中考数学《图形的旋转》试题汇编（含解析）

图形的旋转（30题）

一、单

题目口（2023・江苏无锡・统考中考真题）如图，△AB。中，/BAC=55°,将△ABC逆时针旋转a（0°<aV

55°）,得到△ADE,DE交AC于?当a=40°时，点。恰好落在BC上，此时4LFE等于（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

【答案】B

【分析】根据旋转可得NB=NADB=/ADE,再结合旋转角a=40°即可求解.

【详解】解：由旋转性质可得：/氏1。=/。4E=55°,AB=AD,

,.,«=40°,

ZDAF=15°,ZB=ZADB=/ADE=70°,

NAFE=ZDAF+/ADE=85°,

故选：A

【点睛】本题考查了几何-旋转问题，掌握旋转的性质是关键.

题目囱（2023.天津.统考中考真题）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点B,。的对应

点分别是点。，E,且点E在8。的延长线上，连接BD,则下列结论一定正确的是（）

A.ZCAE=ZBEDB.AB^AEC.NACE=/ADED.CE^BD

【答案】A

【分析】根据旋转的性质即可解答.

【详解】根据题意，由旋转的性质，

可得AB=AD,AC=AE,BC=DE,故B选项和D选项不符合题意，

NABC=NADE

•/NACE=ZABC+ABAC

NACE=/ADE+ABAC,故。选项不符合题意,

NACB=NAED

NACB=/CAE+ACEA

•：ZAED=ACEA+/BED

：.NCAE=ABED,故A选项符合题意，•M

故选：4

【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键.

题目区（2023・四川宜宾・统考中考真题）如图，和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把

△ADE以A为中心顺时针旋转，点河为射线的交点.若AB=J^,AD=L以下结论：

①BD=CE；②BD_LCE；

③当点E在BA的延长线上时，MC=3\"；

④在旋转过程中，当线段MB最短时，/WBC的面积为方.

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】。

【分析】证明ABAD空ACAE即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明4DCM〜NECA得出

隼="「I,即可判断③;以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在。4的下方与©A相切时，MB的值

最小，可得四边形AEMD是正方形,在RtAMBC中^BC2-MB2=2+1,然后根据三角形的面积

公式即可判断④.

【详解】解：；△ABC和△4DE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，

BA=CA,DA=EA,ZBAC=/DAE=90°,

NBAD=NCAE,

.♦.△BAD空△CAE,

NABD=NACE,BD=CE,故①正确；

设乙==

/DBC=45°-a,

ZEMB=ADBC+ZBCM=ADBC+ABCA+NACE=45°-a+45°+a=90°,

.♦.BDLCE,故②正确；

当点E在A4的延长线上时，如图所示

4DCM=ZECA,匕DMC=NEAC=90°,

NDCM〜NECA

.MC=CD

,/AB—V3,AD=1.

：.CD=AC-AD=V3-1,CE=^AE2+AC2=2

.MCV3-1

,,飞=一^^~

:.MC=3;四，故③正确;

④如图所示，以A为圆心，AD为半径画圆，

•.•/B_W=90°,

.•.当CE在。A的下方与0A相切时，MB的值最小,/ADM=NDAE=乙AEM=90°

A四边形AEMD是矩形，

又AE=AD,

：.四边形AEMD是正方形，

:.MD=AE=1,

•：BD=EC=^AC2-AE2=V2,

MB=BD—MD=A/2^—1,

在Rt/\MBC中，MC=y/BCP-MB2

：.PB取得最小值时，MC=y/AB2+AC2-MB2=73+3-(V2-I)2=V2+1

S^Mc=4MBXMC--y(V2—1)(A/2+1)=5

故④正确，

故选：D

【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性

质与判定,正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

题目回(2023•山东聊城•统考中考真题)如图，已知等腰直角△ABC,乙4cB=90°,AB=点。是矩形

ECGF与△AB。的公共顶点，且CE=LCG=3；点。是CB延长线上一点，且CD=2.连接BG,DF,

在矩形ECGF绕点。按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段。尸对应的长

度分别为m和外，则色的值为()

n

A.2B.3C.V10D.V13

【答案】。

【分析】根据锐角三角函数可求得AC=BC=1,当线段BG达到最长时,此时点G在点。的下方,且B,

C,G三点共线，求得BG=4,DG=5,根据勾股定理求得。?=，用,即巾=〃用,当线段BG达到最短

时,此时点G在点C的上方,5.B,C,G三点共线，则BG=2,DG=1,根据勾股定理求得DF=V2,^n

=方,即可求得也=S叵.

n

【详解】：△ABC为等腰直角三角形，AB=血，4。=BC=AB•sin45°=2X乎=1,

当线段BG达到最长时,此时点G在点。的下方，且B,C,G三点共线,如图：

则BG=BC+CG=4,DG=DB+BG=5,

在Rt/XDGF中，_DF=^DG2+GF2=V52+l2=V26,

即772=V26,

当线段BG达到最短时,此时点G在点。的上方，且B,C,G三点共线,如图:

•••

2,DG=BG—DB=1,

在Rt^DGF中，OF=y/DG^+GF'2=Vl2+12=V2,

即九=V2,

故221=幸;=郎,

nV2

故选：D.

【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等，根据旋转推出线段BG最长和最短时的位置是解题的关键.

二、填空题

题目回（2023•江苏连云港•统考中考真题）以正五边形ABCDE的顶点。为旋转中心，按顺时针方向旋转，使

得新五边形ASCD'E'的顶点。落在直线BC上,则正五边ABCDE旋转的度数至少为°.

【答案】72

【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到/DCF的度数，进而得出旋转的角度.

【详解】解：•.•五边形ABCDE是正五边形，

•M

新五边形4B'CZXE'的顶点。'落在直线BC上,则旋转的最小角度是72°,

故答案为：72.

【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用.

题目回（2023•湖南张家界•统考中考真题）如图，A。为/BAC的平分线，且50°,将四边形ABOC

绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AFO'C'，且/<24。'=100°,则四边形ABOC旋转的角度是

【答案】75°

【分析】根据角平分线的性质可得/.BAO=/.OAC=25°,根据旋转的性质可得ABAC=ABAC'=50°,

ABA（y=AO'AC'^25°,求得/OAO'=75°,即可求得旋转的角度.

【详解】•••40为/BAC的平分线，/民40=50°,

/氏4。=/。4。=25°,

•••将四边形绕点A逆时针方向旋转后,得到四边形ABOC,

ZBAC=ABAC^50°,25°,

/LOAa=AOAC-/LOAC'=100°-25°=75°,

故答案为：75°.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键.

题目「1（2023•湖南常德•统考中考真题）如图1,在JttAABC中，乙4BC=90°,AB=8,BC=6,。是AB上

一点，且AD=2,过点。作DE〃B。交AC于E,将/XADE绕人点顺时针旋转到图2的位置.则图2中

的值为•

•M

【分析】首先根据勾股定理得到AC=y/AB2+BC2=10燃后证明出△4DE〜△48。,得到嘿■=喏■，进

A.JDAC

而得到*=倏■，然后证明出AABD〜AACE，利用相似三角形的性质求解即可.

AEAC

【详解】•・,在RtAABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,

・・.AC=VAB2+BC2=10

•：DE//BC

：.4ADE=ZABC=90°,AAED=AACB

：.4ADE〜4ABC

.AD=AE

"~AB~'AC

.ADAB

••而一记

・・・ZBAC=/DAE

：.ABACA-ACAD=ADAE+ACAD

：./BAD=/CAE

：.LABDfACE

.BD=AB=8=4

"CD-AC-IO-T'

故答案为:

5

【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定,解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理.

题目团（2023・江苏无锡・统考中考真题）已知曲线G、G分别是函数y=—2（，<o）,2/=>o,x>0）的

XX

图像,边长为6的正△48。的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在力轴上（3在C的左侧），现将4ABC绕

原点。顺时针旋转，当点B在曲线G上时，点A恰好在曲线G上，则看的值为.

【答案】6

【分析】画出变换后的图像即可（画△AOB即可），当点A在9轴上，点B、。在Z轴上时，根据△ABC为等

边三角形且AOJ_BC,可得弟=4,过点A、B分别作0轴垂线构造相似,则ABFO〜OE4根据相似

OAV3

三角形的性质得出SAAOE=3,进而根据反比例函数%的几何意义，即可求解.

【详解】当点A在夕轴上，点3、。在，轴上时，连接AO,

•/△ABC为等边三角形且AO，BC,则ABAO=30°,

/.tanZBAO=tan30°=,

OA3

如图所示，过点4B分别作c轴的垂线，交，轴分别于点E,F,

•/AO.LBO,ABFO=AAEO=AAOB=90°,•••

・・・/BOF=90°-Z.AOE=/.EAO,

：./\BFO-OEA,

.S^BFO_(OB\2_1

f

S^AOE~\'OA)~'J

.-k^L-

s11?

••QgFQ-o-

S“OE=3，

fc=6.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似

三角形是解题关键.

［丽回（2023•辽宁•统考中考真题）如图，线段AB=8,点。是线段AB上的动点,将线段BC绕点B顺时针

旋转120°得到线段BD,连接CD,在AB的上方作RtdDCE,使4DCE=90°,/E=30°,点F为DE的中

点，连接AF,当AF最小时，ABCD的面积为.

【答案】哼

【分析】连接。8交于点P,由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得BF垂直平分

CF,AABF=60°为定角，可得点F在射线RF上运动，当AF，BF时，4F最小，由含30度角直角三角形

的性质即可求解.

【详解】解:连接CF,BF,BF,CD交于点P,如图，

•：4DCE=90°,点F为DE的中点，

:.FC=FD,

•：/E=30°,

ZFDC=60°,

.•.△FCD是等边三角形，

NDFC=2FCD=60°；

•：线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD,

：.BC=BD,

,:FC=FD,

BF垂直平分CF,/ABF=60°,•M

.♦.点F在射线BF上运动，

.♦.当时，AF最小，

此时NFAB=90°-AABF=30°,

：.BF=^-AB=^

•：NBFC=：NDFC=30°,

4FCB=4BFC+/ABF=90°,

:.BC=%BF=2,

：.由勾股定理得PC=，BCJPB2=T^,

CD=2PC=2V3,

【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线

的判定,勾股定理,旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点.

题目©(2023•江西・统考中考真题)如图，在UABCD中，/B=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转

角«(0°<«<360°)得到AP,连接PC,PD.当4PCD为直角三角形时,旋转角a的度数为.

【答案】90°或270°或180°

【分析】连接AC,根据已知条件可得ZBAC=90°,进而分类讨论即可求解.

【详解】解:连接人。，取BC的中点E,连接AE,如图所示，

•.­itUABCD中，60°,BC=2AB,

：.BE=CE=^-BC=AB,

：.ZVIBE是等边三角形，•M

NBAE=ZAEB=60°,AE^BE,

：.AE=EC

：.ZEAC=NECA=yZAE;B=30°,

ABAC=90°

：.AC±CD,

如图所示，当点P在力。上时，此时/-BAP=ABAC=90°,则旋转角a的度数为90°,

当点P在。1的延长线上时,如图所示，则a=360°-90°=270°

当P在历1的延长线上时，则旋转角a的度数为180°,如图所示,

•/PA=PB=CD,PB//CD,

：.四边形P4CD是平行四边形，

•/AC±AB

：.四边形PACD是矩形，

"。。=90°

即△PZX7是直角三角形，

综上所述,旋转角a的度数为90°或270°或180°

故答案为：90°或270°或180°.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质,

熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

题目(2023•上海・统考中考真题)如图，在△ABC中，35°,将△ABC绕着点A旋转a(0°VaV

180°),旋转后的点B落在上，点B的对应点为。，连接AD,AD^ABAC的角平分线，则a=.

c

【答案】（等）。

o

【分析】如图，48=AD,ABAD=a，根据角平分线的定义可得ACAD=ABAD=a，根据三角形的外角性

质可得=35°+a,即得ZB=ZADB=35°+a,然后根据三角形的内角和定理求解即可.

【详解】解:如图，根据题意可得：AB=AO,乙民4。=&,

•.•AD是/氏4。的角平分线，

/CAD=/BAD=a,

AADB=ZC+ACAD=35°+a,AB^AD,

/B=/ADB=35°+a,

则在△ABC中，/。+/CAB+/B=180°,

35°+2a+35°+a=180°,

解得：a=（¥）°；

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练

掌握相关图形的性质是解题的关键.

包（2023•湖南林B州•统考中考真题）如图，在AtAAB。中，乙民4。=90°,AB=3cm,ZB=60°.将

△ABC绕点、A逆时针旋转，得到△A8C,若点B的对应点F恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长

是C?72（结果用含兀的式子表示）.

【答案】，^兀•••

【分析】由于AC旋转到AC,故。的运动路径长是CC的圆弧长度，根据弧长公式求解即可.

【详解】以人为圆心作圆弧CC,如图所示.

在直角△ABC中，/3=60°,则/。=30°,

则BC=2AB=2X3=6(cm).

AC=y/BC2-AB2=A/62-32=373(cm).

由旋转性质可知，=又/B=60°,

^,ABB是等边三角形.

/BAP=60°.

由旋转性质知，/CAC=60°.

故弧。。'的长度为：要7X2X兀XAC=^-X3V3=V37t(cm)；

3bU3

故答案为：V37T

【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是

明确。点的运动轨迹.

题目①(2023•内蒙古•统考中考真题)如图，在放A4BC中，AACB=9Q°,AC=3,BC=1,将△ABC绕点

A逆时针方向旋转90°,得到.连接BB',交AC于点D,则热的值为.

【答案】5

【分析】过点D作OR工于点F,利用勾股定理求得AB=46,根据旋转的性质可证△ABB'、ADFB是

等腰直角三角形，可得再由S3B=5X3。*40=5*。下乂48,得40=，丽干,证明

△AFD〜A4CB,可得偿=%，即AF=3DF,再由—求得。或，从而求得

BCAC4

=1,CD=上,即可求解.

【详解】解:过点。作DF，4B于点F,

AACB=90°,4C=3,BC=L

AB=V32+l2=V10,

•/将4ABC绕点、A逆时针方向旋转90°得到,•M

AB=48=Vio,90°,

/\ABS是等腰直角三角形，

NAB*45°,

又•.•DF_LAB,

/FOB=45°,

A/\DFB是等腰直角三角形，

:.DF=BF,

•.•S^ADB=^-XBCXAD=^-XDFXAB,^AD=VWDF,

■：/C=/APD=90°,/CAB=/FAD,

△APD〜AACB,

.••器=第，即”=3DF,

又;AF=VW-DF,

:DF=v^_f

4

・・.AD=VWx^-=-^-fcp=3一4=4,

4222

5_

--CD=T=5>

2

【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积,熟练掌

握相关知识是解题的关键.

题目QT］（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）已知等腰△ABC,ZA=120°,48=2.现将△ABC以点B为旋

转中心旋转45°,得到△48。',延长CN交直线BC于点、D.则AD的长度为.

【答案】4+2《或4-2四

【分析】根据题意,先求得BC=2代，当ZVIB。以点B为旋转中心逆时针旋转45°,过点B作BE±48交

4。于点瓦当△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转45°，过点。作OF，B。交BC'于点F,分别画出图

形,根据勾股定理以及旋转的性质即可求解.

【详解】解:如图所示，过点A作⑷于点河，

•.•等腰AABC,/期。=120°,AB=2.

ZABC=ZACB=30°,

AM=^AB=1,BM=CM=^AB2-AM2=V3,

:.BC=2聪,

如图所示,当&ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°,过点B作BE_LAB交4。于点E,

•/ABAC=120°,

：.ZDAB=60°,AAEB=30°,

在Rt^ABE中，AE=2AB=4,BE=y/AE2-AB2=2V3,

•.•等腰△AB。，/BAG=120°,AB=2.

AZABC^ZACB=30°,

△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°,

ZABA=45°,

ZDBE=180°-90°-45°-30°=15°,AABD=180°-45°-30°=105°

在/\ABD中，=180°-ADAB-2ABD=180°-60°-105°=15°,

ND=NEBD,

：.EB=ED=2A/3,

AD=AE+DE=4：+273,

如图所示,当△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转45°,过点。作DF上BC'交BC'于点、F,

在ABFD中，2BDF=ACBC'=45°,

:.DF=BF

在Rt^DC'F中，ZC'=30°

:.DF=*FG

BC=BF+V3BF=2V3

:.DF=BF=3—V^

DC'=2DF=6-2V3

AD=CD-4C'=6-2V3—2=4—2A/3,

综上所述，AD的长度为4—或4+2盗,

故答案为：4—2通或4+2代.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质,分类讨论

是解题的关键.

题目①（2023•浙江嘉兴・统考中考真题）一副三角板ABC和DEF中，/。=/。=90°,/B=30°,/E=

45°,日7=跳1=12.将它们叠合在一起,边3。与物重合，CD与4B相交于点G（如图1）,此时线段CG

的长是，现将△DEF绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2）,边EF与AB相交于点H,连结。在

旋转0°到60°的过程中，线段扫过的面积是.

【答案】6V6-6V2；12兀-18V3+18

【分析】如图L过点G作于根据含30°直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出

=V3GH,GH=CH,然后由BC=12可求出GH的长,进而可得线段CG的长;如图2,将ADEF绕点。顺

时针旋转60°得到△。闽尸，EEi与AB交于G”连接RD,AD〉△功场尸是尸旋转0°到60°的过程中

任意位置，作ON,C2于N,过点B作BN,DQ交DQ的延长线于M,首先证明△CD。是等边三角

形，点。1在直线上,然后可得线段DH•扫过的面积是弓形22。的面积加上△DQB的面积，求出ON

和BM，然后根据线段DH扫过的面积=S弓形S.DQB=S扇形CDQ-S&CDQ+SADQB列式计算即可.

【详解】解:如图1,过点G作于H,

图1

NABC=30°,2DEF=4DEE=45°,4GHB=2GHC=90°,

：.BH=V3GH,GH=CH,

•：BC=BH+CH=V3G7/+GH=12,

.-.GH=6V3-6,

.-.CG=V2GH=V2x(6V3-6)=6V6-6V2；

如图2,将△DEF绕点。顺时针旋转60°得到ADiEF,FE1与AB交于G，连接DQ,

由旋转的性质得：ZECB=4DCDi=60°,CD^CDi，

是等边三角形，

•//ABC=30°,

/CGB=90°,

：.CGi=,BC,

,:CEi=BC,

CGr=}CEi,即AB垂直平分CE1,

•••ACDiEi是等腰直角三角形，

点。1在直线AB上，

连接AD,，△功昆干是NDEF旋转0°到60°的过程中任意位置，

则线段扫过的面积是弓形DRD的面积加上&DQB的面积,

BC=EF=12,

DC=DB=冬BC=6V2,

作DN_LCD于N,财NDi=NC=3四,

：.DN={DD—ND：=V(6V2)2-(3V2)2=3A/6,

过点B作BM±DQ交DQ的延长线于河,则ZM=90°,

•/NDQC=60°,ACDB=90°,

ZBDM=180°—NDQC—2CDB=30°,

BM=^-BD=3V2,

...线段D/?扫过的面积=S弓形_002。+SAD、DB，

=S扇形ODQ_SACDQ+SADQB，

6O7r•(6V2)21l厂1lL

=------oan----------Tx6A/2x3A/6+—x6A/2X3V2,

3b(J22

=127t-18V3+18,

故答案为：6V6-6V2,12兀-186+18.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含30。直角三角形的性质，二次根式的运算,解直角三角形，等边三角

形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点口在直线AB上是本题的突破点,

灵活运用各知识点是解题的关键.

三、解答题

频目四（2023•北京・统考中考真题）在&ABC中、乙8=/。=«（0°<«<45°）,AM±BC于点、M,D是线

段上的动点（不与点C重合），将线段。W•绕点。顺时针旋转2a得到线段DE.

AA

⑴如图1,当点E在线段AC上时,求证：。是的中点；

⑵如图2,若在线段■上存在点或不与点同重合)满足连接AE,EF,直接写出/4EF的

大小，并证明.

【答案】(1)见解析

(2)/AEF=90°,证明见解析

【分析】(1)由旋转的性质得2a,利用三角形外角的性质求出乙DEC=a=N。,可得

DE=DC,等量代换得到DM=。。即可；

⑵延长也到H使=连接8,4也可得DE是/\FCH的中位线，然后求出/B=/ACH,设

DM=DE=馆，CD="，求出BF=2馆=CH,证明4ABF=△ACH(SAS),得到AF^AH,再根据等腰

三角形三线合一证明AEL即可.

【详解】(1)证明：由旋转的性质得：DM=DE,4MDE=2a,

'：Z-C=a,

ZDEC=AMDE-/C=a,

A4C=4DEC,

:.DE=DC,

,即。是TWO的中点；

⑵乙4EF=90°；

证明:如图2,延长EE到H使=连接CH,AH,

,:DF=DC,

：.DE是4FCH的中位线,

：.DE//CH,CH=2DE,

由旋转的性质得：DM=DE,AMDE=2a,

4FCH=2a,

'：ZB=ZC=a,

：.NACH=a,ZVIBC是等腰三角形，

ZB=ZACH,AB=AC,

设DM=DE=m,CD=n，则CH=2m,CM=m+n,

：.DF=CD=n,

：.FM=DF—DM=n—m,

•：AM.LBC,

BM=CM=m+n,

：.BF=BM—FM=m+n—(n—m)=2m,

：.CH=BF,

(AB^AC

在ZV1BF和/\ACH中，(/B=ZACH,

[BF=CH

：.AABF=/\ACH(SAS),•M

AF^AH,

•；FE=EH,

：.AE±FH,即NAEF=90°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全

等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键.

题目立（2023•四川自贡・统考中考真题）如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，刊,N分别是斜

边DE,AB的中点，。E=2,4B=4.

（1）将绕顶点。旋转一周,请直接写出点距离的最大值和最小值；

（2）将△CDE绕顶点。逆时针旋转120°（如图2）,求的长.

【答案】（1）最大值为3,最小值为1

⑵V7

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出CM,CN的值,进而根据题意求得最大值与最小值即可求

解；

（2）过点N作NP_LMC,交MC的延长线于点P,根据旋转的性质求得AMCN=120°,进而得出2NCP=

60°,进而可得CP=1,勾股定理解RtANCP,Rt/XMCP，即可求解.

【详解】（1）解:依题意，CM=：DE=1,CN=；AB=2,

当“在NC的延长线上时，的距离最大,最大值为CM+CN=1+2=3,

当W在线段CN上时,A/,N的距离最小，最小值为CN-CN=2-1=1；

（2）解：如图所示，过点、N作NP工MC,交MC的延长线于点P,

•/△CDE绕顶点。逆时针旋转120°,

/BCE=120°,

•/NBCN=ZECM=45°,

ZMCN=NBCM—2ECM=/8C£=120°,

NNCP=60°,

：.ZCNP=30°,

在Rt/XCNP中，NP=y/NC2-CP2=V3,

在RtAMMP中，MP=MC+CP=1+1=2,

MN=^NP2+MP2=V3T4=V7.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三

角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键.

题目过（2023•四川达州•统考中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1,A4BC的顶点均在小正

（1）将ZVIBC向下平移3个单位长度得到△45G，画出△45G；

（2）将△ABC绕点。顺时针旋转90度得到△4302，画出△45。2；

（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

⑶宁

【分析】（1）先作出点人、B、。平移后的对应点A，Bl、G，然后顺次连接即可；

（2）先作出点A、B绕点。顺时针旋转90度的对应点A2,B2,然后顺次连接即可；

（3）证明为等腰直角三角形，求出S△的=^ABxBC=得,S扇形叩=二=萼，根据旋

转过程中△48。扫过的面积等于△4BC的面积加扇形CA4的面积即可得出答案.

【详解】⑴解:作出点4B、。平移后的对应点4，马、G，顺次连接，则△&BC即为所求，如图所示：

9

(3)解：•••AB=Vl2+22=V5,AC=V32+l2=V10,BC=Vl2+22=V5,

:.AB=BC,

(V5)2+(V5)2=10=(V10)2,

AB2+BC2=AC\

AABC为等腰直角三角形，

1耳

••・SA^C=%BXBC=1,

根据旋转可知，90°,

,<_90兀x（，W_5兀

,•D扇形％④-360-2'

：.在旋转过程中△ABC扫过的面积为S=SAABO+S扇形CMA尸匕近•

【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图，勾股定理逆定理,扇形面积计算，解题的关键是作出平移或旋转后

的对应点.

题目叵（2023・辽宁・统考中考真题）在RtAABC中，乙4cB=90°,CA=CB,点。为AB的中点，点。在直

线上（不与点4B重合），连接CD,线段CD绕点。逆时针旋转90°,得到线段CE,过点B作直线I±

BC,过点E作EF，z,垂足为点F,直线EF交直线。。于点G.

20

⑴如图，当点。与点O重合时,请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；

（2）如图，当点。在线段4B上时,求证：CG+BD=V2BC,

（3）连接DE,△CZ汨的面积记为△ABC的面积记为S2,当EF：BC=1:3时，请直接写出兽的值.

【答案】⑴

（2）见解析

⑶I■或为

【分析】（1）可先证ABCD笃/XBCE,得到BO=BE,根据锐角三角函数,可得到BE和EF的数量关系,进

而得到线段AD与线段EF的数量关系.

⑵可先证AACD笃/XGEC,得到DA=CG,进而得到CG+BD=DA+BD^AB,|'B］题即可得证.

（3）分两种情况:①点D在线段AB上，过点。作CN垂直于FG,交FG于点N,过点E作EN垂直于BC,

交BC于点“，设EF=a,利用勾股定理，可用含a的代数式表示EC,根据三角形面积公式，即可得到答

案.②点。在线段R4的延长线上，过点E作EJ垂直于BC,交BC延长线于点J,令EF交4。于点I,连

接BE,设EF=b,可证△CDA邕△CEB,进一步证得4EBJ是等腰直角三角形，E7=,利用勾股定理，

可用含6的代数式表示EC,根据三角形面积公式,即可得到答案

【详解】⑴解：

理由如下：

如图，连接BE.

根据图形旋转的性质可知CD=CE.

由题意可知，/XABC为等腰直角三角形，

VCD为等腰直角三角形ZVIB。斜边4B上的中线,

ABCD=45°,AD^BD.

又/。CE=90°,

/BCE=45°.

在△BCD和ABCE中，

•M

(CD=CE

1/BCD=/BCE

[BC=BC

・・・NBCD^/^BCE.

J.BD^BE,NCBE=NCBD=45°.

・・・/EBF=45°.

・・.EF=BEsinAEBF=浮BE.

：.EF=^AD.

(2)解：・・・CO为等腰直角三角形△ABC斜边48上的中线，

・・.AO=BO,

・・・AACD+ADCB=/BCE+ZDCB=90°,

・・・4ACD=/BCE.

BC±l,EF±lf

：.BC//EF,

・・./G=/OCB=45°,AGEC=ABCE.

：.NG=/44ACD=/GEC.

在△ACD和△GEO中，

(AACD=AGEC

/ZA=ZG

[CD=CE

：.^ACD^/\GEC.

:,DA=CG.

：.CG+BD=DA+BD=AB=V2BC.

(3)解:当点。在线段AB延长线上时,不满足条件EF:BC=1:3，故分两种情况：

①点。在线段AB上，如图，过点。作CN垂直于FG,交尸G于点N；过点E作助1垂直于石。,交于点

M.

设EF=Q，则BC=AC=3a.

根据题意可知，四边形和CMEN为矩形，△GCN为等腰直角三角形.

:,EF=BM=a,CM=NE=2a.

由（2）证明可知△43。空△GEO,•••

:.AC—GE—3a.

NG—NC—a,

：.NC=EM=a.

根据勾股定理可知

CE=y/EM2+CM2=V(2a)2+a2=V5a，

/\CDE的面积Si与AABC的面积52之比

Si=卷CE?='WM?=旦

2

S?^BC方(3a)29

②点。在线段BA的延长线上，过点E作E7垂直于BC,交BC延长线于点J,令E尸交AC于点I,连接

BE,由题意知，四边形FB阳，是矩形，

•/NDCE=/ACB=90°

：.ZDCE-/LACE=NACB-NACE

即ZDCA=NECB

又,：CD=CE,CA=CB

△CDA笃ACEB

ZDAC=NEBC

而NDAC=180°-ZCAB=180°-45°=135°

NEBC=135°

ZEBJ=180°—NEBC=45°

4EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ

设EF=b，则BC=IF=3b,EJ=BJ=CI=b

:.EI=EF+IF=4b

RtACIE中，CE=Vcf+Ef=y/b2+(46)2=717b

/\CDE的面积&与4ABC的面积$2之比

s「姓炉」7

Sz^BC21(36)29

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判

定及性质是解题的关键.

题目药(2023•四川乐山・统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活

23

动

【问题情境】

刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：

如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转d到达△ABV的位置,那么可以得到：AB=AB7,AC

=AC',BC=BC'；/BAC=/B'AC',/ABC=/AB'C',/ACB=NAC'B'（）

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即''变”中蕴含着“不变”，这是我们解决

图形旋转的关键;故数学就是一门哲学.

【问题解决】

⑴上述问题情境中“（）”处应填理由：；

（2）如图，小王将一个半径为4cm,圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板AB

。’的位置.

①请在图中作出点。；

②如果BB=6cm,则在旋转过程中，点B经过的路径长为；

【问题拓展】

小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一

个在弧的中点处固定，然后放开纸板,使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少

呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题.

【答案】问题解决（1）旋转前后的图形对应线段相等,对应角相等•••

（2）①见解析;②警兀CM

问题拓展：--|-V3）cm2

【分析】问题解决（1）根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；

（2）①分别作和的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点O；②根据弧长公式求解即可；

问题拓展，连接P4',交AC于河,连接PA,PD,AA,由旋转得APAB=30°,PA=PA=4,在Rt"AM

和中求出4河和ZW的长，可以求出S阴影部分扇形瓦止一Sag，再证明△ADP空△4DP,即

可求出最后结果.

【详解】解：【问题解决】（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等

（2）①下图中，点。为所求

②连接OB,OB',

•••扇形纸板ABC绕点。逆时针旋转90°到达扇形纸板的位置,

ABOB=90°,OB=OE!,

*：BB—Qcm,

设OB=OB—xcm,

/+/=62,

OB—OB—3A/2CIH,

在旋转过程中，点B经过的路径长为以点O为圆心，圆心角为90。，O6为半径的所对应的弧长,

.•.点B经过的路径长=9。*e3四=卒兀cm；

［问题拓展］解:连接PA，交AC于河，连接PA,PD,AA如图所示

•M

B

P

ZPAC=yZBAC=30°.

由旋转得ZPAB=30°,PA=P4=4.

在RtAPAMr中，

AM=PM=PA-sinZPAM=4xsin30°=2.

在中