2025高考数学一轮复习知识清单：比大小归类 （原卷版）

专题07比大小归类

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目录

题型一：基础函数：指数函数性质..................................................................1

题型二：基础函数：对数函数性质..................................................................2

题型三：幕指对函数性质..........................................................................3

题型四：借助0、1分界..........................................................................4

题型五：指数型同构法............................................................................5

题型六：借助常数分界............................................................................5

题型七：放缩型..................................................................................6

题型八：构造型1：对数嘉型......................................................................7

题型九：构造型2：指数幕型......................................................................8

题型十：构造型3：指数线性构造..................................................................9

题型十一：构造型4：对数线性构造................................................................9

题型十二：构造型5：三角函数线性构造...........................................................10

题型十三：构造型6：综合构造...................................................................11

题型十四：三角函数型构造比大小.................................................................12

题型十五：得指对与三角函数混合型...............................................................12

题型十六：泰勒展开.............................................................................13

题型十七：麦克劳林展开.........................................................................14

更突围・檐;住蝗分

题型一：基础函数：指数函数性质

指I点I迷I津

指数函数比大小易错点：

1.利用指数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待.

2.指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质

3.指数函数图像性质：一点一线。恒过定点（0,1）,x轴是它的水平渐近线

4.进行指数幕的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调

性进行判断.对于不同底而同指数的指数塞的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.

_L3

1.（23-24高三.湖南衡阳•阶段练习）设q=T|j，C=lnL6,则（）

A.c<a<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

2.（23-24高三•云南昆明•模拟）已知。=0.33，（e为自然对数的底数）c=tanl,比较。，b,

的大小()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

3.(23-24高三咛夏银川•阶段练习)已知函数=a<b<c,且/(。)>〃c)>/。)，贝U()

A.a<0,b<Q,c<0B.a<0,Z?>0,c>0

C.3一0<3，D.r+y<2

4.(2023・贵州毕节•模拟预测)已知实数次，>满足3尤+4%=5,，且％=logzB+log,d,则()

A.|x-y|>|x-2|B.|^-y|>|J-3|C.|x-2|<|2-y|D.|x-3|<|3-y|

5.(22-23高三•山东威海•模拟)已知函数/(x)=3,^a=/(log52),&=/(lg1),c=/(log2510),则()

A.a<b<CB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

题型二：基础函数：对数函数性质

指I点I迷I津

对教的教比大小，主要时通过对数计算公式辞化为站果相同，利用单调性比大小

对数运算公式

1.对数的运算法则：

M

①log£MN）=logaM+logJV②log“W=logaM—logJV;

③k>g"Af'="logaM（“eR）；④log",AT=我&”

2.对数的性质：①小小=N②log./=N30且存1).

3.对数的重要公式

①换底公式：logbN=^^；②换底推广：log*：］。；/10ga^l0gbC-10gcd=10gad.

1.（22-23高三下•河南•阶段练习）已知。=lg8,&=10g32,c=log1210,d=3°%贝)

A.c<b<a<dB.d<a<c<bC.a<b<c<dD.b<a<c<d

2

2.（23-24高三・江苏泰州・模拟）已知三个互不相等的正数。,瓦。满足0=3/=1。823+1。896,。=1。8拈（20+1）

（其中e=2.71828…是一个无理数），则a1,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

3.（2024•重庆•模拟预测）设。=log20242。23,b=log20232022,c=log020240.2023,贝"（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

4.（2024・辽宁•一模）设“_谭，6=ln乂，。=陪，贝1J（）

a—。1010

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

5.（23-24高三•广东佛山・模拟）已知2。=5,3〃=10,4。=17,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

题型三：幕指对函数性质

指I点I迷I津

有关指数累和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其

对应值的范围.

比较指对塞形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数的单调性：y=ax,当时，函数递增；当。<“<1时，函数递减；

（2）利用对数函数的单调性：y=log〃x,当。>1时，函数递增；当0<°<1时，函数递减；

（3）借助于中间值，例如：。或1等.

080808

1.（23-24高三・辽宁朝阳•阶段练习）己知。=0.8°-5+0.8°7+0.8°9,&=0.6+O,7+O.8,Cr-_Ve~S,TCTC

贝u（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

2

a

2.（23-24高三江苏泰州•模拟）已知三个互不相等的正数a,b,。满足=e\Z?=log23+log96,c=log^（2+l）>

（其中e=2.71828…是一个无理数），则。，仇。的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

3.（2023•河南•模拟预测）已知〃=ln肛Z?=k>g3；r,c=61n2,则。涉，。的大小关系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

3

4.（22-23高三・河北唐山•阶段练习）设°=>=lnl.5,c=iI]",则a,b,c的大小顺序是（）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

5.（2022•河南•一模）已知〃=e「0=兀e,c=（0）,则这三个数的大小关系为（）

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

6.（2024年高考天津卷）若。=4.2一°3,〃=4.2°3,c=log420.2,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

题型四：借助O'1分界

指I点I迷I津

解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础的

是以正负划分，正数则以1为区间端点划分。

指、对、塞大小比较的常用方法：

（1）底数相同，指数不同时，如〃和小，利用指数函数y=优的单调性；

（2）指数相同，底数不同，如以和芍利用暴函数>=/单调性比较大小；

（3）底数相同，真数不同，如log”芯和log03利用指数函数log。x单调性比较大小；

（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行

大小关系的判定.

1.（23-24高三•辽宁朝阳•阶段练习圮知a=005+007+0.8°9"=O.608+O,708+0.8%

贝I（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

2.（黑龙江省桦南县第一中学2021-2022学年高三上学期）已知。=1唱^7（，八］；1♦。=嘘1/，则mb,

c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>a>b

3.（广东省陆丰市林启恩纪念中学2021-2022学年高三学期（12月）数学试题）已知.=,b=2%c=O.302,

则b,。三者的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

4.（陕西省西安市第一中学2021-2022学年高三上学期期中）已知定义在R上的函数/（力满足当机。〃时，

03

不等式（加一"）［〃加）一/（"）］<0恒成立，若=f^log21^,c=/（4-）,贝I］0,b,c大小关

系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

题型五：指数型同构法

指I点I迷I津

指数幕同构性比较大小

①同底暴比较，构造指数函数，用单调性比较;

②同指数累比较，构造暴函数，用单调性比较;

③不同底也不同指幕比较，借助媒介“1”.

1.（江苏省镇江市2021-2022学年高三上学期期中数学试题）已知°=2羯万=|，c=log25,d=2也,

则下列大小关系正确的为（）

A.c>a>d>bB.a>c>d>bC.a>d>c>bD.a>d>b>c

2..（四川省宜宾市普通高中2022届高三上学期第一次诊断测试文科数学试题）若。=0.5°6,/,=0.6°5,c=iog93,

则a,。,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<c<a

3.（陕西省西安中学2021-2022学年上学期数学试题）若a=30-5,b=2°-6,c=In10,则三者大小关系为（）

A.c>b>a

B.a>c>b

C.b>a>c

D.c>a>b

4..已知三个实数o,b=aa,c=解，其中则这三个数的大小关系是（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b

题型六：借助常数分界

指I点I迷I津

寻找非0、1的中间变量是难点。中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。然

后可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。

1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间

2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值

3.利用募指对等函数计算公式进行适当的放缩转化

1.（陕西省西安市第一中学2024届高三下学期高考模拟押题文科数学试题（一））若

L5f

a=0.31,Z?=log312,c=log26,tZ=则有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

2.（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学理科猜题卷（四））已知〃=log52"=lg4,0=2?一】，则。，瓦。

的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

3.（2022年全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（九））若。=1阴32,b=log兀3,c=log85,则a,b,。

的大小关系为（

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.a<c<b

4.（广西师大附属外国语学校2021届高三5月高考考前模拟考试数学（理）试题）已知a=log56,6=log35,

3

c=log23,d=~,则。、b、c、d的大小关系是（）

A.b<a<d<cB.a<b<c<d

C.b<a<c<dD.a<b<d<c

题型七：放缩型

指I点I迷I津

放缩：

1.借助幕指对函数的单调性进行放缩。

2.常用一些放缩公式：

tanx>x>sin曰；

e">x+1,当x=0时取等；

当无=1时取等,

湖北省恩施州咸丰春晖学校2022-2023学年高二上学期11月月考数学试题）若a=ln5,6=U，c=拽,

35

则它们的大小关系是（）

A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

2.（山东省枣庄市第三中学2021-2022学年高三质量检测数学试题）已知。=手，b若,c=—,则a,

b,c的大小关系为（）

A.b<c<aB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

3.若QulogzG,b=2log4"，0=2一"贝U4，b,c的大小关系为（）.

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

4.设a=2有，^=log25,c=y/5,则a,b,c的大小关系为.（用连接）

江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期12月阶段性测试数学试题

题型八：构造型1：对数幕型

指I点I迷I津

常见的构造函数求导思维：在于转化过程中，“分参"一“构造”，得新函数，求导函数寻找单调性

对数军率见的拘造：

InV

构造对数基型：—

Inx

比较常见的对数幕型函数图像——

1.（2023•江西景德镇•统考一模）设a=3Zb=ne,c=eK（e为自然对数底数），则a,6,c大小关系为

（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

2.（2023上•陕西安康•高三校联考阶段练习）己知a,b,ce（e,+s）#>0,—=ak\n8,—=bkln9,—=cHnlO,

1098

贝IJ（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.c>a>b

"In44—In4*匚

3.（2023・河南•校联考模拟预测）设”7，b=——,c=史，则（）

4e22e

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

13

4（2023•辽宁抚顺•校考模拟预测）已知a=1.31nl.2,Z?=1.21nl.3,c=—,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

题型九：构造型2:指数幕型

;指点迷津

1

构造对数1导型：之11

X

ex

比较常见的对数幕型函数图像一

X

I;11K;・1—

1

c-2024

1.（2023•安徽•校联考模拟预测）已知实数“也ce（O,l）,且。=20221一2°22,〃=2023斯一2°23,c=2O24e,

贝U（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

Q

2.（2023•辽宁大连,校联考模拟预测）已知。=1,b=M，c=ln7,则b,c的大小关系是（）

A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a

3.（2023下•江苏南京•高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）设心”力=¥，c=5,则。，

b,c的大小关系为（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

4.（2023•江苏徐州・徐州市第七中学校考一模）己知。=金万，b=2厩,。=咚~（其中e为自然常数），

则。、b、c的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

题型十：构造型3：指数线性构造

指I点I迷I津

指数线性型构造特征：

多以e为底数，构造e'+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小

1.（2022•全国•模拟预测）已知q=2021e获>，/?=2022>则（）

A.a>b-\-lB.b—l<a<bC.b<a<b+\D.a<b—l

2.（2022下•四川绵阳•高三四川省绵阳南山中学校考）设。=击，b=eom,c=VfO2,则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

251

3.（2023•河南平顶山•校联考模拟预测）已知a=e-lg2-lg5b=^--,c=3--ln9,则下列不等式成立

42

的是（）

A.b>c>aB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c

iini

4.已知〃=,b=e100,c=ln--，则〃，b,c的大小关系为)

101100

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

题型十一：构造型4：对数线性构造

指I点I迷I津

对数线性型构造特征:

多以e为底数，构造lnx+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小

nhc

1.（2022上,江苏镇江二校考期中）己知a—2=In—,Z?—3=In—,c—4=In—,其中aw2,b手3,CH4,

234

贝U（）

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.a<c<b

2.（2022•全国•高三专题练习）已知。二产一？々*=4«1-4,o=21111.1,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

3.（2022上•河南•高三校联考开学考试）设a=0.01,Z?=lnl.01,c=log30.01,则（）

A.a<c<bB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

3

4.（2022下・贵州贵阳•高三校联考）设…叫b=~,c=ln3,则。，b,c的大小关系是（）

e

A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c

题型十二：构造型5：三角函数线性构造

指I点I迷I津

三角线性型构造特征:

构造sinx+kx+b或cosx+kx+等形式函数，求导，判断单调性比大小

一2。22上・浙江•高三绍兴鲁迅中学校联考阶段练习）设“=。.98+3皿。。1'6=屋。|'，=1意0go』e2022’则

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

c=21n|^,则a,b,c的大小关系正确的是

2.（2022.四川内江.统考二模）设Z?=In（1+sin0.02）,

）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

3.（2021上•江苏南京•高三校联考阶段练习）已知a=sing,1

bc=-,则（）

371

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

4.（2023下•湖南株洲•高三株洲二中校考开学考试）a=l+sin0.1,Z>=e01,c,则的大小关系为

16

（）.

A.b>c>aB.b>a>c

C.a>b>cD.c>b>a

题型十三：构造型6：综合构造

指I点I迷I津

在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量X就有了函数的形式，如

在第一题中a=lnl.01=ln（l+0.01）,c=+=黑彳，将0.01视为X,将GC视为函数y=ln（l+x^y=怖的

函数值，从而只需比较y=ln（l+x）与y=4这两个函数大小关系即可.

y=l-cosx[xe0,1J相对是先慢后快，y=log2（x+l）相对是先快后慢，解题过程中可先画出函数在区间

0，；]上的图象，根据图象来确定大小关系.

1.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）设a=lnl.01,Z>=sin0.01,c=5，则a,b,c大小关系（）

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

2.（2023・山东•模拟预测）已知a=e°©-1,Z?=lnl.03,c=tan0.03,其中e=2.71828…为自然对数的底数,

则。，b,c的大小关系是（）

A.c>a>bB.a>c>b

C.b>c>aD.a>b>c

3.（21-22高三上•江西景德镇•阶段练习）已知a=21n3—4,&=21n1-VlT-l,c=41n2-V13-1,则。，b,

c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a

4.（23-24高三・山东•阶段练习）4知实数〃满足山°。+12?°。=132°。,Z?=e01-l,c=tan0.1,则b,。的

大小关系是（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.b>a>c

题型十四：三角函数型构造比大小

指I点I迷I津

三角函数与三角函数值比较大小：

1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小

兀

2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当xe（O,万）时，siivc<x

3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小

44343

1.己知a=sin—,6=彳sin-,c=「cos—,则。涉,。的大小关系为（）

53434

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

2.（安徽省安庆市第一中学2022届高三热身考试数学试题）已知函数/（x）=sin（cosx）-x与函数

@(%)=35&11%)-%在区间(0,耳)都为减函数，设%1，%2，%3£(°，万)，且COS%13,sin(cosx2)=x2,

cos(sinx3)=x3,则%,工2，工3的大小关系是

A.xx<x2<x3B.x3<x{<x2C.x2<x1<x3D.x2<x3<x4

3.(2023・全国•高三专题练习)已知。£(；,曰，〃=(coso)sma,Z;=(sincr)c°s(z,c=(coscif)cos<z,则()

A.b>c>aB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

4.已知a=2sing,b=3sing，。=3cos；，则a,"c的大小关系是.

题型十五：幕指对与三角函数混合型

指I点I迷I津

1.（广东省中山市中山纪念中学2021-2022学年高三上学期第二次段考数学试题）在必修第一册教材“821

几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当0vxv2或％〉4时，2">兀2；当2v%v4时，

2*<尤2,请比较a=log43,6=sing,「一？〜'］的大小关系

3。一乙

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

,0.30.9

2.已知a=-,---b=—^,c=sin0.1,则a,b,C的大小关系正确的是（）

7171

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c

3.若则下列命题中正确的是（）

44

A.sinx3B.sinx>—xC.sinx<—2D.sinx>-x2

71717171

4.（福建省龙岩第一中学2023届高三上学期第二次月考数学试题）已知a=sin2,b=ln2,c=2=，a,b,

c的大小关系是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

题型十六：泰勒展开

指I点I迷I津

常见函数的泰勒展开式

由泰勒展开式，我们可以得到几个常用的初等函数在x=。处的泰勒展开式：

(1)^—=1+%++----F%九+o(xn);

l-x

m

(2)(1+x)=1+mx+-(71I)%2+—加(僧—1)；；771—:+1)%九+。(%九)；

丫2vn

(3)ex=1+%+—+—I-—+o(xn);

23n+1

(4)ln(l+x)=x-y+^--+(-1尸篇+o(xn+1)；

y3丫5^.271+1

(5)sin%=%--+—-----+(-1)713+i)!+o(x2n+2);

Y2Y4V6v2n

n2n+1

('6')cosx=1-2-!+-4!--6!+--+k(-l)J—(2n)!+o'(x).

3111

1.(2022•全国•统考高考真题)已知4=一,Z?=cos—,c=4sin-,则()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>c