2025年高考数学一轮复习专项突破：函数模型的应用（学生版）

考点15函数模型的应用（3种核心题型+基础保分练+综合提

升练+拓展冲刺练）

D1【考试提醒】

1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.

2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义

3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用

山illJ【知识点】

i.三种函数模型的性质

函数

x

y=a{a>\）尸10gox（a>l）（心0）

性

在（0,+8）

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现随X的增大逐渐表现为随n值的变化而各有

图象的变化

为与______平行与______平行不同

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型氏x）=ax~\~b（a,b为常数，QWO）

二次函数模型=ax2-\-bx-\~c（a,b,c为常数，qWO）

k

反比例函数模型为x）=Tb（k,b为常数，左WO）

指数函数模型f{x）=bax+c（a,b,c为常数，a>0且aWl,bWO）

对数函数模型f（x）=blogax+c（a,b,c为常数，Q>0且QWI,b#0）

a

嘉函数模型f（x）=ax+b（afb,1为常数，aWO）

院【核心题型】

题型一用函数图象刻画变化过程

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

⑴构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函

数图象.

⑵验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是

否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

【例题1】（2023•山西朔州•模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开

发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数X与每平米平均建

筑成本V（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：

f每平米平均建筑成本/万元

20-

15-

10-.

5-・

01020*3040楼层数/层

则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用了和楼层数x的回归方程类型

的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bex

b,2

C.y=a+—D.y=a+bx

x

【变式1］（2023,江西南昌•二模）为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行

全面消毒.出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25

毫克/立方米时，学生方可进入教室.已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度〉（毫克/

0.k,0<f<10

立方米）与时间/（分钟）之间的函数关系为》=，函数的图像如图所示.如

果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是（）

A.7：00B.6：40C.6：30D.6：00

【变式2］（2023•四川南充•三模）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度

介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用.某种药物服用1单位后，体内血药

浓度变化情况如图所示（服用药物时间对应t时），则下列说法中不正确的是（）

A血药浓度Qg/m/)

8a---------------最低中毒浓度(MTC)

A.首次服药1单位后30分钟时，药物已经在发挥疗效

B.若每次服药1单位，首次服药1小时药物浓度达到峰值

C.若首次服药1单位，3小时后再次服药工单位，一定不会发生药物中毒

D.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用

“X_|_b

【变式3](23-24高三下•江苏镇江•开学考试)函数/(%)=石彳的图象如图所示，则

A.Q<0,6<0,C>0B.a〉0,b<0,c〉0

C.Q>0,b>0,c<0D.Q>0,b<0,c<0

题型二已知函数模型的实际问题

已知函数模型解决实际问题的关键

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

⑵根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

【例题1].(2024高三・全国•专题练习)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水

的温度有关，经验表明，某种绿茶用85℃的开水泡制，再等茶水温度降至55。。时饮用，可

以产生最佳口感，如果茶水原来的温度是经过一定时间/min后的温度7(单位：。C)可

由公式T=求得，其中7；表示室温，人是一个随着物体与空气的接触状况而

定的正常数.现有一杯85℃的绿茶放在室温为25℃的房间中，如果茶温降到45℃需要

lOmin,那么在25℃室温下，用85℃的开水泡制，刚泡好的茶水要达到最佳饮用口感，大约

需要放置（）（参考数据：ln2。0.693,In3。1.099）

A.4minB.6minC.7minD.9min

【变式1］（2024•四川德阳•三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展

和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度M单位：冤）满足函数关系.

y=Qax+b［a,b.为常数），若该果蔬在7K的保鲜时间为288小时，在21昭的保鲜时间为32

小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）

最高不能超过（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

【变式2］（2023•贵州铜仁•模拟预测）牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型

e=%+（a-4）e，。为时间，单位：分钟，％为环境温度，4为物体初始温度，。为冷却

后温度），假设一杯开水温度4=100℃,环境温度4=20℃,常数上=0.2,大约经过

分钟水温降为30°C（参考数据：ln2a0.7）.

【变式3］（2024高三•全国•专题练习）环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S（单

位：m"与时间《单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型

S（t）=ka,（teZ,k>0,a>Q,且a片1）.已知第一个月该植物的生长面积为，第三个月该植

物的生长面积为4m2.

（1）求证：若5（。）5亿）=（5。2））2,贝"+片=2小

⑵若该植物的生长面积达到100m?以上，则至少要经过多少个月？

题型三构造函数模型的实际问题

构建函数模型解决实际问题的步骤

⑴建模：抽象出实际问题的数学模型；

（2）推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；

（3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实

际问题中去，得到实际问题的解.

【例题1】（23-24高三上•江苏南通・期末）某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的

工艺品.要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架

的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（）

A.20>/2cmB.30V5cmC.40V5cmD.60V2cm

【变式1】（2023,陕西商洛•模拟预测）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水

的标准，其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP

棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各

种大颗粒杂质，假设每一层尸产棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大

颗粒杂质含量为80mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L,则PP棉滤芯

的层数最少为（参考数据：lg2。0.30,lg3w0.48）（）

A.9B.8C.7D.6

【变式2】2023•上海闵行•三模）珠穆朗玛峰高达8848.86米，但即使你拥有良好的视力，

你也无法在上海看到它.一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能

够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中,

有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿

直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线.你认为最不重要的一个假设

是.

【变式3］（23-24高三上•福建宁德•期中）为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中

产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为30吨,最多为400吨.

月处理成本/（x）（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系近似地表示为

/（X）=1X2-300X+64800.

⑴该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低?月处理成本最低是多少元？

（2）该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?每吨的平均处理成本最

低是多少元？

【课后强化】

基础保分练

一、单选题

1.Q024•江苏•一模）德国天文学家约翰尼斯•开普勒根据丹麦天文学家第谷•布拉赫等人的观

测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动

第三定律一一绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长。与公转

1=2兀3

周期T有如下关系:混,其中M为太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转

~y/GM

周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

2.（2024•广东韶关•二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的

计算公式是少=（长+4）x（宽+4）,在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面

积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）

是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

3.（2024・上海奉贤•二模）已知函数＞=/（x）,其中尸x?+l,y=g（x）,其中

g（x）=4sinx,则图象如图所示的函数可能是（）.

B.，-g(x)

D.>=/(x)-g(x)-l

4.（2024•河南新乡•二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P

（单位：mg/L）与时间f（单位：h）之间的关系式为尸=6片”，其中左是正的常数,

若在前5h消除了20%的污染物，则常数左所在的区间为（）

5.（2024•内蒙古赤峰•一模）在下列四个图形中，点P从点。出发，按逆时针方向沿周长为

/的图形运动一周，。、尸两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点尸

二、多选题

6.（2024•全国•模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量

达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为

64Ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度了（单

位：ppm）与排气时间f（单位：分钟）之间满足函数关系>（。小为常数，e是自然

对数的底数）.若空气中一氧化碳浓度不高于06ppm,人就可以安全进入车库了，则下列说

法正确的是（）

A.a=128

B.R」n2

4

C.排气12分钟后浓度为16Ppm

D.排气32分钟后，人可以安全进入车库

7.（2023•广东广州•三模）已知函数/（》）=旦吧+「二一的图象与直线V=有三个

xelnx+x

交点，记三个交点的横坐标分别为百户2户3，且西〈无2<W，则下列说法正确的是（）

A.存在实数3使得占=1

B.尤3>e

三、填空题

8.Q2-23高三下•上海闵行•阶段练习）一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②

实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，请写出正确的序号顺

序.

9.（2024•上海长宁•二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表:

甲乙丙

接单量f（单）783182258338

油费S（元）107150110264110376

平均每单里程左（公里）151515

平均每公里油费。（元）0.70.70.7

出租车没有载客行驶的里程

出租车空驶率=答黑。篇;鼠*；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空

驶率的模型〃=并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x%,则

x=

（精确到0.01）

四、解答题

10.（2024•浙江温州・二模）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x

（万元）与年收益了（万元）的8组数据：

X1020304050607080

y12.816.51920.921.521.92325.4

（1）用y=61nx+a模拟生产食品淀粉年收益V与年投入资金x的关系，求出回归方程；

⑵为响应国家'加快调整产业结构"的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益

为投入的10%.2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大

值.（精确到0.1万元）

-nV'U

附：①回归直线日=加+/中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：---------

/=1

a=u-b-v

②

8888

叫2

5?Z(lnxz.)£匕1叫

Z=11=1Z=18Z=1

1612920400109603

(3)ln2~0.7,ln5-1.6

1L（2024,江西上饶,一模）机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自

然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险.机动车辆保险

一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险.经验表明商业险保费

（单位：元）由过去三年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上饶市某机动车辆保险公司

对于购买保险满三年的汽车按如下表格计算商业险费用.（假设每年出险次数2次及以上按

2次计算）

出险情况商业险折扣若基准保费3000元时对应保费

三年内6赔1.85400

三-年内5赔1.54500

三年内4赔1.23600

三年内3赔13000

三年内2赔0.82400

三年内1赔0.72100

三年内。赔0.61800

⑴汽车的基准保费由车的价格决定，假定王先生的汽车基准保费为3000元，且过去8年都

没有出险，近期发生轻微事故，王先生到汽车维修店询价得知维修费为1000元，理赔人员

根据王先生过去一直安全行车的习惯，建议王先生出险理赔，王先生是否该接受建议？（假

设接下来三年王先生汽车基准保费不变，且都不出险）

⑵张先生有多年驾车经验，用他过去的驾车出险频率估计概率，得知平均每年不出险的概

率为0.8,出一次险的概率为0.1,出两次险的概率为0.1（两次及以上按两次算）.张先生近

期买了一辆新车，商业险基准保费为3000元（假设基准保费不变），求张先生新车刚满三年

时的商业险保费分布列及期望.

综合提升练

一、单选题

L（2023•河南郑州,模拟预测）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根

据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量4（单位：L/min）计算公式

___s-W

为q=K4IOP和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为N=——计算确定，其中P为水雾

q

喷头的工作压力（单位：MPa）,K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为

保护对象的保护面积，沙为保护对象的设计喷雾强度（单位：L/minm2）.水雾喷头的布置

应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾

喷头的工作压力尸为0.35MPa,水雾喷头的流量系数K为24.96,保护对象的保护面积S为

14m"保护对象的设计喷雾强度少为ZOL/midn?时，保护对象的水雾喷头的数量N约为

（参考数据：而。1.87）（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

2.（23-24高三上•河南•阶段练习）设某批产品的产量为x（单位：万件），总成本

c（x）=100+13x（单位：万元），销售单价0（尤）=七一3（单位：元/件）.若该批产品全

x+2

部售出，则总利润（总利润=销售收入-总成本）最大时的产量为（）

A.7万件B.8万件C.9万件D.10万件

3.（2024•北京丰台•一模）按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列

以阑，N1,...等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：

①加规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为1:拒；

②将4（i=0,l,…,9）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为“（i+1）规格纸张（如

图）.

某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40

张，N2规格纸张10张，H规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供阑规格纸张的张数

为（）

A.6B.7C.8D.9

4.（2024•河北沧州•模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的

废水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为

2.25g/m3,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21g/m3,第〃次改良工艺后

排放的废水中含有的污染物数量/满足函数模型（feR,〃eN*）,其

中为为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，4为首次改良工艺后排放的废水中含

有的污染物数量，〃为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过0.65g/m3时符

合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参

考数据：咆2。0.30,33名0.48）

A.12B.13C.14D.15

5.（2024・北京怀柔•模拟预测）“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出18年，我国城乡深

化河道生态环境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进

出水量为左立方米，已知污染源以每天厂个单位污染河水，某一时段单位：天）河水污

染质量指数加⑴（每立方米河水所含的污染物）满足机（。=（机0为初始质

量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的50倍.若从现在开始停止污染源，要使河

水的污染水平下降到初始时的），需要的时间大约是（参考数据：ln5=L61,ln6al.79）

6

（）

A.1个月B.3个月C.半年D.1年

6.（2024•北京西城•一模）德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规

律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线"."遗忘曲线"中记忆率了随时间f（小时）变化的

趋势可由函数了=1-0.6/27近似描述，贝I］记忆率为50%时经过的时间约为（）（参考数据:

lg2»0.30,lg3»0.48）

A.2小时B.0.8小时C.0.5小时D.0.2小时

7.（2023•湖北武汉•模拟预测）一个半球体状的雪堆，假设在融化过程中雪堆始终保持半球

体状，其体积厂变化的速率与半球面面积S成正比，己知半径为分的雪堆在开始融化的3小

7

时，融化了其体积的g,则该雪堆全部融化需要（）小时

O

24

A.—B.4C.5D.6

8.（2024•陕西商洛•三模）近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系

统.已知过滤过程中废水的污染物数量N（mg/L）与时间f（小时）的关系为"=N心'（N。

为最初的污染物数量）.如果前3小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%

还需要（）

A.2.6小时B.6小时C.3小时D.4小时

二、多选题

9.（2024•重庆•模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知

放射性物质数量随时间，的衰变公式"（/）=或屋：，N。表示物质的初始数量，r是一个具有

时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量

到衰变成一半所需的时间，已知ln2=0.7,右表给出了铀的三种同位素t的取值：若铀234、

铀235和铀238的半衰期分别为工，T2,8则（

物质r的量纲单位t的值

铀234万年35.58

铀235亿年10.2

铀238亿年64.75

A.7=Tin0.5B.7与丁成正比例关系

C.TJ>T2D.T3>100007；

10.（2024,安徽蚌埠•模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律

的.如果物体的初始温度为4℃,空气温度4℃保持不变，贝h分钟后物体的温度e（单位：

℃）满足：8=%+的_；，.若空气温度为i（rc,该物体温度从q℃（9o<^<ioo）

下降到3（rc,大约所需的时间为4,若该物体温度从7（rc,5（rc下降到3（rc,大约所需

的时间分别为54,则（）（参考数据：ln2#0.7,ln3BLl）

A.t2=20B,28<^<30C.tx>2t3D.tx-t2<6

11.（2023・全国•模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会在四川成都举行，大运会吉祥物

"蓉宝"备受人们欢迎.某大型超市举行抽奖活动，推出"单次消费满1000元可参加抽奖”的

活动，奖品为若干个大运会吉祥物"蓉宝”.抽奖结果分为五个等级，等级X与获得“蓉宝”的

个数/（x）的关系式为/（x）=p+eM〃，己知三等奖比四等奖获得的，蓉宝"多2个，比五等奖

获得的"蓉宝”多3个，且三等奖获得的"蓉宝"数是五等奖的2倍，则（）

A.k=-ln2B.b=51n2

C.0=3D.二等奖获得的“蓉宝〃数为10

三、填空题

12.（2023•海南•模拟预测）新能源汽车是未来汽车的发展方向之一，一个新能源汽车制造厂

引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量》（辆）与创造

的价值》（万元）之间满足一次函数关系.己知产量为0时，创造的价值也为。；当产量为

40000辆时，创造的价值达到最大，为6000万元.若这家工厂希望利用这条流水线创收达到

5625万元，则它应该生产的新能源汽车数量是.

13.（2024,全国•模拟预测）药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低到一半所需时间.在特

定剂量范围内，f（单位，h）内药物在血液中浓度由4（单位，〃g/mL）降低到0（单

位,〃g/mL）,则药物的半衰期广嬴已知某时刻测得药物甲、乙在血液中浓度

分别为36"g/mL和54〃g/mL,经过一段时间后再次测得两种药物在血液中浓度都为

24〃g/mL,设药物甲、乙的半衰期分别为工，T2,则今=.

14.（2023•上海崇明・二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯

亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰

等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人

和非机动车的干扰因素则复杂且不确定.面对这些不同和不确定，需要作出假设.例如小明

发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的

车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设.

四、解答题

15.Q024高三・全国•专题练习）某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究.经

过2分钟菌落的覆盖面积为48mm2,经过3分钟覆盖面积为64mm2,后期其蔓延速度越来

越快；菌落的覆盖面积了（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模

型：@y—kaxCk>0,a>l）；@y—\ogbx③y=p6+q（p）0）可供选择.（参

考数据：1g2=0.301,lg3=0.477）

（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式.

⑵在理想状态下,至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm??（结果保留

到整数）

16.（2024高三•全国•专题练习）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的"体形系数"

S书,其中/为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），乂为建筑物的体积（单位：

立方米）.

（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R,高度为a，暴露在空气中的部分为上底面和侧面,

试求该建筑体的"体形系数"S；（结果用含&、〃的代数式表示）

⑵定义建筑物的"形状因子"为/=幺，其中A为建筑物底面面积，£为建筑物底面周长，又

定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）.设“

为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数"为S=J互+工.当

VT3n

/=18,7=10000时，试求当该宿舍楼的层数〃为多少时，"体形系数"S最小.

17.(2024•浙江金华•模拟预测)太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池

两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中.已知

在一定条件下，入射光功率密度夕=a(£为入射光能量且£>o,s为入射光入射有效面

积)，电池板转换效率77(04〃4100%)与入射光功率密度。成反比，且比例系数为九

(1)若左=2,5=1.5平方米，求蓄电池电能储存量。与£的关系式；

⑵现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择,且铅酸蓄电池的放电量/=0+£7,

锂离子蓄电池的放电量/=&+贮.设给定不同的0,请分析并讨论为了使

得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？

注：①蓄电池电能储存量。=/E；

②当S,k,。一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好.

18.（2024・四川南充•二模）已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为

I级和口级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：

频率

若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K,按规定须将该指标大于K的产品应用

于/型手机，小于或等于K的产品应用于8型手机.若将I级品中该指标小于或等于临界

值K的芯片错误应用于/型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将H级品中该

指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假

设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

⑴设临界值K=70时，将2个不作该指标检测的I级品芯片直接应用于N型手机，求芯片

生产商的损失€（单位：元）的分布列及期望；

（2）设K=x且xe[50,55],现有足够多的芯片I级品、II级品，分别应用于/型手机、8型

手机各1万部的生产：

方案一：将芯片不作该指标检测，I级品直接应用于/型手机，II级品直接应用于2型手

机；

方案二：重新检测该芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避

免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；

请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值/（x）（单位：万元）的表达式，并从芯片

生产商的成本考虑，选择合理的方案.

19.(2024高三•全国•专题练习)将连续正整数1,2,…，"(〃wN*)从小到大排列构成一个

数123…〃，尸(〃)为这个数的位数(如当”=12时，此数为123456789101112,共有15个数

字，尸(12)=15),现从这个数中随机取一个数字，H")为恰好取到。的概率.

⑴求0(100).

(2)当"V2021时，求尸⑺的表达式.

⑶令g(")为这个数中数字0的个数，7⑺为这个数中数字9的个数，//(«)=/(n)-g(n),

S={〃[h{n)=l,»<100,«eN*},求当〃eS时p⑺的最大值.

拓展冲刺练

一、单选题

1.(2023•浙江•二模)绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为

120。的等腰梯形(如图)水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的

过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水

果的深度(即梯形的高)约为()(参考数据：V3»1,732)

C.L17米D.1.73米

2.(2024•全国•模拟预测)北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统.已知卫

星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期T与轨道半径尺之间关系为L=K/3长

为常数）.己知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲

的运行轨道半径为akm,48分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则4台之间距

离的最大值为（）

V17,5.

AA.-----akmDB.—akm

44

3

C.—akmD.5akm

2

3.（2024•全国•模拟预测）药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低一半所需要的时间，在

特定剂量范围内，药物的半衰期7=&等，其中K是药物的消除速度常数，不同药物的消

除速度常数一般不同，若小内药物在血液中浓度由c°ug%降低到qug%,则该药物的消除速

度常数K=g二屿.已知某药物半衰期为3h,首次服用后血药浓度为45ug%,当血药浓

t

度衰减到20ug%时需要再次给药，则第二次给药与首次给药时间间隔约为

（ln2®0.7,ln3®1.1）（）

A.3.3hB.3.5hC.4.6hD.6.9h

4.（23-24高三上•湖北•阶段练习）已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是

0；C,空气的温度是嵋C,则finin后物体的温度，。C满足公式e=4+（其中左是

一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在

20℃空气中，冷却2min后牛奶的温度是50℃,则下列说法正确的是（）

A.k-ln2

B.k=21n2

C.牛奶的温度降至35c还需4min

D.牛奶的温度降至35℃还需2min

5.（2024•陕西咸阳•模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位

x(')=X。

数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：其中正实

=TJ)cosh

数冗，天分别为红、蓝两方的初始兵力，f为战斗时间；x（f）,y⑺分别为红、蓝两方f时

刻的兵力；正实数。，6分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；coshx==J

2

和sinhx=£］士分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定：当红、蓝两方任何一方兵力

2

为。时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T.则下列结论不正

确的是（）

A.若X。〉为且a=b,则⑺（OWT）

B.若%>为且。=人则WEI

冗

C.若”>一b，则红方获得战斗演习胜利

Yoa

D.若和R则红方获得战斗演习胜利

二、多选题

6.（23-24高三下•重庆,阶段练习）吸光度是指物体在一定波长范围内