高考数学专项复习训练：不等式章末复习与测试

第18讲不等式章末复习与测试

【苏教版2019必修一】

目录

题型归纳................................................................................

题型01不等式的性质及应用..............................................................................2

题型02一元二次不等式的解法.............................................................................5

题型03基本不等式及应用.................................................................................8

题型04不等式在实际问题中的应用......................................................

单元小测...............................................................................................13

知识梳理

一、不等式的性质及应用

1.不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有

时也可结合特殊值法求解.

2.通过不等式的性质，提升数学抽象和逻辑推理素养

二、一元二次不等式的解法

1.对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘

的形式，从而得到不等式的解集.

2.借助不等式的解法，培养逻辑推理和数学运算素养

三、基本不等式及应用

1.基本不等式：加W号(g0,b'O)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别

是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的

技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.

2.借助基本不等式的应用，提升数学抽象和数学运算素养

四、不等式在实际问题中的应用

1.不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本

不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键.

2.利用不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养和数学运算素养

题型归纳

题型01不等式的性质及应用

【解题策略】

不等式性质的应用方法

(1)作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等.

(2)不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注

意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项

【典例分析】

7

【例1】（2023高一上•安徽芜湖・专题练习）若正实数满足不等式组,则。，瓦c的大小关系为（）

2b<c+a<——b

4

A.b<a<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

11a+b+c7

一<-------<—

53

a+b+c13/口…a+b+ca+b+ca+b+c

【分析】根据题意，化简不等式为2<-------<—,得到-------»------->-----,--即可求解.

aOb

八a+b+c15

3<------------<——

b4

6c7411a+b+c7

—<〃+。<—c一<-------<—

535C3

7a+b+c13

【详解】由不等式组〃<"。<文因为a,》,c均为正实数，于是<2<-------<—

oa6

C711a+b+c15

2b<c+a<——b73<-------<—

4b4

a+b+c-7a+b+c1113a+b+c，

所以一;—>3>->------------>—>—>------------,所以人<c<a.

b3c56a

故选：B.

【变式演练】

【变式1］（2324高一上•安徽宣城・自主招生）已知实数a,b,则下列选项中正确的是（）

A.若a>b,则标>52B.若阿〉则

C.若4>同，则〃2〉匕2D.若a>b,贝内<\

11ab

【答案】C

【分析】赋值判断A,B,D,利用不等式性质判断C.

【详解】对于A选项，a=\,b=-\,满足。>6,此时/=16=1,不满足标>〃，故A错误；

对于B选项，a=i,b=-\,满足同>匕，此时/=112=1,不满足4>62,故B错误；

对于C选项，«>|^|>0,所以/>好=62,故C正确；

对于D选项，a=l,b=-\,满足此时,=/,，=7,不满足故D错误，

abab

故选：C.

【变式2](2223高一上•江苏苏州•阶段练习)若。>0力>。且标6,试比较大小：4+已八+加(填“<”或

【答案】>

【分析】根据已知条件，结合作差法，即可求解.

【详解】由题意，

。>0,6>0且球b,

cr,+h—足b一ab~=(a—b)(o+6)>0,

则a3+b3>a2b+ab2.

故答案为：>

【变式3](2324高一上.辽宁辽阳•期中)(1)己知,试比较M,N的大小.从下列两个条件中选择其中一个

填入横线中，并解答问题.

①M=(x+8)(x+ll),N=(x+9)(x+10),②M=非-2,N=^-亚.

(2)若X>y>0,证明：;1y5>14,2+尤2,4.

【答案】(1)选①：M<N；选②：M>N.

(2)证明见解析.

【分析】(1)利用作差法和求倒数的方法比较大小；(2)作差法证明不等式.

【详解】(1)

选①：M-Af=(x+8)(x+H)-(x+9)(x+10)=(x2+19x+88)-(x2+19x+90)=-2<0,

所以M<N；

选②：:=儿=6+2,Wr"+6

由。<石+2<用6,得。力。所以M>M

(2)证明：

x5y+xy5—(x,yZ+x2y4)=x4y(x—y)+xy4(y—x)=xy(x—y)(x3—y3)

=xy(A：-y)2(x2+xy+y2),

由尤>y>0,得孙(%_,)-卜2+孙+y2)>0,

所以_?>+孙5>/,2+彳2,4

题型02一元二次不等式的解法

【解题策略】

对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式,

则可对判别式分类讨论，分类时要做到不重不漏

【典例分析】

【例2】（2324高一上.吉林延边•阶段练习）不等式9-12XW-4Y的解集为（）

A.RB.0D.

2

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可.

【详解】由9-12XMY-,得4--⑵+940,

3

得（2x-3）2<0,解得x=—,

所以不等式的解集为“|x=|1,

故选：c

【变式演练】

【变式1］（2324高一上•河南濮阳•阶段练习）已知关于X的一元二次不等式4犬+法-c<0的解集为{x|3<尤<5},则

不等式cf+H-a>。的解集为（）

A.或B.或

c."<口f111

D.——<%<——>

135；

【答案】D

【分析】由题意可得。>0且方程%-。=0的解为3,5,利用韦达定理将仇。用，表示，再根据一元二次不等式的解

法即可得解.

［详解】因为关于x的一元二次不等式ax2^bx-c<0的解集为{无13<x<5},

所以〃>0且方程ox?+6%_°=0的解为3,5,

hr

所以—=8,—=15,所以〃=—8〃,c=-15a,

aa

则不等式cf+hx-a>o,即为不等式-15公2一8以一。>0,

贝!J15Y+8尤+1<0,解得一g<x<-g,

所以不等式ex?+fer-a>0的解集为,J-；<x<.

故选：D

【变式2］（2324高一上•安徽蚌埠•期末）已知正数x，V满足x+y=2,若'+工

恒成立，则实数小的取值范

尤y

围为_____•

【答案】（T，2）

【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式，解出即可.

【详解】因为x>0,y>0且x+y=2,所以

iii、11

一十—=7（%+y）2+3

xy2y2%y

-ix[2+2vi-tj=2,当且仅当'=彳=1时取等号.

11

因为不等式一+—>根9一加恒成立，

%y

所以加之一相<2,解得—1<m<2.

故答案为：(T，2).

【变式3](2324高一上•陕西宝鸡•期中)已知P：实数x满足(x-a)(x-3a)<。，其中”>0；4：实数x满足一/+5%一620

⑴若。=1,且。，4均正确，求实数x的取值范围：

(2)若力是F的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】⑴23)

(2)(1,2)

【分析】(1)解不等式，取交集即得；

(2)由题设可推得集合间的包含关系，从而得到关于。的不等式组，求解即得.

【详解】(1)。=1时，由。一1)(*一3)<。解得：1<尤<3,

由+5x-620解得：2<x<3,

因。应均正确，故2W尤<3,

即实数x的取值范围是⑵3).

(2)由力是F的充分不必要条件，

则4是P的充分不必要条件，

因P为a<x<3a,4为2WxW3,故[2,3]为(“,3a)的真子集，

a<2

:.<3a>3,解得：1<«<2,

a>0

故实数。的取值范围是（L2）.

题型03基本不等式及应用

【解题策略】

利用基本不等式求最值的注意点

（1）把握不等式成立的条件：一■正、二定、三相等.

（2）注意寻求已知条件与目标函数之间的联系.

（3）利用添项和拆项的配凑方法，使积（或和）产生定值.特别注意“1”的代换

【典例分析】

【例3】（2324高一上•浙江台州•期末）若a>0,b>0,a+b^l,则（）

A.-+-<1B.4ab<l

ab

C.a1+b2>1D.y[a+4b<1

【答案】B

【分析】结合已知条件，利用基本不等式判断各选项中的结论是否成立.

【详解】若a>0,b>Q,a+Z?=l,

—+y=f—+yl（a+。）=1+—+y+1N2+=4,当且仅当a=b=—等号成立，A选项错误;

abbjx7ab\ab2

44V4x（9：=1,当且仅当。=6=g等号成立，B选项正确；

l=（a+b）1=a2+b2+2ab<2（a2+b2）,得"+炉弓，当且仅当。=b=；等号成立，C选项错误；

（后+指）=a+b+l4ab<2（a+Z?）=2,得曰+&<拒,当且仅当。=6=g等号成立，D选项错误.

故选：B

【变式演练】

【变式1］（2324高一下•辽宁抚顺•阶段练习）已知a,b均为正实数，a2-b+4<0,则犯半的最小值为（

a+b

【答案】B

【分析】由不等式的性质以及基本不等式即可求解.

【详解】由题意。涉均为正实数，a2-b+4<0,

14

T，

ba2+44a

左边第一个不等号成立的条件是b=a2+4,右边第二个不等号成立的条件是a=2,

综上所述，当且仅当“=2/=8时，犯予取最小值，且但上当=含

a+bIa+b5

故选：B.

【变式2】（2324高一上.北京.期中）若x>0,则2+x+L的最小值是；此时x的值为.

【答案】

【分析】利用基本不等式计算可得.

【详解】因为x>0,所以2+X+-N2+2,

当且仅当尤=—,即x=l时取等号,

所以当x=l时2+x+—取最小值4.

故答案为：4；1

【变式3］（2324高一上•云南曲靖・期末）已知a>0,b>0,且。+人=2,证明:

(l)a2b+ab2<2;

(2)j+

Q+1Z?+l

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用基本不等式，求得0＜而41,进而证得〃6+油2«2.

(2)化简+然后利用不等式的性质以及(1)的结论证得上^+"£'2.

6Z+1Z?+16Z4~1Z?+1

【详解】(1)c^b+ab2=ab^a+b)=2ab,

因为〃＞0,力＞0,2=a+bN2猴,则0＜4。＜1,当且仅当a=0=1时等号成立，

所以片方+972K2；

⑵〃3+户+〃_々3+(2々)+83+(2—Z?)_(/Q)+2+仅3匕)+2

a+1Z?+1Q+1Z?+1Q+1b+1

Q(〃+1)(Q—1)+2Z;(b+1)(力一1)+2

=a2+b2-a-b-\-----1----

〃+1Z7+1Q+1Z7+1

2(Q+Z?+2)

=a2+/+2—2=(〃+/?)—2ab+

(a+l)(b+l)

8_j_8C7c

2ab+2=-------2ab+2,

ab+a+b+1---------ab+3

由(1)有0<"Wl,有"+3W4,-ab>-l,有一'一>-,-2ab>-2,

ab+34

Q1

W-——2^+2>8x--2+2=2,当且仅当a=0=l时等号成立，

ab+34

a3+b/+〃

-----+----->2

所以4+lb+1

题型04不等式在实际问题中的应用

【解题策略】

解决与不等式有关的实际应用问题的注意点

（1）审题要准，初步建模.

（2）设出变量，列出函数关系式.

（3）根据题设构造应用不等式的形式并解决问题

【典例分析】

【例3】（2324高一上・甘肃白银•期末）某公司一年购买某种货物500吨，每次购买x吨，运费为5万元/次，一年的总

存储费用为9尤万元，则一年的总运费与总存储费用之和的最小值为（）

A.200万元B.300万元C.400万元D.500万元

【答案】B

【分析】根据题意列式利用基本不等式运算得解.

2500八。12500八“八

【详解】由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和为：y=—x5+9x=--------i-9x>2J------x9x=300，

XxVx

当且仅当空&=9x,即》=当时取等号，

x3

所以一年的总运费与总存储费用之和的最小值为300万元.

故选：B

【变式演练】

【变式1］（2324高一上•四川成都•阶段练习）某公司购买•批机器投入生产,据市场分析，每台机器生产的产品可获

得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为y=-Y+18x-25（xeN*）,则该公司每台机器年

平均利润的最大值是（）万元.

A.8B.12C.28D.56

【答案】A

【分析】利用基本不等式求得年平均利润的最大值.

【详解】年平均利润2=空］+18W-2.0^+18=8,

xvx）Vx

当且仅当％—,X=5时等号成立.

x

故选：A

【变式2］（2324高一上•山西太原•期中）将基本不等式向4审（。>0,6>0）推广可得正确结论

师〈竺宁⑺〉。*〉。,。〉。），当且仅当。=b=c时，等号成立.利用此结论解决问题：己知一个矩形的周长为18cm,

将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱,当矩形的长是cm时，旋转形成的圆柱体积最大，其最大值是cn?.

【答案】610871

【分析】设矩形的两边长分别为xcm,Rm,则尤+产白+夫+”为根据圆柱的体积公式结合题中公式即可得解.

【详解】设矩形的两边长分别为xcm,wm,

贝!=+；尤+y=9,

（iiY

1i—xH—x+y

则圆柱的体积丫=兀・炉.丁=4兀•一%•一44兀・—----=108兀cm）

223

\7

当且仅当《无=［x=y,即x=6,y=3时取等号，

22

所以当矩形的长是6cm时，圆柱的体积最大，为1087icm3.

故答案为：6;10871.

【变式3］（2324高一上.辽宁沈阳.期中）如图，某居民小区要建一个八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两

个相同的矩形ABCD和矩形EFG”构成的面积为200m,的十字形地域，并计划在正方形MNP。上建一座花坛，造价为

4200元/n?；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地砖，造价为210元/n?；再在四个空角（图中四个三角

形）上铺草坪，造价为80元/n?.受地域影响，AD的长度最多能达到4m,其余边长没有限制.设总造价为S,AO的长

为当尤为何值时，S最小？并求出这个最小值.

HG

【答案】x=Ji6时，s最小，最小值为ii8ooo.

【分析】先求得s的表达式，然后利用基本不等式求得最小值以及此时对应的X的值.

【详解】设OQ=y,5LAD=X,

贝If+4孙=200,所以了=2。。一厂,

4x

所以S=4200x2+210x4^+80x2/

=38。。。+4。。。/+以”

X

>38000+2x4000

=118000.

当且仅当尤2=詈时，即工=何时，等号成立，

所以当x=而时，s最小，最小值为118000

错归纳

【单元测试】

一、单选题

1.（2324高一上.广西桂林.期末）不等式f-2x-3<0的解集为（）

A.(2,3)B.(—8,-3)C.(-1,3)D.(3,+oo)

【答案】C

【分析】直接解出一元二次不等式即可.

【详解】一一2%—3<0即（x+l）（x—3）<0,解得一l<x<3,

即该不等式的解集为（T,3）,

故选：C.

2.（2324高一上•浙江杭州•期中）下列说法正确的是（）

A.若a>b,JUllac2>be2

B.若“>。，c>d,则ac>

C.若—2<a<3,1<Z?<2,贝!|—3<a—b<l

rnm

D.若a>8>0,m>Q,则一<一

ab

【答案】D

【分析】举反例判断AB；利用不等式的性质可判断C；做差可判断D.

【详解】对于A,当c=0时，则碇2=济=0,故A错误；

对于B,若a=3,6=-l,c=l,d=-3,贝！|ac=bd=-3,故B错误；

对于C,若一2<。<3,l<b<2,则一所以T<a—><2,故C错误;

对于D,若a>6>0,m>0,则助>0,6-a<0,所以生上/仅一叽0,

abab

所以‘rn<m¥，故D正确.

ab

故选：D.

3.（2324高一上•浙江湖州•期末）设xeR,贝iJ“3-xN0”是“（尤-2『W1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据不等式的解法，分别求得不等式构成的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式3—xNO,可得xW3,构成集合4={号.%<3},

又由(X-2)241,解得1WX<3,构成集合3={X|14X43},

则集合B是集合A的真子集，所以“3-x20”是“(x-2)2W1”的必要不充分条件.

故选：B.

14a

4.(2324高一上•安徽阜阳•期末)已知。>0,6>。且，+6=1,则丁+的最小值为()

4a2a+b

379

A.—B.—C.2D.一

244

【答案】B

【分析】根据Q+b=l将1;+产4ay转化为1;+*4〃7,利用基本不等式即可求解.

46/2a+b4aa+1

.、U5・14a14a1+a4。1

【详解】一+-----=—+——=——+-------

4a2a+b4。a+14aa+14

炉士一LZ,当且仅当1±4=±,

\4a<2+1444aa+1

12

即〃=§，匕二写时取得等号•

故选：B.

5.(2324高一上.湖北恩施•期末)已知关于x的不等式炉一(a+l)x+a<0恰有三个整数解，则实数。的取值范围是()

A.[-3,-2)u[4,5)B.(-3,-2]u(4,5]

C.(-3,-2]o[4,5)D.[-3,-2)u(4,5]

【答案】D

【分析】化不等式为(x-a)(x-l)<。，分。=1,和a<1三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解.

【详解】不等式Y-(a+l)x+a<0,可化为(x-a)(x-l)<0,

当。=1时，不等式I—(4+1>+。<0的解集为空集，不合题意；

当a>1时，不等式厂―(a+l)x+a<0的解集为(1,a)，

要使不等式d-(a+l)x+。<0恰有三个整数解，则4<aW5,

当a<1时，不等式厂—(a+l)x+a<0的解集为(a,l),

要使不等式炉-(°+1)尤+。<0恰有三个整数解，则-34a<-2,

综上可得，实数。的取值范围是[-3,-2)口(4,5].

故选：D

41

6.(2324高一上・江苏徐州•阶段练习)已知正实数〃力满足--+=1,不等式机<〃+2)恒成立，则实数机的取

a+bb+1

值范围是()

A.m<6B.m<5C.m<9D.m<8

【答案】D

【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得当。=4,6=2时，a+2b>8,即可求得实数机的取值范围是加W8.

【详解】易知a+2b+l=(a+6+b+l)[工+[]]=5+幺孚+学

\a+bb+1)a+bb+\

25+2、贮三=9，

Va+bb+\

所以可得。+2)28；

当且仅当险+D="，即。=4,6=2时，等号成立；

a+bb+\

依题意需满足加<(4+%)哂=8，所以机W8.

故选：D

7.(2324高一上.内蒙古赤峰.阶段练习)若正实数。，b满足a+b=l,则下列说法错误的是()

A.他有最大值:B.工+工有最小值4

4ab

C.有最小值1D.〃+扬有最大值0

2

【答案】C

【分析】利用基本不等式一一判断求解即可.

【详解】因为正实数。，b满足a+b=l,则有：

对A,因为当且仅当=!时，等号成立，A正确；

I2J42

对B,—+—=f—+—>Ifa+Z?）=—+—+2>2.1—­—+2=4,

abb）ab\ab

当且仅当2=:,即“=6=：时，等号成立，

ab2

所以工+:有最小值4,B正确；

ab

对C,因为M+Z?，当且仅当a=b=:时，等号成立，C错误;

222

对D,因为（折+痣）<2（6）+（痣）=2（a+b）=2,

当且仅当a=6=（时，等号成立，所以夜+班V0,D正确；

故选：C.

8.（2324高一上•北京•期中）如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dmY图中阴影部分），上下空

白各宽2dm,左右空白各宽1dm,则四周空白部分面积的最小值是（）dm2.

A.48B.56C.65D.88

【答案】B

【分析】先求得空白部分面积的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.

【详解】设阴影部分的长为尤，宽为y,x，y为正实数，且孙=72dn?,

贝I空白部分的面积为（y+4）xlx2+2xx2=4x+2y+8

>2d+8=56dm2,

当且仅当4x=2y,2x=y=12时等号成立.

故选：B

二、多选题

9.（2324高一上•云南曲靖•期末）若a,0,ceR,且。>0,则下列不等式一定成立的是（）

,cab仆

A.a-c>b7—cB.—>z0）

C.a3>a2bD.+廿）（4-Z?）>。

【答案】ABD

【分析】利用不等式的性质判断A、B、D,由特殊值判断C.

【详解】对于A,由及不等式的性质可知故A正确；

对于B,由a>6,—0及不等式的性质可知二>?（cw0）,故B正确；

CC

对于C,若。=0,可得故c错误；

对于D,由。>6及>0,可得+62）g_6）>0,故D正确.

故选：ABD.

10.（2324高一上•吉林延边•阶段练习）下列结论错误的是（）

2

A.若a>b,则ac<bcB.若a>b,则十C.若问〉问，则a?〉//D.若ac?>be?,则

a>b

【答案】AB

【分析】举反例判断A,B,利用不等式性质判断C,D.

【详解】取a=2,6=-2,c=l可得，a>b,但ac=2>-2=bc,A错误；

取a=2力=-2可得，a>b,但!=弓>_弓=\,B错误；

aZZb

因为同>同，又回对，所以,>M，故°2>凡c正确；

Sac2>be1,可得02>0,所以。>6,D正确；

故选：AB.

11.(2324高一上•广西柳州•阶段练习)下列说法正确的是()

A.函数y=l-尤-一的最大值为1-2/

X

1Q

B.函数y+一=的最小值为16

sinxcosx

C.若2a+6=l,贝！Jq(a+6)最大值为9

4

D.若。，Z;eR+,a+b=l,则Jl+a+J1+6的最大值为"

【答案】BCD

【分析】举反例可判断A项，运用“1”的代换及基本不等式可判断B项，由6=1-2。代入“(a+力，转化为求二次函数

的最大值可判断C项，计算(J币+"花了，再结合(a+1)+(b+1)22J(a+1)S+1)即可判断D项.

【详解】对于A项，当x=-1时，y=l-(-1)=5>1—2-^,故A项不成立；

-,1

对于B项，因为y=」+3=(sin"+cos2x)[3+3]=io+0+%321O+2、mK£H=16,

sinxcosx<smxcosx)sin2xcos2xysin2xcos2x

当且仅当%^=型限，即COS2X=3,sin"=9时取等号，

sinxcosx44

1Q

所以函数丁=「一+—二的最小值为16,故B项正确；

sinxcosx

对于C项，因为2a+6=l,所以匕=1一2。,

以Q(Q+Z?)=a(a+1-2〃)—ci(\—ci)=—ci2+a,

所以当a=g时，。(。+力取得最大值为-§)2+；=；,故C项正确；

对于D项，因为。，Z?eR+,a+b=l,所以3+1)+(。+1)=3,

所以(a+l)+(b+l)Z2j(a+l)S+l),当且仅当“=6=g时取等号，

即2j(a+l)S+DW3,当且仅当。=。=3时取等号，

所以(#^+^/i7^)2=2+a+b+2J(a+l)S+l)V2+l+3=6,当且仅当。=6=g时取等号，

所以Jl+a+Jl+6的最大值为后,故D项正确.

故选：BCD.

三、填空题

12.(2324高一上•重庆・期中)已知x,ye(0,+8),且满足x+4y+冲=5,则U的最大值为

【答案】1

【分析】利用基本不等式即可求解.

【详解】因为x,ye(0,+8),

所以5=x+4y+孙22jxx4y+孙,

得(7^+5)(而T)＜0=。＜7^41n0＜孙41,

当且仅当x=4y=2时取等号，即盯取最大值1.

故答案为：1

13.(2324高一下•河南周口•阶段练习)已知三角形A3C的三边长分别为"c,有以下4个命题:

①以«■,扬，正为边长的三角形一定存在；

②以/,/,片为边长的三角形一定存在；

③以审,"£,彳为边长的三角形一定存在；

222

④以卜-4+1*-。|+1,卜-4+1为边长的三角形一定存在，其中正确的命题有(填写所有正确命题的序号).

【答案】①③④

【分析】设aN/^c>0,6+c>a,再利用构成三角形的条件及不等式的性质，逐一对各个选项分析判断，即可求出结

果.

【详解】不妨设〃NbNc>O/+c>a,

对于选项①，因为所以日之加之&>0,

又(扬+丘)-6=牛二害%>0,所以选项①正确，

对于选项②，若〃=4S=3,c=2,满足条件，但〃+,2<〃，不构成三角形，所以选项②错误；

,十3।/rrt、ni=ib〃+力、。+。、匕+。„,(7+61Z?+C.Q+Z?„llt、r3

对于选项③，由假设易知一~—N一~一2—~—>0,由(z一-—I---)-=c>0,所以选项③正确，

222222

对于选项④，g|^;|<7-Z2|+l>0,|Z2-c|+l>0,|c-a|+l>0,

(|a-&|+l)+(|Z7-c|+l)-(|c-a|+l)=(a-/?+l)+(Z7-c+l)-(a-c+l)=1>0,

(|Z?-c|+l)+(|c-6!|+l)-(|fl-Zj|+l)=(Z7-c+l)+(a-c+l)-(o-Z?+l)=2(Z7-c)+l>0,

(|c—4+l)+(|a—4+D—(性一c|+l)=(a—c+l)+(a—6+l)—(6—c+l)=2(a—b)+l>0,所以选项④正确，

故答案为：①③④.

14.(2223高一上•江苏宿迁•期中)已知无，y>0,且冷+2x+y=7,则x+y的最小值为.

【答案】3

【分析】将孙+2x+y=7拼凑成(x+l)(y+2)=9,再结合基本不等式即可求解.

【详解】原式封+2尤+y=7变形可得(x+l)(y+2)=9,由>0得x+1>0,y+2>0,

贝l|(x+1)+(y+2)22a包石旬=2次=6,

当且仅当x=2,y=l时取到等号，所以x+y+3»6,x+y>3,

故无+y的最小值为3.

故答案为：3

四、解答题

15.(2324高一上•四川乐山•期中)已知函数/(x)=d-10x+9.

⑴求不等式〃x)>0的解集；

(2)若x>0,不等式〃x)2以恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)上|尤<1或x>9｝；

⑵ST

【分析】(1)直接解不等式无2-108+9>0即可；

QO

(2)转化问题转化为x+：-102a(x>0)恒成立，然后利用基本不等式求出-10的最小值即可.

【详解】C1)不等式1(力>0,即为尤2一10》+9>0,

则有(xT)(x-9)>0,

解得％<1或％〉9,

所以不等式/(%)>0的解集为｛x\x<1或X>9｝.

(2)不等式2依(％>0),即为尤2—10尤+92ax,

OO

所以x+=-102。(％>0),只需工+=-10的最小值大于或等于。即可，

XX

9I~~

因为x+‘—2—10=—4,

9

当且仅当了=—即犬=3时取等号.

x

9

所以％+-—10的最小值为T,所以

x

故。的取值范围是（-00,-4]

16.（2324高一上•江苏连云港•期中）如图，一份纸质宣传单的排版面积（矩形ABCD）为P,它的左右两边留有宽为

。的空白，上下两边留有宽为2a的空白.

⑴若AB=20cm,BC=30cm,且该宣传单的面积不超过lOOOcn?,求。的取值范围；

（2）若a=2cm,P=800cm2,当边A3多长时，纸的用量最少？

【答案】（i）o<“wg

（2）20cm

【分析】（1）根据题意可得出关于。的不等式，结合。>0可得出。的取值范围；

（2）设AB=xcm,则BC=K^cm,设宣传单的面积为S,根据题意可得出S关于x的函数关系式，利用基本不等式

X

可求得S的最小值及其对应的X值，即可得解.

【详解】（1）解：由宣传单的面积不超过lOOOcn?可得：（20+2。）（3。+4。）41000,

化简得2a2+35a—100W0n（2a—5）（a+20）W。，

解得-204av|,又a>0,所以0<aW,

（2）解：设AB=xcm,则8C=Mcm,设宣传单的面积为S,

X

则S=（X+4）（陋+[=8尤+磔^+832>832+2kx.当^=1152,

\JX\X

当且仅当8尤=学(》>0),即x=20时取等号.

所以当长为20cm,才能使纸的用量最少.

17.(2324高一上•广东河源•阶段练习)T^y=mx2+(l-m)x+m-2.

(D若不等式y2-2对一切实数X恒成立，求实数m的取值范围;

(2)在(1)的条件下，求也土也£的最小值;

(3)解关于尤的不等式/(x)<m-l.

【答案】(1)

(2)4

(3)答案见解析

【分析】(1)分〃?=0和m工0讨论，当相片0时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解;

4

(2)变形为根+1+-利用基本不等式求解可得；

(3)整理得(M+1)(X-1)<0,根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可.

【详解】(1)由丁