先求出点/，点2坐标，由勾股定理可求的长，作点3关于0/的对称点8',可证A48"是等

边三角形，由直角三角形的性质可得CH=g/C,则2BC+/C=2（8C+CH）,即当点"，点C,点〃三

点共线时，5C+CH有最小值，即23C+NC有最小值，由直角三角形的性质可求解.

【详解】解：•••一次函数y=/x-百分别交x轴、y轴于/、3两点，

...点N（3,0）,点8（0,-g）,：.AO=3,20=6，；.AB=SA'OB?=*+（可=2忑,

作点8关于CM的对称点51连接AB',B'C,过点。作于H,如图所示：

；.OB=OB'=V3,BB'=26，AB=AB'=2百:.AB=AB'=BB'，/.NABB'是等边三角形，

VAOIBB',：.ZBAO=-ZBAB'=3Q°,；CH_L4B,：.CH=-AC,

22

Z.2BC+AC=2^BC+^AC^=2（B'C+CH）,

当点"，点C,点”三点共线时，B'C+CH有最小值，即28C+/C有最小值，

此时，B'H±AB,ZU33'是等边三角形，:.BH=AH=5ZBB'H=30。,

，B'H=^B'A--AH2=42国一（可=3,：.2BC+AC的最小值为6.故答案为：6.

【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确

定点C的位置是解题的关键.

例9.（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线＞=-g/+x+4与x轴交于4,3两点，与歹轴交于点C,

点。为线段/C的中点，直线3。与抛物线交于另一点£,与了轴交于点尸.

（1）求直线3。的解析式；（2）如图②，点尸是直线上方抛物线上一动点，连接尸D,PF,当4PDF

的面积最大时，在线段BE上找一点G,使得尸G-fGE的值最小，求出点G的坐标及尸G-^G£的最

小值；

y

【答案】（1）y=；x+l；（2）点G（J,。），最小值为学；

2z4o

【分析】（1）令/x2+x+4=0,可求出点A和点B的坐标，令x=0,可求出点C的坐标，再根据点D时AC的

中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可.（2）求三角形的面积最值可以转化为求线

段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG立GE的最小值，可将不共线的线段转换

5

为共线的线段长度.

【详解】解：（）令-2解得：.B（）A（）

1yx+x+4=0,*x/=-2,X2=4,-2,0,4,0,

令x=0,y=4,：.C（0,4）,•.•。为NC的中点，：.D（2,2）,

设直线8。的解析式为y=Ax+b（辰0）,代入点5和点D,

£

0=-2k+b

2=2k+b'解得'5,...直线的解析式为y=；x+L

b=1

（2）如图所示，过点尸作y轴的平行线，交交于点X,

:.PH=-：/+汁4-（；什1）=-：（/-；）2+一，

2222g

当时，PH最大,此时点尸为（；，苧），当尸//最大时，产的面积也最大.

228

•.•直线8。的解析式为y=gx+l,令x=0,y=l,.•.点尸（0,1）,

在R38尸。中，根据勾股定理，BF=5：.sinNFBO=W

过点£作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M,

/./MEG=/FBO,：.MG=EG»s\nZMEG=—EG,：.PG--GE=PG-MG,

55

当尸、M、G三点共线时，PG-MG=PM,否则都大于尸Af,

当尸、M、G三点共线时，尸G-MG最小，此时点G与点〃重合，

令-；x2+x+4=；x+L解得x/=3,X2=-2,点£（3,-PM=---=一，.,.点G（；,—）,

22282824

二点G（；,—）,PG--GE的最小值为—.

2458

【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强.

课后专项训练

1.（2023・四川攀枝花•统考二模）如图，Y/3CD中，ADAB=30°,48=6,BC=2,尸为边CD上的一动

点’则必+”的最小值等于（）

DP

AB

A.2B.4C.3D.5

【答案】C

【分析】过点P作尸£1/。，交的延长线于点E,由锐角三角函数可得EP=；PD,即P8+PB+PE,

则当点3,点P,点E三点共线且时，尸8+PE有最小值，由sin£M=空=：可求最小值为3E.

AB2

【详解】解：如图，过点P作PE1AD，交的延长线于点E,

E--

EP1

•••AB//CD,\i）EDP=i）DAB=30°,\sinDEDP=——=

DP2

\EP=-PD,\PB+-PD=PB+PE,

22

，当点8,点。，点E三点共线且时，尸5+尸石有最小值，即最小值为BE,

QsinEM=—=\BE:-AB=-6=3.故答案为3.

AB222

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短和锐角三角函数的性质，熟练应用相关性质是解题的

关键.

2.（2023春・广东广州•九年级校考阶段练习）如图，菱形/BC。的边长为5,对角线03的长为46,P为OB

上一动点，则/P+如OP的最小值等于.

【答案】4

【分析】由四边形NBC。是菱形，根据已知线段长度，将/P+YLOP转化，再根据垂线段最短即可求解.

5

【详解】解：如图，连接/C交。于点过点M作〃"LOC于点过点/作/GLOC于点G,交OB

于点尸，

；四边形48co是菱形，边长为5,OB=45/5,

•••ACLOB,OA=AB=BC=CO=5,OM=MB=-OB=245,AM^MC^-AC,

22

•••AM=MC=NAB2-MB2=（2⑹2=卡,AC=24S,

MH_LOC,AC_LOB,••SA=—OM,MC=―OC-MH,.1.—x2-^5,A/5=-x5,MH,MH=2,

△o”c2222

.八.八”MH2aPGan4sV5

•；sin/MOH=——=--j==—=,即PG=—OP,…AP------OP=AP+PG,

OM2755OP55

.,.当4P,G三点共线且/GLOC时，/尸+好。尸取最小值，最小值为NG,

5

,•・菱形/BCO的面积=[g/C=OC./G,，s-OB-AC-4>/5-2A/5

9ACr=------------=--------------=4

OC5

4P+如OP的最小值是4.故答案为：4.

5

【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，以及最短路径问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，菱

形的面积公式，将NP+好OP转化为4P+PG是解题的关键.

5

3.（2021•眉山市・中考真题）如图，在菱形/BCD中，AB=AC=\Q,对角线相交于点。，

点M在线段ZC上，且4/=3,点尸为线段3。上的一个动点，则的最小值是.

2

B

【答案】

2

【分析】过/w点作/VW垂直BC于，点，与。8的交点为P点，此时MP+’PB的长度最小为再算

2

出的长度，在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得

【详解】过M点作/W”垂直BC于，点，与08的交点为P点，此时MP+’PB的长度最小

2

,菱形48co中，AB=AC=\0：.AB=BC=AC=10,AABC为等边三角形

：.ZPBC=30°,NACB=60；在直角"BH中，ZPBH=30Q：.PH=-PB

2

此时MP+-PB得到最小值，MP+-PB=MP+PH=MH

22

V4C=10,AM=3,：./WC=7又//^<=60°，乂"=/\^5访60°=—6'故答案为：―出

22

【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.

4.（2023春•浙江•八年级专题练习）如图，矩形/BCD中AB=3,BC=。,E为线段48上一动点，连接

【答案】3

【详解】思路引领：在射线A8的下方作/M45=30。，过点E作于7,过点C作SL4M于H.易

\S.ET=-AE,推出』4E+EC=CE+EnCH,求出CH即可解决问题.

22

答案详解：：四边形/BCD是矩形，.•.48=90。，

.,.tanZC4S=—=—,：.ZCAB=30°,：.AC=2BC=2日

AB3

在射线45的下方作/肪18=30。，过点E作于T,过点（7作8。4M于H.

'：ZCAH=60°,NCHA=90°,AC=26，，S=/C・sin6°=2Gx组=3,

2

-AE+EC=CE+ET>CH,：.-AE+EC>3,；.的最小值为3,故答案为3.

222

5.（2023•重庆沙坪坝•八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线3y=+逋与x轴交于点C,

32

与y轴交于点A,分别以OC、为边作矩形/8CO,点。、E在直线/C上，且。£=1,则+的

最小值是.

373+1

【答案】

-2-

【分析】如图，过点B作BM〃AC交X轴于M,在直线BM上截取BB，=DE=1,过点B作B，F_LOM于F,

过点E作EH_LOC于H,连接B'H.证明BD+gEC=B'E+EH2B'H,再根据B'HNB'F,求出B'F即可解决问题.

【详解】如图，过点B作BM〃AC交X轴于M,在直线BM上截取BB，=DE=1,过点B，作B，F_LOM于F,

过点E作EHLOC于H,连接B，H.

y=-苴x+38与X轴交于点C,与y轴变于点A,

32

令x=0,y=地，令y=o,得x=2AA(0,—C(-,0),

2222

oQ_________

,-.OA=—,OC=-,/.AC=yj0A2+0C2=3A/3=2OA,.\ZACO=30°,

22

VEH±OC,.,.EH=yEC,：BB'=DE,BB'〃DE,；.四边形DBB'E是平行四边形，.，.BD=B,E,

：BM〃AC,.,.ZBMC=ZACO=30°,VZBCM=90°,BC=^I,；.BM=2BC=3百，

2

.•.B'M=l+36，：NMFB'=90°,B'F=?MB'=,

22

VBD+EC=B,E+EH>B,H,B'HZB'F,BD+gECN拽上L

222

.•出口+；£€：的最小值为递土1,故答案为

【点睛】本题考查一次函数的性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的性质等知识，解题的关键是学会

用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

6.(2023•广东珠海•校考三模)如图，在RtZX/BC中，乙4cB=90。，/C=4,BC=3,点。是斜边上

的动点，则CD+—AD的最小值为.

2

【答案】比1

【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知ABCESAB/C,最

后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答.

【详解】解：过点A做/B/M=45。，过点。作〃■于过点C作于点E,

五5

DH=AD-sinADAH=AD=—AD.CD+—AD=CD+DH,

22

,两点之间线段最短，，当C、D、〃共线时，CD+ZW的值最小，即CD+DH的最小值为CN,

VZACB=90°,AC=4,BC=3,：.AB=^AC2+BC2=5-

CEBEBC3

CELAB,：.ZCEB=ZACB=90°,•:/B=/B,，八BCEs八BAC,：.——二——=——=—,

ACBCAB5

3123912

CE=—x4=—,BE=—x3=—,*.*/CDE=/ADH=45°,DE=CE=—,

55555

1?/?1294

••CD=yp2CE=------,4。—AB—DE—BE=5----------=—,

5555

：.DH=-AD=—^-=—,：.CH=CD+DH=X^+—=i^,故答案为^

22555555

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握相似三角形的判定与性质

是解题的关键.

7.（2022・湖南•九年级月考）如图，在RtZ\/8C中，ZACB=9Q°,N/=60°,AB=6,△BCD为等边三

角形点£为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作£以〃/8,交直线NC于点M作EN〃4。交直

【解答】解：过E作昉■，/C交/C的延长线于点X,

'JEN//AC,EM//AB,四边形NNW是平行四边形，NHME=NA=60°,

设EM=AN=a,AM=b,RtZV/EM中，NHEM=30°,：.MH=^ME=^a,

22

LAN+AM=^a+b=MH+AM=AH,当E在点。时，4Hr的值最大是：3+4.5=75

22

工NN+/M的最大值为7.5,故答案为：7.5.

2

8.（2023•内蒙古通辽•统考一模）如图，已知菱形48CD的边长为8,点M是对角线NC上的一动点，且

ZABC=120°,则MA+MB+MD的最小值是.

【答案】8也

【分析】过点。作。48于点E,连接3D,根据垂线段最短，此时DE最短，即最小，根

据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论.

【详解】解：如图，过点。作。于点E,连接AD,

:菱形中，ZABC=120°,ZMAE=30°,

：.ZDAB=60°,AD=AB=DC=BC,MD=MB,△NDB是等边三角形，

■:NMAE=30°,:.AM=2ME,,:MD=MB,：.MA+MB+MD=2ME+2DM^2DE,

根据垂线段最短，此时。E最短，即小最小，

•.•菱形N3C。的边长为8,DE=ylAD2-AE2=A/82-42=473，

：.2DE=8拒..,.M4+VB+M）的最小值是86.故答案为：873.

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三

角形的判定与性质.

9.（2021•山东淄博市•中考真题）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形/BCD,如图所示.若Na=30。,

则对角线上的动点P到4民。三点距离之和的最小值是

【答案】60cm

【分析】由题意易得四边形45co是菱形，过点。作DELBC于点E,连接AC,交BD于点。，易得

BC=CD=6cm,CE=30cm，然后根据勾股定理可得8。=（3指+3行,则

BO=§瓜+3&cm，tanZABD=tanZCBD=2->进而可得/。=孑遮~K^cm，要使

22

尸”+尸C+PB为最小，即2PZ+必的值为最小，则可过点A作A/WL4P,且使N/MP=30°,连接

最后根据"胡不归”问题可求解.

【详解】解：•.•纸条的对边平行，即/。〃8。,48〃。。，，四边形45。。是平行四边形，

...两张纸条的宽度都为3cm,四边形在⑦=48x3=80x3,.•.&§=BC,.•.四边形4SCO是菱形，

过点。作DE_LBC于点E,连接AC,交BD于点。，如图所示：

,/ZDCE=30°,DE=3cm，,BC=CD=2DE=6cm,CE=\lcD2-DE2=36cm，

BE=(6+3⑹cm,BD=^BE2+DE2=0几+3码cm,

...B(J=3V6+3V|cm,tanZABD=tanZCBD=—=2-73,

2BE

/.AO=BOtanZABD=3瓜-3后加，

2

过点zU、4W_LZ（P,且使44A0=3O°,连接8/W,如图所示：

:.MP=2AP，要使24P+P3的值为最小，则需满足P5+9为最小，根据三角不等关系可得：

PB+PM>BM，所以当B、p、M三点共线时，必+9取最小，即为BM的长，如图所示：

L9A/2-3A/6r-

••OM=y]3A0=----------cm>BM-BO+OM=6v2cm>

2

•••24P+P3的最小值为6&cm，即NP+尸C+P5的最小值为6jlcm；故答案为6，Icm.

【点睛】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定及含30。直角三角形的性质，解题的关键是利用"胡不

归"原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可.

10.（2023春•广东广州•八年级校考期中）在菱形48co中，40/2=30。.

图1图2

（1）如图1,过点2作于点E,连接CE,点F是线段CE的中点，连接3F,若AE=C，求线段3尸

的长度；（2）如图2,连接4C.点。是对角线/C上的一个动点，若4B=2娓,求。2+QC+QD的最小值.

【答案】⑴]⑵

【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性质求出从而得到8c=2,BE=\,利用勾股定理求出CE,

再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案；

（2）过点C在直线/C的上方作乙1CK=3O。，分别过点5、。作BH'CK于点H,0GLCX于点G,BH交

ZC于点。'，连接3G,贝!|QG=；QC,QB+QC+QD=QC+2QB=2（^QC+QB）=2（QG+QS）,当点。与。重合

时，0G+QB的值最小，当点0与0'重合时，QG+QB=QH+BQ=BH.再根据菱形性质和等腰直角三角形

性质即可求得答案.

【详解】（1）解：,NDAB=3Q。，：.AB=~^X2=2,

在菱形48CD中，.•.3C=2,BE=\,在Rt^CBE中，CE='BC?+BE?=@+F=6,

■:点尸是线段CE的中点，.•.8F=』CE=亚；

22

（2）如图，过点C在直线/C的上方作4CK=30。，分别过点8、。作BH"CK于点H,0GLCX于点G,

BH交AC于点、Q',

K

连接BG,贝！］QG=；QC,•.〃、。关于直线/C对称，，。台二。。，

.•.QB+QC+QD=QC+2QB=2（；QC+QB）=2（QG+QB）,当点。与。重合时，QG+QB的值最小，

当点。与。'重合时，QG+QB=QH+BQ=BH.当点。与。'不重合时，QG+BQ>BG>BH.

••・四边形/BCD是菱形，ABCD=30°,ZBCA=|ZBCD=15°,

2%

又；N/CK=30°,ABCK=ZBCA+ZACK=45°,vZBHC=90°,BC=AB=276,BH=--=-^=-=2^,