2024-2025学年北师版八年级上册数学期末专项复习：勾股定理（考点清单）解析版

专题01讲勾股定理（考点清单）

【聚焦考点】

题型一:用勾股定理解三角形

题型二:勾股数问题

题型三:以直角三角形三边为边长的图形面积

题型四:勾股定理和网格问题

题型五:勾股定理和折叠问题

题型六:利用勾股定理求两条线段的平方和

题型七：以炫图为背景的计算题

题型八:勾股定理的应用

题型九:勾股定理的证明

题型十:勾股定理的综合问题

【题型归纳】

题型一:用勾股定理解三角形

【典例1】（2022下.广东广州•八年级校考期末）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,若BC=2,AC=3,则AB的

A.V13B.75C.1D.5

【答案】A

【分析】根据勾股定理解答即可.

【详解】解：,在中，NC=9O。，BC=2,AC=3,

AB=yjAC2+BC2=A/22+32=屈，

故选：A.

【专训1-1】（2023下•河南新乡•八年级校考期末）如图，在中，?B90?,AB=6,AC=10,以边

为直径作一个半圆，则半圆（阴影部分）的面积为（

A.4兀B.871C.1271D.16TI

【答案】B

【分析】利用勾股定理求出BC，再求出半圆面积即可.

【详解】解：•.•N3=90。，AB=6,AC=10,

\BC=VAC2-AB2=7io2-62=8>

阴影部分的面积=g仓尢4?=8兀.

故选：B.

【专训1-2】（2023下•四川宜宾•八年级统考期末）如图，菱形。钻C的边长为2,ZAOC=45°,则点8的坐标是（）

A.（272,2）B.（2+及，塔C.（虚,2+应）D.（2+a,0）

【答案】D

【分析】过点B作x轴的垂线，可证为等腰直角三角形，然后可求得与继而可求得的长，则

。“与就是点B的横坐标与纵坐标.

【详解】过点8作x轴的垂线，垂足为点H,则/皿4=90°.如图.

因为菱形ORC的边长为2,

OA=AB=2.

由菱形的对边AB〃OC可得：ZBAH=ZAOC=45°,

又NBHA=90°,

：.ZABH=90°-Z45°=45°.

/.AH=BH.

.•.在中，AH'+BH2=AB2

即2AH?=2BH?=方

AH=BH=42.

OH=OA+BH=2+y/2.

因此，点8的坐标为（2+&,&）.

故选：D.

题型二：勾股数问题

【典例2］（2023下•河南驻马店•八年级统考期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.9,40,41C.6,7,8D.1,0,6

【答案】B

【分析】利用勾股数的定义进行分析即可.

【详解】解：A、0.3,0.4,0.5不是整数，不是勾股数；

B、V92+402=41\二9、40、41是勾股数；

C、62+72^82,A6,7,8不是勾股数；

D、夜，心均不是整数，1,0,g不是勾股数；

故选：B.

【专训2-1】（2023下•安徽合肥•八年级统考期末）下列各组a,b,c是勾股数的是（）

A.a=30,b=40,c=50B.<7=1,b=\,c=y/2

C.a=5/3,b=,\/4，c==s/5D.a=7,£?=14,c—15

【答案】A

【分析】根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可.

［详解］解：A、302+402=502,

；•能构成勾股数，符合题意；

B、•••应不是整数，

不能构成勾股数，不符合题意；

C、：如,正不是整数，

；•不能构成勾股数，不符合题意；

D、V72+142^152,

•••不能构成勾股数，不符合题意.

故选：A.

【专训2-2］（2023下•贵州铜仁•八年级统考期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一

部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理.观察下列勾股

数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家

柏拉图（公元前427年一公元前347年）研究了勾为（m>3,根为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，

如：6,8,10；8,15,17；…，若此类勾股数的勾为12,则其股为（）

蛤丽然聚帙周

天

其

地端熏洪

A事之巨

衰而

以埋里

露幽

X生可

天

一樽工等

地，

之素知

跋可或理

%化

董

以妻

^

直

«•

r

7

D.3

5

C.3

6

B.1

14

A.

】C

【答案

值.

出尤的

即可求

股定理

根据勾

-2,

股为x

,则

为x

斜边

，设

题意

】依

【分析

,

x-2

股为

，则

为尤

斜边

，设

题意

：依

】解

【详解

2

2

2

X,

2）=

+（X-

.,.12

37,

：x=

解得

5,

2=3

=37-

为x-2

二股

：C.

故选

积

图形面

边长的

三边为

三角形

以直角

三：

题型

和9,

别为

积分

°的面

形若

正方

三个

上有

线/

图，直

末）如

考期

级统

八年

河•

南红

•云

23下

3]20

【典例

6

（）

积为

的面

则6

0

D.2

5

C.1

2

B.1

A.9

】c

【答案

2

2

2

C,

+B

AB

AC=

可得

定理

勾股

,根据

C中

tAAB

,在R

=DE

BC

此得

,由

DE

^C

ABC

明A

S证

据AA

诜根

[分析

面积.

6的

求出

即可

2,

+OE

AB2

C2=

可得A

代换

等量

【详解】

如图，•••△至。中//钻。=90。，

/.ZACB+ZBAC=90°.

・・•NACE=90。，

.•.ZACB+NECD=90。,

，NBAC=NECD.

又・.•ZABC=Z.CDE=90°,AC=CE,

/.△ABC/石(AAS),

/.BC=DE.

-,•△ABC,ZABC=90°,

AC2=AB2+BC2,

AC2=AB2+DE2,

BPS,=5a+Sc=6+9=15.

故选：C

【专训3-1](2023下•安徽马鞍山•八年级校考期末)AABC中，ZACB=90°,分别以AABC的三边作为边长向形

外作正方形，并把各正方形的面积分别记作S。,S3,如图，若，=26,S?=9,贝"的值为（）

【答案】B

【分析】由Afi2=26,BC2=9,再根据勾股定理即可得到结论.

【详解】解：：S]=26,邑=9,

AB-=26,BC"=9,

'：ZACB=90°,

AC2=AB2-BC2=26-9=17,

2

s3=AC=17.

故选：B.

【专训3-2]（2023下•广西柳州•八年级统考期末）如图，在RtaABC中，ZACB=90°,分别以AC、BC为边作

正方形，若AB=12,则正方形ADEC和正方形3CFG的面积和为（）

A.144B.120C.100D.无法计算

【答案】A

【分析】根据勾股定理即可进行解答.

【详解】解：；四边形ADEC和四边形3cpG为正方形,

,"S正方形"EC=A。＞S正方形BCFG=BC,

:在中，NC=90。，

AC2+BC2=AB-=122=144,

,,S正方舷4£（EC+S正方;彩CBFG=BC+AC=144,

故选：A.

题型四：勾股定理和网格问题

【典例4]（2023下•河北保定•八年级统考期末）如图，在3x4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中,

D.线段

【分析】根据勾股定理分别求解AB,BC,AC,BD,从而可得答案.

【详解】解：由勾股定理可得：

AB=A/12+22=A/5,

BC=+3?=版,

AC=Vl2+42=717>

SD=V22+32=713-

故选：B.

【专训4-1]（2023下•湖北武汉•八年级统考期中）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网

格，连接三个小格点，可得AABC,则AC边上的高是（）

372口3石「3石n4石

AA.---D.----C.---U.----

21055

【答案】C

113_____ACh

【分析】设AC边上的高为心由题意知S4ABC=2x2-5*2*卜2-5、卜1=5,AC=df+*=5则1的。=——

即画=3,计算求解即可.

22

【详解】解：设AC边上的高为力，

113/_____

由题思知右.。=2x2-]X2xlx2-]xlxl=2,AC=\12+22/

._AC,hy/5h3

・・—-'―，即-Z—二-，

解得让w，

AC边上的高为封1,

5

故选：C.

【专训4-2】（2022上•山西运城•八年级统考期末）如图，A/RC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点

上，则BC边上的高为（）

D,巫

C.1A/5

2

【答案】C

【分析】利用图形的面积计算即可.

【详解】如图，设BC边上的高为/?,

根据题意,得AABC的面积为：4x3-^xlx2-lx4x2-lx3x2=4,

222

BC=A/22+42=2A/5>

所以：BCx〃=4,

解得h--^―=84石

BC2层

故选C.

题型五：勾股定理和折叠问题

o

【典例5】（2023下•湖北荆州•八年级统考期末）如图，在Rt^WC中，ZA=90,AB=8,AC=6（将“1BC沿8

翻折，使点A与3C边上的点E重合，则C。的长是（）

C

A.5B