2025年高考数学专项复习：平面向量与复数（含答案及解析）

第05讲平面向量与复

（新高考专用）

一、单项选择题

1.（2024•北京・高考真题）设a,办是向量，则”（五+—。）=0”是“五=一3或五=萨的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024•全国•高考真题）设向量d=（%+1,%）石=则（)

A.“X=-3”是41萨的必要条件B.“x=-3”是%〃加的必要条件

C."％=0”是*1"的充分条件D.“久=-1+行是“2〃萨的充分条件

3.（2024•全国•高考真题）已知向量需满足同=1,|五+2亩=2,M(6-2a)1b,则国=()

A-B—C.当D.1

a.22

4.（2024•全国•高考真题）已知向量五二二（0,1）石=（2,%）,若石1（石一4通，则％=（）

A.—2B.-1C.1D.2

5.（2023•北京•高考真题）已知向量出1满足2+b=(2,3),a—6=：(-2,1),则同2—|印=()

A.-2B.-1C.0D.1

6.（2024・北京・高考真题）已知；=—-i,贝!Jz=()

A.-1—iB.-1+iC.1-iD.1+i

7.（2024•全国•高考真题）设z=V^i,则z-z=()

A.-2B.V2-c.—V2D.2

8.（2024•全国•高考真题）若z=5+i,贝1Ji(5+z)=()

A.10iB.2iC.10D.2

9.（2024•全国•高考真题）已知z=-lT,则|z|=()

A.0B.1C.V2D.2

10.（2024•全国•高考真题）若喜―1+i,贝H―（）

A.-1—iB.—1+iC.1-iD.1+i

11.（2023•北京•高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1八③，则z的共轨复数2=（)

A.1+V3iB.1—V^i

C.-1+V3iD.-1-V3i

12.（2023•全国•高考真题）已知向量2=（3,1）石=（2,2）,则cos&+强一动=（）

AA-—17B17c—5D2近5

13.（2023•全国•高考真题）已知向量乙标满足同=|同=1,|引=鱼，且五+石+2=6,贝Ijcos〈为一漏一小=

（）

4224

A.——B.——C.~D."

14.（2023・全国•高考真题）已知。。的半径为1,直线PN与。。相切于点4直线尸2与O。交于3,C

两点，。为2C的中点，若|PO|=VL则而•丽的最大值为（）

A1+但B1+2企

C.1+V2D.2+V2

15.（2023•全国•高考真题）已知向量五=（1,1）3=若（五+a刃），Q+〃5）,则（）

A.a+〃=1B.a+〃=—1

C.A/i=1D.A/i=-1

16.（2023•全国•高考真题）|2+i2+2i3|=()

A.1B.2c.VsD.5

5QS)_z)

17.（2023•全国•高考真题）(2+i)(2-i)-I)

A.-1B.1C.1-iD.1+i

18.（2023•全国•高考真题）设a€R,(a+i)(l—ai)=2,,则。二()

A.-1B.0C.1D.2

19.（2023•全国•高考真题）1+送+百则Z—（）

A.l-2iB.1+2iC.2-iD.2+i

20.（2023•全国•高考真题）已知z=W?则z—万=()

A.-iB.iC.0D.1

21.（2023・全国•高考真题）在复平面内，（l+3i）（3T）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

22.（2022•全国•高考真题）已知向量@=（3,4）石=（1,0）,淳=五+窃,<a,c>=<b,c>,则t=（）

A.-6B.-5C.5D.6

23.（2022・全国•高考真题）已知向量不=（2,1）,B=（—2,4）,贝皿一石|（）

A.2B.3C.4D.5

24.(2022・全国•高考真题)2知向量值/满足回=1,向=遮,叵-2臼=3,则值•1=()

A.-2B.-1C.1D.2

25.(2022・全国•高考真题)在△A8C中，点。在边45上，BD=2DA.记@5=访，CD=n,则方=

()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

26.(2022•浙江•高考真题)已知ER,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则()

A.CL=l,b=-3B.a=-l,b=3C.a=—l,b=-3D.a=l,b=3

27.(2022・全国•高考真题)(2+2i)(l—2i)=()

A.-2+4iB.-2—4iC.6+2iD.6—2i

28.(2022・全国・高考真题)设(l+2i)a+b=2i,其中a,6为实数，则()

A.a=l,b=-1B.a=l,b=1C.a=-l,b=1D.a=-l,b=-1

29.(2022•全国•高考真题)若z=l+i.则|iz+32|=()

A.4V5B.4V2C.2V5D.2V2

30.(2022•全国•高考真题)若z=—1+gi,则喜=()

A.-1+V3iB.-1-V3iC.-1+^i

uD，--3--3i

31.(2022•北京・高考真题)若复数z满足i-z=3-4i,则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

32.(2022•全国•高考真题)若i(l-z)=1,则z+”()

A.-2B.-1C.1D.2

二、填空题

33.(2024•上海•高考真题)已知kGR,a=(2,5)%=(6,fc),且0/反贝赫的值为_____.

34.(2024・天津・高考真题)在边长为1的正方形4BCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=^DEjE=ABA

+面,则4+〃=;F为线段BE上的动点，G为ZF中点，则万•赤的最小值为

D.------------牛，C

B

35.（2024・上海•高考真题）已知虚数z,其实部为1,且z+|=m（nieR）,则实数相为.

36.（2024・天津•高考真题）已知i是虚数单位，复数（乃+i）•（遥-2i）=.

37.（2023•全国•高考真题）已知向量忆君满足同一同=8，艮+引=|2五一引,则同=

38.（2023・天津•高考真题）已知i是虚数单位，化简常的结果为.

39.（2022•天津•高考真题）在△ABC中，CA=a,CB=。是/C中点，面=2BE,试用五石表示诙为

若丽1赤，则“CB的最大值为.

__k,

40.（2022・浙江・高考真题）设点尸在单位圆的内接正八边形①公…4的边4遇2上，则B^+P42+-+PAI

的取值范围是.

41.（2022•全国•高考真题）已知向量五=（成3）石=（1即+1）.若互1B,则m=.

42.（2022・全国•高考真题）设向量五，石的夹角的余弦值为,且同=1,|瓦=3,则（2Zi+B）-B=.

43.（2022・天津•高考真题）已知i是虚数单位，化简需的结果为.

第05讲平面向量与复数(2022-2024高考真题)

(新高考专用)

一、单项选择题

1.(2024•北京・高考真题)设a,办是向量，则”(五+，)•(]一|)=0”是"五=乩或五=萨的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据向量数量积分析可知G+B){3-3)=o等价于同=同，结合充分、必要条件分析判断.

【解答过程】因为(五+办)•(五一刃)=」—「=0,可得由=铲,即同=同,

可知(五+b)-(a—b)=0等价于同=\b\,

若五二刃或五二一反可得同=国,即0+刃＞0—吊=0,可知必要性成立；

若(五+b)-(2—&)=0,即同=\b\,无法得出五=加或2=—b,

例如五=(1,0)3=(0,1),满足同=|同，但五H刃且五H一刃，可知充分性不成立；

综上所述，“(五+b]•(a-h)=0”是%W加且不工一户的必要不充分条件.

故选：B.

2.(2024■全国•高考真题)设向量为=(x+l,x)E=(x,2),则()

A.“乂=-3”是“21点的必要条件B.“久=-3”是％〃针的必要条件

C.“x=0”是唱1户的充分条件D."x=—1+遮”是“2〃萨的充分条件

【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【解答过程】对A,当/_1_办时，则小3=0,

所以x•(x+1)+2x=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当％=0时，3=(0,2),故五/=0,

所以五±几即充分性成立，故c正确；

对B,当五〃刃时，贝U2(x+1)=X2,解得X=1土遮，即必要性不成立，故B错误；

对D,当％=-1+8时，不满足2(x+l)=%2,所以勿/行不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

3.(2024•全国•高考真题)已知向量都满足同=1,忖+2M=2,且@一23)1丸则囚=()

A.|B.mC.乎D.1

【解题思路】由(刃-2五)JLb得了=2a-bf结合同=1,|五+2同=2,得1+4方•5+4石=1+66=4,由此

即可得解.

【解答过程】因为缶—丸所以缶—22)7=0,即留=227,

又因为同=l,\a+2b\=2,

所以1+4五7+43—1+6b—4,

从而同=当

故选：B.

4.(2024•全国•高考真题)已知向量3=(0,1)3=(2,无)，若4初，贝咏=()

A.一2B.-1C.1D.2

【解题思路】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.

【解答过程】因为刃1仿一4刈，所以刃•色一4元)=0,

所以片—♦刃=0即4+N—4%=0,故x=2,

故选：D.

5.(2023・北京・高考真题)已知向量2,3满足2+9=(2,3),五一至=(-2,1),则同2—|郎=(

A.-2B.-1C.0D.1

【解题思路】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【解答过程】向量乙君满足五+b=(2,3),2—办=(-2,1),

所以|初2-向2=+b)-(a-b)=2x(-2)+3x1=-1.

故选：B.

6.(2024•北京•高考真题)已知则z=()

A.—1—iB.-1+iC.1—iD.1+i

【解题思路】直接根据复数乘法即可得到答案.

【解答过程】由题意得z=i(-l—i)=l—i.

故选：C.

7.(2024•全国•高考真题)设z=«i,贝iJzD=()

A.-2B.V2C.-V2D.2

【解题思路】先根据共辗复数的定义写出?，然后根据复数的乘法计算.

【解答过程】依题意得，万=—«i,故法=—2i2=2.

故选：D.

8.(2024•全国•高考真题)若z=5+i,贝亚(万+z)=()

A.10iB.2iC.10D.2

【解题思路】结合共兜复数与复数的基本运算直接求解.

【解答过程】由z=5+i=5=5-i,z+N=10,贝！|i(万+z)=10i.

故选：A.

9.(2024•全国•高考真题)已知z=-l—i,则|z|=()

A.0B.1C.V2D.2

【解题思路】由复数模的计算公式直接计算即可.

【解答过程】若Z=—1—i,则|Z|=J(—1)2+(—1)2=包.

故选：C.

10.(2024•全国•高考真题)若£=l+i,贝物=()

A.—1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

【解题思路】由复数四则运算法则直接运算即可求解.

【解答过程】因为看=与苧=1+去=l+i，所以z=l+：=l—i.

故选：C.

11.(2023・北京・高考真题)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,、⑶，贝吻的共辗复数2=()

A.1+B.1—

C.-1+D.-1—V^i

【解题思路】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共辗复数的定义计算.

【解答过程】z在复平面对应的点是(-1,何，根据复数的几何意义，z=-l+V3i,

由共辗复数的定义可知，z=-l-V3L

故选：D.

12.(2023•全国•高考真题)已知向量2=(3,1)3=(2,2),贝hos6+3/―访=()

岳

AA-—17SB17c—5UD-25

【解题思路】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得B+M，|a-见Q+励•0-刃，从而利用平面向

量余弦的运算公式即可得解.

【解答过程】因为3=(3,1)石=(2,2),所以五+5=(5,3),五一」=(1,一1),

贝“五+b\=V52+32=V34,|a—b|=V1+1=V2,(a+h),(a—b)=5x1+3x(—1)=2,

(五+励

所以cos(3+b,a—b)=26

|a+5||a-b|~V34xV2~

故选：B.

13.（2023•全国•高考真题）已知向量五万1满足同=同=L©=鱼，且五+3+2=6,贝Ucos〈2—湘一"〉=

（）

4

D.

5

【解题思路】作出图形,根据几何意义求解.

【解答过程】因为2+石+1=6,所以d十1二一己

即五2+ft2+2方.b—茬2,即1+1+2a•6=2,所以五•&=0.

如图,设瓦?=a^OB=b^OC=c,

由题知,04=0B=lf0C=VI△O4B是等腰直角三角形,

AB边上的高。。=号,AD=夸，

所以CD=C。+。0=鱼+?=乎，

AD13

tanZTlCD=-=-,cosz4CD=^=,

cos(a—c,b—c)=cos/.ACB—cos2zXCD=2cos2Z.ACD-l

故选:D.

14.（2023•全国•高考真题）已知O。的半径为1,直线P4与。。相切于点力,直线尸8与O。交于8,C

两点，。为3C的中点，若|PO|=VL则可•丽的最大值为（）

A..B.一

22

C.1+V2D.2+V2

【解题思路】由题意作出示意图，然后分类讨论,利用平面向量的数量积定义可得可•丽=J-*sin（2a-2）,

N2\4/

或运-PD=1+等in（2a+今）然后结合三角函数的性质即可确定而­方的最大值.

【解答过程】如图所示，\0A\=1,|OP|=V2,则由题意可知:N4P0=；,

由勾股定理可得|P4|=V0P2—022=1

7T

当点4。位于直线p。异侧时或PB为直径时，设40PC=a,0<a<~4,-

贝U：~PA-~PD=\PA\'|PD|COS(«+J)

=1xV2cosacos(a+/

V2

=V2cosctcosci——sincr

=cos2a—sincrcos(z

1+cos2a1

=----«------77sin2a

22

1V2./多

=———sinI2a——)

22I4，

o<a<7，则一

•••当2a-?=时，PA■而有最大值1.

当点4。位于直线P。同侧时，设NOPCa,0<a<a

则：E?•PD=\PA\■|RD|cos(a-

=1xV2cosctcos(a—£)

V2

=V2coscrcosa+—sina

=cos2a+sinacoscr

1+cos2a1

=----2----+2s,112a

=!+争in(2a+。

0<«<7,则三2a+*<苧

.••当2a+：=时，PA-而有最大值空I

4N2

综上可得，刀•丽的最大值为噌.

故选：A.

15.(2023•全国•高考真题)已知向量五=(1,1)3=(1,-1),若Q+痛)1Q+而)，则()

A.a+〃=iB.A+〃=—1

C.A/z=1D.A/i=-1

【解题思路】根据向量的坐标运算求出3+4加2+而，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【解答过程】因为2=(1,1)3=(1,—1),所以3+4=(1+41-2),a+fib=(1+fj.,

由(H+焉)1(a+〃刃)可得，Q+Afa),(a+lib)=0,

即(1+2)(1+4)+(1-;1)(1一4)=0,整理得：A/z=-l.

故选：D.

16.(2023・全国•高考真题)|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.V5D.5

【解题思路】由题意首先化简2+i2+2i3,然后计算其模即可.

【解答过程】由题意可得2+i2+2i3=2-l-2i=l-2i,

贝力2+i2+2i3|=|l-2i|=V12+(-2)2=V5.

故选：C.

17.(2023•全国•高考真题)$2=()

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【解题思路】利用复数的四则运算求解即可.

5(1+3)=5(1—i)=

【解答过程】(2+i)(2-i)-5—1

故选：C.

18.(2023•全国•高考真题)设aER,(a+i)(l—ai)=2,,则。=()

A.-1B.0C.1D.2

【解题思路】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

【解答过程】因为(a+i)(l—ai)=a—a2i+i+a=2a+(1—a2)i=2,

所以｛1,夏0，解得：a=L

故选：c.

19.(2023・全国•高考真题)设z=[^,则万=()

1+K+13

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【解题思路】由题意首先计算复数z的值，然后利用共辗复数的定义确定其共辗复数即可.

【解答过程】由题意可得—

则N=l+2i.

故选：B.

20.(2023•全国•高考真题)已知2=聂，贝以一万=()

A.-iB.iC.0D.1

【解题思路】根据复数的除法运算求出z,再由共朝复数的概念得到2,从而解出.

【解答过程】因为z==M写言=子=一号，所以万=手，即z—2=—i.

故选：A.

21.(2023•全国•高考真题)在复平面内，(l+3i)(3-i)对应的点位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【解答过程】因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,

则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

故选：A.

22.(2022•全国•高考真题)已知向量不=(3,4)石=(1,0)1=a+房，<a,c>=<b,c>,贝n=()

A.-6B.-5C.5D.6

【解题思路】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【解答过程】解：5=(3+t,4),cos(a,c)=cos〈b,c)，即标"=篙，解得t=5,

故选：C.

23.(2022・全国•高考真题)已知向量不=(2,1),B=(—2,4),则何―耳()

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】先求得瓦然后求得只-瓦.

【解答过程】因为@一6=(2,1)-(一2,4)=(4,-3),所以|五一臼=，42+(-3)2=5.

故选：D.

24.(2022•全国•高考真题)已知向量五万满足同=1,|臼=五一2臼=3,贝无•石=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解题思路】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【解答过程】解：,・,|五一2山2=1为『一42•石+4同1

又,・13|=l,\b\=y/3,\a-2b\=3,

••-9=1—4a•b+4x3=13—4a-b,

.*.a•b=1

故选：C.

25.(2022•全国•高考真题)在△ZBC中，点。在边45上，BD=2DA.记g?=沆，CD=n,则方=

()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【解题思路】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【解答过程】因为点。在边45上，BD=2DA,所以前=2DX即前一诙=2(刀-诙)，

所以诙=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.

故选：B.

26.(2022•浙江•高考真题)已知+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则()

A.a=l,b=-3B.a=—l,b=3C.CL=—l,b=-3D.a=l,b=3

【解题思路】利用复数相等的条件可求a,b.

【解答过程】a+3i=—1+历，而a力为实数，故a=-1力=3,

故选：B.

27.(2022•全国•高考真题)(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2—4iC.6+2iD.6—2i

【解题思路】利用复数的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【解答过程】(2+2i)(l-2i)=2+4—4i+2i=6-2i,

故选：D.

28.(2022•全国•高考真题)设(l+2i)a+b=2i,其中a,6为实数，贝U()

A.CL=l,b=-1B.a=l,b=1C.a=—l,b=1D.a=-l,b=-1

【解题思路】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.

【解答过程】因为a,beR,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得：a=l力=-l.

故选：A.

29.(2022•全国•高考真题)若z=1+i.贝!||iz+32|=()

A.4V5B.4V2C.2V5D.2V2

【解题思路】根据复数代数形式的运算法则，共轨复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.

【解答过程】因为z=l+i,所以iz+32=i(l+i)+3(l—i)=2-2i,所以|iz+32|="Tl=2&.

故选：D.

30.(2022・全国•高考真题)若z=-l+Bi,则言=()

A.-1+B.-1—V^iC.—~D.---

【解题思路】由共朝复数的概念及复数的运算即可得解.

【解答过程】z=-1-V3i,zz=(-1+V3i)(-1-V3i)=1+3=4.

z-1+V3i1V3

---------------------=-------1-----i

zz-1333

故选：C.

31.(2022•北京•高考真题)若复数z满足i-z=3-4i,贝加z|=()

A.1B.5C.7D.25

【解题思路】利用复数四则运算，先求出z,再计算复数的模.

【解答过程】由题意有z=V=9清0=一4一3i，故|z|=J(-4)2+(—3)2=5.

故选：B.

32.(2022•全国•高考真题)若i(l—z)=l,贝!]z+2=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解题思路】利用复数的除法可求z,从而可求z+之

【解答过程】由题设有l-z=：=\=T,故z=l+i,故z+2=(1+i)+(1-i)=2,

故选：D.

二、填空题

33.(2024•上海•高考真题)已知=(2,5)3=(6,£),且切/反则k的值为15.

【解题思路】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【解答过程】〃氏:2卜=5*6,解得k=15.

故答案为：15.

34.(2024•天津•高考真题)在边长为1的正方形48C。中，点E为线段CD的三等分点，CE=^DE^BE=ABA

+HBC,贝/+〃=_/_；尸为线段BE上的动点，G为4F中点，则而•丽的最小值为—二击

O

【解题思路】解法一：以｛瓦5,近｝为基底向量，根据向量的线性运算求而，即可得4+4,设方=k就，求

AF^DG,结合数量积的运算律求方•赤的最小值;解法二:建系标点,根据向量的坐标运算求战,即可得4+%

设F(a,-3a),ae[-，o],求而而，结合数量积的坐标运算求加•丽的最小值.

【解答过程】解法一：因为CE=#>E,即CE=3B4则前=丽+无=颉1+而，

14

可得；1=W，〃=1,所以;1+〃=]；

由题意可知：\BC\=\BA\=-BC=0,

因为F为线段BE上的动点，设丽==瓦l+k阮,ke[0,1],

则方=AB+~BF=AB+kBE=+kBC,

又因为G为2F中点，则而^DA+AG=-BC+冠=+Qk-l)BC,

可得而.而=[(gk—l)耐+k园.[|(|fc-l)E4+(|fc-l)Bc]

1

X—T)+碓1"1

22

又因为ke[0,1],可知：当k=l时，赤,而取到最小值—电

解法二：以2为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示,

则处一1,0)凤0,0),C(0,l)刀(-(-Q),

可得瓦？=(—1,0),阮=(0,1),旗=*,1）

匕「,所以

因为说=4瓦？+四就=（—九〃），则

因为点尸在线段=-3%%€[-|,o]±,设尸（见一3@）“[-1,o],

且G为4F中点，则G（?,—|a）,

可得4尸=(a+1,—3a),DG=，—ga—1),

则赤•丽=焙尘+（-3a）（-la-l)=5(a+^22__3_

25.~10

且ae[*,o],所以当a=-g时，赤•而取到最小值为T；

故答案为：P一焉

D1O

2

35.（2024・上海•高考真题）已知虚数z,其实部为1,且z+w=rn（m6R）,则实数加为2.

【解题思路】设z=l+bi,bel<abK0,直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.

【解答过程】设z=1+历，且bHO.

则z+|=l+bi+岩=(鬻)

*1>=皿

=m

vm6/?,・•:跌=0,解得6=2,

l+b2

故答案为：2.

36.（2024•天津•高考真题）已知i是虚数单位，复数（遍+i）•（遥-2i）=_Z^VIi_.

【解题思路】借助复数的乘法运算法则计算即可得.

【解答过程】（V5+i）,（V5-2i）=5+V5i_2V5i+2=7—y/^i.

故答案为：7—\/5i.

37.（2023•全国•高考真题）已知向量五，区满足忖一亩=71，忖+同=|2花一同，则同=W.

【解题思路】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令之=之一刃，结合数量积的运

算律运算求解.

【解答过程】法一：因为|五+山=|2»矶即Q+#2=（22—行广

则次+23-&+fa2=4a2—4a-b+片，整理得五2—2五•d=0,

又因为|五一刃|=市,即(五一行)2=3,

则五2—22・1+『=『=3,所以国=遮.

法二：设工=a—b,则©=V3,H+b=c+2b,2a—b=2c+6,

由题意可得：(c+2b)2=(2c+另)2,则工2+4苒.石+4石2=4c2+4c-b+fa2,

整理得：c2=b,Bp|h|=\c\=V3.

故答案为：V3.

38.（2023・天津•高考真题）已知i是虚数单位，化简黄的结果为_4±L

【解题思路】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2-3"然后计算其运算结果即可.

【解答过程】由题意可得数1(5114i)(2-3D=52113i=

(2+3i)(2-3i)13

故答案为：4+i.

3%（2022・天津・高考真题）在△4BC中，n=方,诙=瓦。是/C中点，CB=2BE,试用d石表示历为一|

上争_，若布，炭，则乙4cB的最大值为，.

【解题思路】法一:根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出赤,以近㈤为基底，表示出