2024-2025高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念学案含解析新人教A版必修4

PAGE4-2.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．答案：D2．下列命题中，正确命题的个数是()①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a共线的单位向量是eq\f(a,|a|).A．3B．2C．1D．0解析：依据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是eq\f(a,|a|)或－eq\f(a,|a|)，故④也是错误的．答案：D3．下列命题中，正确的是()A．|a|＝|b|⇔a＝bB．|a|>|b|⇔a>bC．a＝b⇔a∥bD．|a|＝0⇔a＝0解析：由零向量的定义，可知D选项是正确的，故选D.答案：D4．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则()A.eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))B.eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))C.eq\o(PE,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→))D.eq\o(EP,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→))解析：由平面几何学问知，eq\o(AD,\s\up10(→))与eq\o(BC,\s\up10(→))方向不同，故eq\o(AD,\s\up10(→))≠eq\o(BC,\s\up10(→))；eq\o(AC,\s\up10(→))与eq\o(BD,\s\up10(→))方向不同，故eq\o(AC,\s\up10(→))≠eq\o(BD,\s\up10(→))；eq\o(PE,\s\up10(→))与eq\o(PF,\s\up10(→))的模相等而方向相反，故eq\o(PE,\s\up10(→))≠eq\o(PF,\s\up10(→)).eq\o(EP,\s\up10(→))与eq\o(PF,\s\up10(→))的模相等且方向相同，∴eq\o(EP,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→)).答案：D5．若|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(AD,\s\up10(→))|且eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))，则四边形ABCD的形态为()A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形解析：由eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))，知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又因为|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(AD,\s\up10(→))|，所以四边形ABCD为菱形．答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝________.解析：因为正方形的对角线长为2eq\r(2)，所以|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A、B、C、D四点中的随意两点为始点和终点的全部向量中，与向量eq\o(EF,\s\up10(→))方向相反的向量为________．解析：因为AB∥EF，CD∥EF，所以与eq\o(EF,\s\up10(→))平行的向量为eq\o(DC,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BA,\s\up10(→))，其中方向相反的向量为eq\o(BA,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→)).答案：eq\o(BA,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))8．给出下列命题：①若eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；②在▱ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中全部正确命题的序号为________．解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(DC,\s\up10(→))|，eq\o(AB,\s\up10(→))与eq\o(DC,\s\up10(→))平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确；对于④，当b＝0时，a与c不肯定平行，故④不正确．答案：②③三、解答题(每小题10分，共20分)9．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解析：(1)依据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．(2)由平面几何学问可作满意条件的向量c，全部这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．10．一辆汽车从A点动身向西行驶了100千米到达B点，然后又变更了方向向北偏西40°走了200千米到达C点，最终又变更方向，向东行驶了100千米到达D点．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up10(→))|.解析：(1)如图所示．(2)由题意，易知eq\o(AB,\s\up10(→))与eq\o(CD,\s\up10(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up10(→))与eq\o(CD,\s\up10(→))共线，即AB∥CD.又|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(CD,\s\up10(→))|，所以四边形ABCD为平行四边形．所以|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝200(千米)．[实力提升](20分钟，40分)11．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列推断错误的是()A.eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))B.eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(DE,\s\up10(→))C．|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BE,\s\up10(→))|D.eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(FC,\s\up10(→))解析：由题图可知，|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(FC,\s\up10(→))|，但eq\o(AD,\s\up10(→))、eq\o(FC,\s\up10(→))不共线，故eq\o(AD,\s\up10(→))≠eq\o(FC,\s\up10(→))，故选D.答案：D12．给出下列三个条件：①|a|＝|b|；②a与b方向相反；③|a|＝0或|b|＝0，其中能使a∥b成立的条件是________．解析：由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即①不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即②能够使a∥b成立；因为零向量与随意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是②③.答案：②③13．飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1400km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1400km到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？解析：如图所示，eq\o(AB,\s\up10(→))表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝1400km.eq\o(BC,\s\up10(→))表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝1400km.所以eq\o(AC,\s\up10(→))为飞机从A地到C地的位移．在△ABC中，AB＝BC＝1400km，且∠ABC＝75°－15°＝60°，故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1400km.所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°方向上，距离A地1400km.14．如图，在△ABC中，已知向量eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))，eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\o(EC,\s\up10(→))，求证：eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(DF,\s\up10(→)).证明：由eq