2021-2022学年九年级数学上册常考题专练：概率（北师大版）

孝典08概率常考题型精建

题目O几何图形面积与概率

1.如图，小球在地板上自由滚动最终停在黑砖上的概率是（）.

A.AB.AC..1D.返

3423

【解答】解：如图，小球在地板上自由滚动最终停在黑砖上的概率是包=工,

204

故选：B.

2.连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘，将一枚飞镖任意

投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（）

则S阴影=6“，S正六边形=18。，

将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为&-=工,

18a3

故选：B.

3.如图，从一个大正方形中截去面积为3c冽2和12c冽2的两个小正方形，若随机向大正方形

内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（)

A.AB.5c.2D.3

9955

【解答】解：由图可知大正方形中的两个小正方形边长分别为2心机、Vscm.

，大正方形的边长为2加班=3«(cm).

则大正方形的面积为(入后)2=27，

阴影部分的面积为27-12-3=12(cm2).

则米粒落在图中阴影部分的概率为

279

故选：A.

4.如图是一张三角形纸板，顺次连接各边中点得到新三角形，再顺次连接新三角形各边中点得到一个小三

角形.将一个飞镖随机投掷到大三角形纸板上，(假设飞镖落在纸板上)，则飞镖落在阴影部分的概率是

()

A.-1B.&C.AD.3

31648

【解答】解：设4G印的面积是S,则△£>£尸的面积是4S,阴影部分的面积是35,

E、歹是三边的中点，

:ABC的面积是16S,

...飞镖落在阴影部分的概率是旭=2.

16S16

故选：B.

A

BF

5.将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上（每次飞镖均落在镖盘上，且落在镖盘的任何一个点的机

会都相等），飞镖落在阴影区域的概率为（）

A.1.B.2C..1D.3

3325

【解答】解：设正六边形的边长为°,则白色部分的面积2义工乂丁而乂工.=返《2,

22乙

阴影区域的面积是aX=

所以正六边形的面积为

a2，

22

则飞镖落在阴影区域的概率为翼J=2.

故选：B.

6.如图，四边形N5CQ的对角线4cLLB。，E,F,G,“分别是4。，AB,BC,CQ的中点，若在四边形

45C。内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为（）

B

A.AB.Ac.2D.3

2334

【解答】如图，,:E、F、G、〃分别是线段ND,AB,BC,CD的中点，

:.EH、尸G分别是△/CD、ZX/BC的中位线，EF、HG分别是△BCZ）的中位线,

根据三角形的中位线的性质知，EF//BD,GH〃BD且EF=%D,GH=%D,

22

，四边形EFGH是平行四边形，

又

：.EF±FG

，四边形EFG”是矩形,

四边形EFGH的面积=£F•/G=」/C・8£),

4

四边形48cz)=LC・BD,

2

这一点落在图中阴影部分的概率为四2修EFGH1

四边形ABCD2

故选：A.

7.将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（）

A.AB.2c.3D.2

2553

【解答】解：设正六边形的边长为。，则白色部分的面积3X_1义用义工0=盟1^2,灰色区域的面

224

积为义口a2，

所以正六边形的面积为

2

a

所以飞镖落在白色区域的概率为=_1

a22

故选：A.

8.如图，正方形/BCD内接于OO,若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形/BCD内概率

是（）

【解答】解：•设正方形的边长为a,

...0。的半径为名=返生

V22a

，S/=TTXC^~a）2=Al_n,

22

S正方形=02,

22

•••在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形/8C。内的概率是-a^=—,故选：C.

a"TC

——兀

2

9.小华把如图所示的4X4的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板

的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（）

A.A-B.-LC.J—D.A.

16161616

【解答】解：.正方形的面积为4X4=16,阴影区域的面积为工X4X1+工X2X3=5,

22

•••飞镖落在阴影区域的概率是至，

16

故选：B.

io.如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在红色区域的概率是_3.

【解答】解：自由转动转盘共有8种等可能结果，转盘停止后，指针落在红色区域的有3种,

所以转盘停止后，指针落在红色区域的概率是3,

8

故答案为：1.

8

题昌名列表法与树状图法

11.小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文

化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（）

A.1.B.AC.3D.A

3446

【解答】解：把''零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化分别记为：/、5、C、D,

画树状图如图：

开始

ABCD

/K/T\/N/T\

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2种，

，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为2=工，

126

故选：D.

12.柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（）

A.AB.Xc.AD.-1

3456

【解答】解：两双不同的鞋用4、。、B、6表示，其中4、。表示同一双鞋，B、b表示同一双鞋，

画树状图为:

开始

z4\/N/N/N

<25bABbAabAaB

共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果数为4,

所以取出的鞋是同一双的概率=_乞=工.

123

故选：A.

13.在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1,2,3,4,5,这些小球除

数字不同外其它均相同.从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为（）

A.&B.aC.-LD.3

2525105

【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

7^1球

第2於、12345

1(2.1)(3.1)(4,1)(5.1)

2(1，2)(3,2)(4,2)(5,2)

3(1>3)(2)3)(4.3)(5,3)

4(1，4)(2,4)(3,4)(5,4)

5(1>5)(2>5)(3.5)(4.5)

共有20种等可能出现的结果情况，其中两球上的数字都是奇数的有6种，

所以从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为a=且，

2010

故选：C.

14.经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐.假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口,

恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（）

A.2B.Xc.AD.苴

9399

【解答】解：画树状图为：

直左右

/N/N/1\

直左右直左右直左右

共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种,

恰好有一车直行，另一车左拐的概率=2,

9

故选：A.

15.同时掷两枚质地均匀的骰子,则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（)

A.1B.1C.1D.1

12632

【解答】解：画树状图为:

开始

缶44冬一冬636

和23456734567856789567891067891011789101112

共有36种等可能的结果数,其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种,

•••两枚骰子向上的点数之和为7的概率为a=工,

366

故选：B.

16.现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机

抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（）

D.1

12

【解答】解：把4张卡片分别记为：4、B、C、D,

画树状图如图：

共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种,

两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为2=工，

126

故选：A.

17.一个不透明的口袋中有两个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2.随机摸取一个小球后，放回并

摇匀，再随机摸取一个小球，两次取出的小球标号的和等于4的概率为

一4—

【解答】解：画树状图如图：

共有4种等可能的结果，两次取出的小球标号的和等于4的结果有1种,

...两次取出的小球标号的和等于4的概率为上，

故答案为：1.

4

18.在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的5个小球，其中3个红球、2个黄球.如果第一次先从

袋中摸出1个球后不放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄球的概率是_工―.

【解答】解：画树状图如图:

开始

红红红黄黄

红红黄黄红红黄黄红红黄黄红红红黄红红红黄

共有20种等可能的结果，两次都摸到黄球的结果有2种，

A两次都摸到黄球的概率为2=」_,

2010

故答案为：

10

19.某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查（每人只能选一项）：动物园;

3-七星湖；C-鄂尔多斯大草原；康镇；E-蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完

整的统计图，其中3对应的圆心角为90°,请根据图中信息解答下列问题.

“我最喜欢的景区”条形统计图

“我最喜欢的景区”扇形统计图

(1)求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；

(2)扇形统计图中加=10,表示。的扇形的圆心角是36度:

(3)九年级准备在最喜欢/景区的5名学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生和

3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率.

【解答】解：(1)对应的圆心角为90°,2的人数是50,

..•此次抽取的九年级学生共50+里=200(人)，

360

C对应的人数是:200-60-50-20-40=30,

补全条形统计图如图1所示:

(2)。所占的百分比为j2_X100%=10%,

200

表示。的扇形的圆心角是360°X_22_=36°；

200

故答案为：10,36°；

(3)画树状图为:

男

男女女女

4女4女男男君反女

男女女

共有20种等可能的结果数，其中选出的2名学生都是女生的结果数为6,

20.学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一

女的概率是（）

A.AB.Ac.2D.3

3234

ZNZ1\/1\/N

男女女男女女男男女男男女

共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，

...两人恰好是一男一女的概率为旦=2,

123

故选：C.

21.某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等.某天甲、乙两位乘客同时乘同一

列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）

A.AB..1C.-1D.A

5432

【解答】解：把3节车厢分别记为4B、C,

画树状图如图：

开始

甲ABC

/4\/1\z4\

乙ABCABCABC

共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，

甲和乙从同一节车厢上车的概率为3=工，

93

故选：C.

题曲游戏公平性

22.如图，若干位同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种站立方式，关于这两种方式的“公平性”

有下列说法，其中正确的是（）

A.两种均公平B.两种均不公平

C.仅图①公平D.仅图②公平

【解答】解：图①中，若干位同学到筐的距离不相等，则图①不公平；

图②中，若干位同学到筐的距离相等，则图②公平；

故选：D.

23.口袋中有30个大小质感相同的小球，其中红球〃个，黑球3〃个，其余为绿球.甲从袋中任意摸出1

个，若为红球则甲得1分；甲将摸出的球放回袋中，乙再从袋中摸出1个，若为绿球则乙得1分.谁先

得10分谁获胜.要使游戏对甲、乙双方公平，则”的值是6.

【解答】解：由题意知袋中绿球的个数为30-〃-3〃=（30-4〃）个，

若要使游戏对甲、乙双方公平，则”=30-4",

解得n=6,

故答案为：6.

24.4张相同的卡片上分别写有数字0、1、-2、3,将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡

片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来.

（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为_工_;

（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数

时，甲获胜；否则，乙获胜.小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理

由）

【解答】解：（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为上,

4

故答案为：1.

4

（2）列表如下:

01-23

01-23

1-1-32

-2235

3-3-2-5

由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果,

所以甲获胜的概率=乙获胜的概率=6=工，

122

二此游戏公平.

25.小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜

色外都相同，将球摇匀.

（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到白球的概率是

2

（2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则小李获胜；若摸出的两个球都

是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平.

【解答】解：（1）:共有4个球，其中有1个红球、2个白球、1个黑球，

摸到白球的概率是2=工.

42

故答案为：1；

2

（2）根据题意画树状图如下:

开始

红白白黑

/NZT\/N/1\

白白黑红白黑红白黑红白白

共有12种等可能的情况数，其中两个球是一红一黑有2种，两个球都是白色的有2种，

则小李获胜的概率是2=工，小王获胜的概率是2=工，

126126

所以游戏规则是公平的.

26.甲、乙两人进行摸牌游戏：有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2,3,5.现将三张牌背

面朝上，洗匀后放在桌子上.

（1）甲从中随机抽一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求

两人抽取的数字相同的概率.

（2）若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜，这个游

戏公平吗？请用概率的知识加以解释.

【解答】解：（1）根据题意列表如下：

甲乙235

2甲2乙2甲2乙3甲2乙5

3甲3乙2甲3乙3甲3乙5

5甲5乙2甲5乙3甲5乙5

共有9种等可能的情况数，其中两人抽取的数字相同的有3种,

则P（两人抽取的数字相同）=1=1；

93

（2）根据（1）可得，两人抽取的数字之和为2的倍数的有5种，抽取的数字之和为5的倍数的有3种，

则尸（甲获胜）5,P（乙获胜）=3,

99

:P（甲获胜）W尸（乙获胜），

这个游戏不平等.

27.已知一个布袋里装有3个红球、2个白球，这些球除颜色外其余都相同，把它们充分搅匀.

（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件,“从中任意抽取1个球是黑球”是不

可能事件:（填：必然、随机、不可能）

（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是—3—；

5

（3）甲、乙两名同学设计了一个游戏，规则如下：从布袋中任取2个球，若两球同色，则甲获胜；若两

球异色，则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明.

【解答】解：（1）从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”

是不可能事件;

故答案为必然；不可能;

（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率=_1_=3；

3+25

（3）这个游戏不公平.

理由如下:

画树状图为:

白

共有20种等可能的结果，其中两球同色的结果数为8,两球异色的结果数为12,

所以甲获胜的概率=a=2,乙获胜的概率=丝=3,

205205

因为2<3,

55

所以这个游戏不公平.

28.在一个不透明的盒子中放入三个红色小球和四个白色小球，每个小球上写有一个数字.其中，红色小

球上的数字分别是1,2,3,白色小球上的数字分别是1,2,3,4,这些小球除颜色和数字外，其余完

全相同.

（1）从盒子中任意摸出一个小球，求摸出小球上的数字小于3的概率；

（2）现将四个白色小球取出后，放入另外一个不透明的盒子内，此时，小明和小亮做游戏，他俩约定游

戏规则：从这两个盒子中各随机摸出一个小球，若小球上的数字之和为奇数，则小明获胜；若和为偶数,

则小亮获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平.

【解答】解：（1）摸出小球上的数字小于3的概率=9；

7

（2）画树状图为:

开始

/l\/K/N/T\

123123123123

共有12种等可能的结果，球上的数字之和为奇数的结果数6,所以小明获胜的概率=&=!；

122

球上的数字之和为奇数的结果数6,所以小亮获胜的概率=&=工；

122

因为工=工，

22

所以这个游戏规则对双方公平.

29.小明和小华想利用抽取扑克牌游戏决定谁去参加市里举办的“创建全国文明城市，争做文明学生”的

演讲比赛，游戏规则是：将4张除了数字2、3、4、5不同外，其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺

于桌面，一人先从中随机取出1张，另一人再从剩下的3张扑克牌中随机取出一张，若取出的2张扑克

牌上数字和为偶数，则小明去参赛，否则小华去参赛.

（1）用列表法或画树状图法，求小明参赛的概率；

（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由.

【解答】解：（1）根据题意列表如下：

第一次2345

第二次

2(3,2)(4,2)(5,2)

3(2,3)(4,3)(5,3)

4(2,4)(3,4)(5,4)

5(2,5)(3,5)(4,5)

数字之和为：5,6,7,5,7,8,6,7,9,7,8,9,共12种，其中偶数有4种,

'.P（小明参赛）

123

（2）游戏不公平，理由：

•:P（小明参赛）=工，

3

'.P（小华参赛）=上,

33

.~3T

，这个游戏不公平.

30.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同.小明先

从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x；小红在剩下的三个小球中随机取出一个小球，记

下数字为y,点。坐标记作(x,y).

(1)画树状图或列表，写出0点所有的坐标；

(2)计算由x、y确定的点。(x,y)在函数＞=2/图象上的概率；

(3)小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x、y满足刈＞6,则小明胜；若x、y满足刈＜6,则小

红胜.这个游戏公平吗？说明理由；若不公平，怎么修改规则才对双方公平？

【解答】解：(1)画树状图为：

共有12种等可能的结果数，它们是：(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,

2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)；

(2)点(1,2)在函数＞=2/图象上，

...点。(x,y)在函数＞=2/图象上的概率为2一

12

(3)这个游戏不公平.理由如下：

由(1)得：y满足xy＞6的结果有4个，y满足xy＜6的结果有6个，

：.p(小明胜)=A=1,p(小红胜)=&=』_,

123122

,：P(小明胜)〈尸(小红胜).

,这种游戏方案设计对双方不公平.

这个游戏规则可改为：若x、y满足肛》6,则小明胜；若x、y满足孙＜6,则小红胜.

31.小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜

色外都相同，将球摇匀.

(1)从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是多少？

（2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则小李获胜；若摸出的两个球都

是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平.

【解答】解：（1）•.•共有4个球，其中有1个红球、2个白球、1个黑球，

，摸到红球的概率是

4

（2）根据题意画树状图如下:

开始

红白白黑

Zf\/N/T\

白白黑红白黑红白黑红白白

共有12种等可能的情况数，其中两个球是一红一黑有2种，两个球都是白色的有2种,

则小李获胜的概率是2=工，小王获胜的概率是2=工，

126126

所以游戏规则是公平的.

题圆圆利用频率估计概率

32.在一个不透明的布袋中装有45个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录

下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黑球的个数可能有

（）

A.18B.27C.30D.36

【解答】解：设袋中有黑球x个，

由题意得：x_=0.4,

45+x

解得：x=30,

经检验x=30是原方程的解，

则布袋中黑球的个数可能有30个.

故选：C.

33.为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼

塘，再从鱼塘中打捞鱼.通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼

的条数估计为（）

A.600条B.1200条C.2200条D.3000条

【解答】解：30+2.5%=1200条

故选：B.

34.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符

合这一结果的试验最有可能的是（）

频率

A

0.8.......................................................

0.6....................................................

0.4-------……“

0.2.......................................................

~100200300400500>'礴

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”

B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数

C.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球

D.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃

【解答】解：/、在“石关、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”为工，不符合这一结果，故

3

此选项错误；

B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上