洛必达法则的应用-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展08洛必达法则的应用(精讲+精

练)

、知识点梳理

一'刖后

在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷

小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在,

这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。

二'洛必达法则定义

在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法

则。

三、法则形式

1.法则1(1型)：若函数/(X)和g(x)满足下列条件：

(1)设当X­。时，lim/(x)=0及理g(x)=0；

(2)在点。处函数/(尤)和g(x)的图像是连续的，即函数〃无)和g(x)在点a处存在导数；

(3)lim^^=Z；贝ij：lim/==

2.法则2(g型)：若函数/(x)和g(x)满足下列条件：

(l)lim/(x)=0及㈣g(x)=0；

⑵在点«处函数/(X)和g(x)的图像是连续的，即函数/(X)和g(x)在点a处存在导数；

(3)lim2_H=/)贝米五皿里=lim4^=/

g(%)18S\X)S(%)

3.法则3(1型)：若函数/(%)和g(%)满足下列条件:

00

(1)理/(力=00及吧g(x)=8；

(2)在点a处函数/⑺和g(x)的图像是连续的，即函数/(%)和g(x)在点a处存在导数；

且g'(x)丰0；

/'(%)/(X)r(无)7

(3)hm〈=1,贝ij：=)〈=/.

ig⑺ig⑺ig⑺

【特别提醒】

(1)将上面公式中的XfXf+8换成xf+00,Xff0,犬f。+,犬fQ-洛必达法则

也成立。

(2)洛必达法则可处理9,艺。00,r°,00°,0°,00-00型。

0GO

0

⑶首先要检查是否满足。，王,0・00,r,0co,0。，oo—00型定式，否则用洛必达法会出错。

0oo

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则

(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

(5)高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。

四'适用类型的转化

10010

(1)0・OO型的转化：0,00----,00=—或0,oon0—=—;

000000

.,,.110—00

(2)8-8型的转化：00-00=>-----------=>-----------=—

000-00

0°]fO-lnO

(3)。°、『刃。型的转化：鬲指函数类1",型对•数一

oo°0-lnoo

Z>

二、题型精讲精练

I」

【典例1】设函数/(x)="—1—X—加

(1)若。=0,求/(X)的单调区间；

(2)若当时/(x)20,求。的取值范围

解：(1)〃=0时，/(x)=ex-1-x,f\x)=ex-l.

当工£(F,0)时，/(x)vO；当xwQy)时，/(x)>0,故/(%)在(—8,0)单调减少，

在(0,+8)单调增加

(II)/*(%)=ex-1-2ax

由(I)知/Nl+x,当且仅当％=。时等号成立.故

f\x)>x-2ax=(1一2a)x,

从而当1—2。20,即时，f\x)>Q(x>0),而/(0)=0,

于是当x?0时，/(x)>0.

由e'〉l+x(xwO)可得〉1—x(xwO).从而当a〉,时，

2

f\x)<ex-\+2a(e-x—1)=e^(ex-l)(el-2a),

故当xe(0,ln2a)时，f'(x)<Q,而/(O)=O,于是当％c(0,In2a)时，f(x)<0.

综合得a的取值范围为

原解在处理第(II)时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：

另解：(II)当x=0时，/(x)=0,对任意实数a,均在/(x)20；

当x〉0时，/⑴20等价于aj一I

X

令g(x)=)：：T(x>0),贝！Ig'(x)="—2；+x+2,令

/z(x)=x/-2/+x+2(x>0),贝！I=x"-e'+1,hrr[x)=xex>0,

知〃⑴在(0,十功上为增函数,〃(%)>”(O)=O；知网力在(0,+8)上为增函数,

/i(x)>/z(O)=O；gr(x)>0,g(x)在(0,+8)上为增函数。

xxx

e-x-\eei

由洛必达法则知，lim——--=lim—=lim—=—,

%-o+%-o+2x-。+22

故综上，知a的取值范围为1-oo,；]

jr

【典例2】若不等式依>sinx对于xe(0,5)恒成立，求。的取值范围.

rrwinx

解：当口(啊)时，原不等式等价于"丁.

记〃X)=T，则f‘(x)=xcosx-sinxcosx(x-tanx)

jreinJrrr

且一丐)时，"tanx,所以八x)<。.因此小)=丁在(吟)上单调递减(也就

是x趋于0时，/(x)最大)

a=/(0),lim/(x)=lim3=lim+=1.所以

JQx—>0x—>01x—>0|

【典例3】(l)0m型

limI-|=lim(—x)=0

D+1_工/x^0+

技巧：将乘积中无穷或0取倒数进而变形到分母上，化为。或三型

【典例4](2)00・8型

技巧：可将无穷通分，进而化为争型

【典例5】(3)oo。型

转化方法同上，8°=elnoo°=e°11100=e08

1

111.〃、「ln(x+l)?+T1

lim(l+x)x=limeln(1+x)x=limexAn^1+x^=i=

X—>00ATT8%T8

=e°=1

技巧：可利用对数性质e1na=a，将函数化为以为e底数的指数函数，转化为对指数求极限。

转化方法如下：I00=elnl°°=e8ml=小。，这样就化为了0s型

【题型训练】

1.已知函数/(%)=ex—x—1,若当%>0时，恒有|/(久)|<zn/elxl成立,求实数血

的取值范围.

【解析】因为/(尤)=ex-X-1,所以r(X)=eX—1,

所以当XG(―8,0)时,r(x)<0,即/(X)递减，

当尤G(0,+8)时］(乃>0,即/(刀)递增.

若当x>。时，恒有|/(尤)|<m/e阳成立，即恒有o</(W<m/ex成立，

当尤=。时，不等式恒成立.

当刀>0时，恒有0</(x)<m/e*成立，即m>

令H(x)=力手,则"(x)=2e；：2支+2.

x£exXsex

今以比)=x2—2ex+2x+2,则九十x)=2x-2ex+2,进一步五〃(龙)=2—2ex<

0,

所以“(幻=2*—2ex+2在(0,+8)上单调递减，所以“(刈<"(0)=0,

所以阳工)-x2-2ex+2x+2在(0,+8)上单调递减,所以阳工)<以0)=0,

即H'(龙)<0在(0,+8)上恒成立，所以H(x)在(0,+8)上单调递减.

所以1皿-0+帘=lim=o+若葛=lim=o+装湍丽=所以帆>1.综

上刖的取值范围为悖,+8).

2.设函数/(x)=l-二.

Y

(I)证明：当1>—1时，/(%)>——;

X+1

X

(II)设当x»0时，/(%)<—^,求a的取值范围.

tzx+1

【解析】解：(I)略

(II)应用洛必达法则和导数

由题设xNO,此时/(x)20.

①当〃<0时，若%>—士，则一^<0,/(九)《一^不成立；

aax+1ax+1

xx

②当〃20时，当X20时，/(%)<—^,即1—

ax+1ax+1

若x=0,则〃£火；

x\-e~x1xex-ex+\

若x>0,贝!)1—6一“<-----等价于------<------，即——：------.

6zx+lxax+1xex-x

记g(x)=""1，则g8)=、1；字+1=fc——_2+e-x).

xe-x(xe-x)(xe-x)

x2xxx

iBh(x)=e-x-2-be~9则砥%)=炉一2%-"”,h"(x)=e+e--2>0.

因此，”(%)=「一2%-"”在(0,+00)上单调递增,且此(0)=0,所以“(%)>0,

即丸(x)在(0,+oo)上单调递增,且/z(0)=0,所以/z(x)>0.

因此g'(x)=一二〉0，所以g(x)在(0,+00)上单调递增.

(xe-x)

由洛必达法则有

x-x+]xexex+xex1

Xee一=-,即当时,

limg(x)=limx=limx=limxxx->0

x->ox->oXe-xx->o/+xe—1-。2e+xe2

g(x).g,即有g(x)〉g,所以a综上所述,a的取值范围是(-*；］.

3.函数以x)=幺/7In」Y+-h,曲线y=/(%)在点(L/⑴)处的切线方程为x+2y—3=0.

x+1x

(1)求。、b的值；

InYk

(2)如果当1>0,且xwl时，/(%)>—-+求左的取值范围.

x-1X

解：(1)易得a=1,b=l.

/、、“八r.rir/、InxkInx1Inxk

(2)当x〉0,且xwl时，f(x)>----1—9即-----1—>----1—,

x-1xx+1xx-1x

,口刀7xlnx1xlnx2xinx41/、2xinx,

也即《<-----+---------=----r+l,记g(%)=-----r+l,x>09且xwl

x+1xx—11—X1—X

2(炉+1)如％+2(1-％2)生』nx+1-x2

贝!lg'(x)=)，

(1-X2)2(I"'X-+1

1-v21-4%1)2

记A(x)=Inx+----则丸'(幻=—1>0,

X'+1x(1+x2)2x(l+x2)2

从而献1)在(0,+8)上单调递增，且姐)=0,因此当xe(o,l)时,久幻<。，当xe(l,+8)

时，A(x)>0；当xe(0,l)时，g'(x)<0,当xe(l,+<»)时，g(x)>。，所以g(幻在(0,1)

上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

由洛必达法则有

2xlnY21nx+2

limg(x)=lim(；+1)=1+lim""：=1+lim=0,

3x^l1-xIl-xx—^1-2x

即当x>0,且xwl时，g(x)>。.因为左vg(x)恒成立，所以《40.综上所述，当工〉0,

InYk

且XW1时，/(x)>」+勺成立，左的取值范围为(—8,0].

x-1X

4.设函数/(x)=l—

(1)证明：当尤>—1时，/(%)>——；

X+1

X

(2)设当x»0时，/(%)<-----，求。的取值范围.

ax+1

解：(1)易证.

(2)应用洛必达法则和导数

由题设x»0,此时/(x)20.

Ixx

①当〃<0时，若元〉——，则-----<0,/(%)<------不成立;

a4zx+lax+1

YV

②当〃20时，当X20时，/(%)<-----，即1—------；

ax+lax+1

若x=0,则〃£尺；

x

x1—(r1YPX—0*+]

若x>0,贝也―6一工《-----等价于即心优+1

ax+1xax+\xex-x

xe-e2-2/_2e'+l

记g(x)=贝!Jg'(x)=~(ev-x2-2+e-x).

xex-x(xer-x)2(xex-x)2T

记"(x)=e*-x?-2+0-*,贝!]/i'(x)=e*-2x-0-*,h"(x)=ex+e~x-2>0.

因此，"(x)=e'—2x—er在(0,+8)上单调递增，且五'(0)=0,所以做x)>0,

即以x)在(0，+8)上单调递增，且丸(0)=0,所以丸(x)>0.

因此g'(%)=—r~，展X)〉0，所以g(x)在(0,+8)上单调递增.

(xe-x)

由洛必达法贝!j有hmg(x)=lim----：-------lim------:——二lim——：-----二—

xxxxx7

%-oXe-xx->oe+Xe_1z02e+xe2

即当xf0时，g(x)f即有g(x)〉g,所以0<aW；.

综上所述，。的取值范围是［0-］.

2

5.若不等式sinx八-加对于xe，,?恒成立，求”的取值范围.

【答案】

6

【详解】当xw(0,|^时，原不等式等价于a>±*.

、r”、x-sinxm「，/、3sinx-xcosx-2x

记/(%)=--一,贝=---------------.

记g(%)=3sinx—xcosx—2x,贝!|g'(x)=2cosx+xsinx—2.

因为g"(%)=xcosx-sinx9g"(%)=-xsinx<0,

所以g"(x)在［o,。上单调递减，且g”(x)<o,

所以g'3在(0,；］上单调递减，且g'Q)<0.

因此g(x)在［0,、］上单调递减，且g(x)<0,

故/'(幻=哗<。，因此〃x)=±T在上单调递减.

xx12J

由洛必达法则有lim/(x)=lim七步=1血匕?=lim皿=lim+=L