人教版五年级下册数学思维训练讲义-第十六讲长方体和正方体（三）（含答案）

第三讲长方体和正方体（三）第一部分：趣味数学量身定做锦盒太平兴国元年，宋太宗赵光义继位。他命人将玉玺加高了2厘米，玉玺由原来的长方体正好变成了正方体。就在辽国使臣觐见的前一天，玉玺造成了，但是原来盛装玉玺的锦盒不符合要求了。工匠们还没来得及制作好新的锦盒，玉玺已经被送进皇宫，因为第二天早上使臣觐见的时候需要用到玉玺。如果没有用合适的锦盒装玉玺，皇帝大怒，一群工匠估计都会掉脑袋的。工匠们个个急得满头大汗。就在工匠们绞尽脑汁想办法的时候，宰相吕端来视察，看到大家着急，便详细询问了情况。一个年长的工匠慢慢回忆说：“我只记得将玉玺加高了2厘米，正好将长方体变成了正方体。对了，我后来仔细量了量，多出来的表面积好像是72平方厘米。”吕宰相听后对大家说：“大家放心，我已经知道你们改造以后的玉玺的尺寸了。”大家一头雾水，一下子都围在吕宰相周围，都想知道究竟正方体玉玺的相关数据是多少。“不着急，大家听我说。我们从这个多出来的部分入手。多出来的部分就是一个小长方体，它的长和宽就是原来玉玺的长和宽。增加了2厘米后，原来的玉玺就成为了一个正方体，说明原来长方体的底面就是一个正方形，底面上的长和宽一样长。再往上增加了2里米，可见增加的这个4个面的大小都是一样的。每个面的大小就是72÷4＝18平方厘米，又知道这个增加部分的长方形的宽是2厘米，所以长方形的长也就是这个长方体的底面边长是18÷2＝9厘米。所以改造以后的玉玺的棱长应该就是9厘米，原来玉玺的长和宽都是9厘米，高是7厘米。”大家听后恍然大悟，连夜按照吕宰相算出的尺寸赶制了合适的锦盒来盛装玉玺，避免了皇帝的盛怒，保住了自己的性命。第二部分：奥数小练【例题1】一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面积增加多少厘米？【思路导航】把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体，可以按下图中的线共锯6次，每锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面，锯6次共增加36×2×6=432平方厘米的面积。因此，锯好后表面积增加432平方厘米。练习1：1.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？2.有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加多少平方米？3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样的小长方体，没有涂颜色的面积是60平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？【例题2】有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？【思路导航】把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面积是24÷2=12平方厘米，而正方体有6个这样的面。所以原正方体的表面积是12×6=72平方厘米。练习2：把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？2.有一个正方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？3.有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米、宽4厘米、高2厘米，现把三块积木拱成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平方厘米？【例题3】有一个正方体，棱长是3分米。如果按下图把它切成棱长是1分米的小正方体，这些小正方体的表面积的和是多少？想一想：在切的过程中，每切一切，就会增加两个3×3平方分米的面，你能用这种思路来计算所求问题吗？练习3：1.用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？如果要摆一个棱长是6厘米的正方体，需要多少个小正方体？2.有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体，一共能锯多少个？3.把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积至少是多少平方厘米？【例题4】一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：（1）三个面涂有红色的有几个？（2）二个面涂有红色的有几个？（3）一个面涂有红色的有几个？（4）六个面都没有涂色的有几个？【思路导航】按题中的要求切，切成的小正方体一共有3×3×3=27个。（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个；（2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有1×12=12个；（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有1×6=6个；（4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27－（8＋12＋6）=1个。练习4：把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1立方厘米的小正方体，这些小正方体中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？2.把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上红色的小正方体共有24个，那么，这些小正方体一共有多少个？3.把1立方米的正方体木块的表面涂上颜色，然后切成1立方分米的小正方体，在这些小正方体中，六个面都没有涂色的有多少个？【例题5】一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？【思路导航】这个长方体原来的表面积是（6×5＋6×4＋5×4）×2=148平方厘米，每切割一刀，增加2个面。切成三个体积相等的小长方体要切2刀，一共增加2×2=4个面。要求表面积和最大，应该增加4个6×5=30平方厘米的面。所以，三个小长方体表面积和最大是148＋6×5×4=268平方厘米。练习5：1.有三块完全一样的长方体木块，每块长8厘米、宽5厘米、高3厘米。要把它们粘成一个大的长方体，这个长方体的表面积最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？2.把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体，已知每个小正方体的表面积是72平方厘米，拼成的大正方体的表面积是多少平方厘米？3.把一个长、宽、高分别为7厘米、6厘米、5厘米的长方体，截成两个长方体，使这两个长方体的表面积的和最大，求它们的表面积和是多少平方厘米？第三部分：数学史话欧几里得与《几何原本》古希腊大数学家欧几里得是与他的巨著──《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作。在《几何原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系──几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果和精神于一书。它既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识。参考答案：练习11.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，可知这个大正方体的棱长为3厘米。求大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米，可以用27块棱长是1厘米的小正方体的表面积和减去大正方体表面积。小正方体的表面积和：1×1×6×27=162平方厘米大正方体表面积：3×3×6=54平方厘米表面积之差：162-54=108平方厘米2.把一个棱长是1米的正方体木块，锯成体积相等的8个小正方体，小正方体的棱长就变成了0.5米。求表面积增加多少，可以用8个小正方体的表面积和减去大正方体表面积。小正方体的表面积和：0.5×0.5×6×8=12平方厘米大正方体表面积：1×1×6=6平方厘米表面积之差：12-6=6平方厘米把正方体锯两次锯成4个同样的小长方体，表面积（也就没涂色的部分）增加了4个相等的正方形（也就是正方体的4个面），没有涂颜色的面积是60平方厘米，也就是正方体的4个面的面积和是60平方厘米，每个面的面积是60÷4=15平方厘米。涂上红色的面积一共是6个面，所以是15×6=90平方厘米。练习2①把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的长是6厘米、宽是2厘米、高是2厘米，表面积是6×2×4+2×2×2=56平方厘米。②把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了4个面，共有14个面，表面积是2×2×14=56平方厘米。想要表面积增加的最多就让多出来的面最大，那就是4×6的面，表面积增加的部分也就是4×6×2=48平方分米。想要表面积最大就让左右两面重合，这样表面积就减少了4个4×2的面，大长方体的表面积最大是（8×4＋8×2+4×2）×2×3-4×2×4=304平方厘米。练习3用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少需要8个小正方体？如果要摆一个棱长是6厘米的正方体，需要216个小正方体。一共能锯（10×6×4）÷（1×1×1）=240个。把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，有6种方法：①1×24排列；②2×12排列；③3×8排列；④4×6排列；⑤2×2×2排列；⑥2×3×4排列；由此找出每一种长方体的长宽高，计算出它们的表面积进行比较就行了。①1×24排列；（24×1+24×1+1×1）×2=98平方厘米②2×12排列；（12×2+12×1+2×1）×2=76平方厘米③3×8排列；（3×8+1×8+3×1）×2=70平方厘米④4×6排列；（4×6+1×6+4×1）×2=68平方厘米⑤2×2×2排列；（2×6+2×6+2×2）×2=56平方厘米⑥2×3×4排列；（4×3+2×4+3×2）×2=52平方厘米52<56<68<70<76<98所以这个长方体的表面积至少是52平方厘米。练习4因为1×1×1＝1，5÷1＝5，所以大正方体每条棱长上面都有5个小正方体;所以一面涂色的有:(5-2)×(5-2)×6，＝3×3×6，＝54(个)，两面涂色的有:(5-2)x12＝3×12＝36个三面涂色的都在顶点处，所以一共有8个，没有涂色的有:125-54-36-8＝27(个）面涂色的小正方体有54个;两面涂色的小正方体有36个;三面涂色的小正方体有8个;没有涂色的小正方体有27个。2.每条棱上有小正方体：24÷12+2=4个，4×4×4=64个。3.每条棱上有小正方体24÷12+2＝4(个)，4×4×4＝64(个);答:这些小正方体一共有64个。分析由于两面涂色的小正方体处在12条棱的中키，所以每条棱的中间有小正方体24÷12＝2个，那么每条棱上有小正方体2+2＝4(个)，利用大正方体的体积公式即可得解。练习51.要使表面积最大，把三个长方体的最小的面(5x3)重合;要使表面积最小，把三个长方体的最大的面(8x5)重合;求这个长方体的表面积用3个小长方体的表面积之和减去4个重合的面的面积;根据长方体的表面积公式:S＝(ab+ah+bh)×2，把数据代入公式解答。表面积最大是(8×5+8×3+5×3)×2×3-5×3×4,=(4平方厘米);表面积最小(8×5+8×3+5×3)×2×3-8×5×4,=(4平方厘米)。2.把8个同样大的小正方体拼成个大正方体，大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍，因为正方体的面积＝边长×边长，所以大正方体每个面的面积是小正方体每个面的面积的2×2＝4倍。大正方体的每个面的面积是小正方体的每个面的面积的4倍，那么大正方体的表面积就是小正方体表面积的4倍，所以用72×4即可求出拼成的大正方体的表面积。72÷6=12平方厘米12×4×6=288（平方厘米）3