专题14指数函数

辅导专题十四指数函数A版(基础版)一、知识结构一、知识结构二、知识扫描及例题二、知识扫描及例题【一】指数函数的概念一般地，形如函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.【例如：指数函数，；注意与，的区别】【温馨提醒】(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数．②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．【例1】下列说法正确的是（）A．y＝(x>0)是指数函数B．y＝(a>0且a≠1)是指数函数C．是指数函数D．y＝是指数函数【答案】C【例2】若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则()A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a>0且a≠1【解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1，,a>0且a≠1，))解得a＝2.[答案]C【练习1】下列各函数中，是指数函数的是()A．y＝B．y＝－C．y＝D．y＝【答案】D【练习2】若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A．a>0且a≠1B．a≥0且a≠1C．a>eq\f(1,2)且a≠1D．a≥eq\f(1,2)【答案】C【二】指数函数的图象和性质1.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质：a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数2.底对图像的影响(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．(2)指数函数y＝ax与y＝(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．【例3】（解析式问题）已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．【解析】设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝.【练习3】已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值．【解析】由指数函数的定义可知2b－3＝1，即b＝2.将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.【练习4】已知指数函数y＝(m2+2m－2)ax＋m－1经过点(1,2)，求a，m的值．【解析】由指数函数的定义可知，解得m＝1.将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.【例4】定义域、值域问题求下列函数的定义域、值域．(1)y＝eq\f(3x,1＋3x)；(2)y＝4x－2x＋1;(3)y＝eq\r(32－2x)【解析】什么是复合函数？若y是u的函数,而u又是x的函数,即,y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=f(g(x))叫做函数f和g的复合函数,u叫做中间变量.例如，，。(1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1)．∵y＝eq\f(1＋3x－1,1＋3x)＝1－eq\f(1,1＋3x)，又∵3x>0,1＋3x>1，∴0<eq\f(1,1＋3x)<1，∴－1<－eq\f(1,1＋3x)<0，∴0<1－eq\f(1,1＋3x)<1，∴值域为(0,1)．(2)函数的定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)，∵2x>0，∴2x＝eq\f(1,2)，即x＝－1时，y取最小值eq\f(3,4)，同时y可以取一切大于eq\f(3,4)的实数，∴值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).（3）定义域为(－∞，5]，值域为[0，32）由32－2x≥0，得2x≤25，∴x≤5，所以定义域为(－∞，5]又eq\r(32－2x)，∴值域为[0，）【练习5】求下列函数的定义域与值域．(1)y＝；(2)y＝eq\f(ax－1,ax＋1)(a>0，且a≠1)．(3)【解析】(1)∵1－≥0，∴≤1，解得x≥0，∴原函数的定义域为[0，＋∞)．令t＝1－(x≥0)，则0≤t<1，∴0≤eq\r(t)<1，∴原函数的值域为[0,1)(2)原函数的定义域为R.方法一设ax＝t，则t∈(0，＋∞)，y＝eq\f(t－1,t＋1)＝eq\f(t＋1－2,t＋1)＝1－eq\f(2,t＋1).∵t>0，∴t＋1>1，∴0<eq\f(1,t＋1)<1，∴－2<eq\f(－2,t＋1)<0，∴－1<1－eq\f(2,t＋1)<1.即原函数的值域为(－1,1)．方法二由y＝eq\f(ax－1,ax＋1)(a>0，且a≠1)，得ax＝－eq\f(y＋1,y－1).∵ax>0，∴－eq\f(y＋1,y－1)>0，∴－1<y<1.∴原函数的值域是(－1,1)．（3），设,则，即，所以或，即，即，所以,定义域为(1，＋∞);,值域为(0，＋∞);【例5】求函数y＝eq\r(32x－1－\f(1,9))的定义域、值域．【解析】要使函数有意义，则x应满足32x－1－eq\f(1,9)≥0，即32x－1≥3－2.∵y＝3x在R上是增函数，∴2x－1≥－2，解得x≥－eq\f(1,2).故所求函数的定义域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))时，32x－1∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，＋∞)).∴32x－1－eq\f(1,9)∈[0，＋∞)．∴原函数的值域为[0，＋∞)．【练习6】求下列函数的定义域、值域：【解析】(1)由x－1≠0得x≠1，所以函数定义域为{x|x≠1}．由eq\f(1,x－1)≠0得y≠1，所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．(2)由5x－1≥0得x≥eq\f(1,5)，所以函数定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,5))))).由eq\r(5x－1)≥0得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}．【例6】图像问题在如图所示的图象中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝的图象可能是()【解析】根据图中二次函数图象可知c＝0，∴二次函数y＝ax2＋bx，∵eq\f(b,a)>0，∴二次函数的对称轴为x＝－eq\f(b,2a)<0，排除B，D.对于A，C，都有0<eq\f(b,a)<1，∴－eq\f(1,2)<－eq\f(b,2a)<0，C不符合．故选A.【训练7】函数y＝ax－a(a>0且a≠1)的大致图象可能是()【解析】如果函数的图象是A，那么由1－a＝1，得a＝0，这与a>0且a≠1相矛盾，故A不可能；如果函数的图象是B，那么由a1－a<0，得0<0，这是不可能的，故B不可能；如果函数的图象是C，那么由0<1－a<1，得0<a<1，且a1－a＝0，故C可能；如果函数的图象是D，那么由a1－a<0，得0<0，这是不可能的，故D不可能．答案C【训练8】已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是()A．(－1,5)B．(－1,4)C．(0,4)D．(4,0)【解析】当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1为常数，此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．故选A【例7】若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．【解析】y＝|2x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2x，x<0，,2x－1，x≥0，))图象如下：由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，需0<2a<1，即0<a<eq\f(1,2).【训练9】函数y＝a|x|(a>1)的图象是()【解析】函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.【三】指数型函数的单调性（简单复合函数）一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．函数单调性↗↗↗单调性↗↘↘单调性↘↘↗单调性↘↗↘【例如】↗，↘，则↘【例8】(1)求函数的单调区间；(2)求函数y＝－8·＋17的单调区间．【解析】(1)函数的定义域为R.在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数，∴在(－∞，3]上是增函数．在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数，∴在[3，＋∞)上是减函数．∴的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)．(2)函数y＝－8·＋17的定义域为R.设t＝>0，又y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，令≤4，得x≥－2，∴当－2≤x1<x2时，即4≥t1>t2，∴teq\o\al(2,1)－8t1＋17<teq\o\al(2,2)－8t2＋17.∴y＝－8·＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．同理可得减区间是(－∞，－2]．【练习11】函数f(x)＝的单调递减区间是________．【解析】函数由f(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))t，t(x)＝x2－4x－5复合而成，其中f(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))t是减函数，t(x)＝x2－4x－5在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为(2，＋∞)．【练习12】若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝eq\f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]【解析】由f(1)＝eq\f(1,9)得a2＝eq\f(1,9)，所以a＝eq\f(1,3)(a＝－eq\f(1,3)舍去)，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.【四】解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．【例9】（解指数方程）解下列方程．(1)81×32x＝；(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.【解析】(1)∵81×32x＝，∴32x＋4＝3－2(x＋2)，∴2x＋4＝－2(x＋2)，∴x＝－2.(2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，解得t＝eq\f(1,4)或t＝－1(舍去)．∴2x＝eq\f(1,4)，解得x＝－2.[反思](1)af(x)＝b型通常化为同底来解．(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．【练习13】解下列方程．(1)33x－2＝81；(2)eq\r(5x)＝eq\r(3,25)；(3)52x－6×5x＋5＝0.【解析】(1)∵81＝34，∴33x－2＝34，∴3x－2＝4，解得x＝2.(2)∵eq\r(5x)＝eq\r(3,25)，∴eq\f(x,2)＝eq\f(2,3)，解得x＝eq\f(4,3).(3)令t＝5x，则t>0，原方程可化为t2－6t＋5＝0，解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，∴x＝1或x＝0.【例10】（不等式问题）解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．【解析】（1）①当0<a<1时，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}；当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}．【反思】解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．【练习14】设0＜a＜1，则关于x的不等式的解集为________．【解析】∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，又∵，∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.【练习15】已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．【解析】∵a2＋a＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)>1，∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x⇔x>1－x⇔x>eq\f(1,2).∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).【五】比较大小当a＞1时，y＝ax在R上为增函数，所以当0＜a＜1时，y＝ax在R上为减函数，所以【温馨提醒】一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断【例11】比较下列各题中两个值的大小．(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；(3)1.70.3,0.83.1.【解析】(1)∵1.7＞1，∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方．而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.方法二∵1.50.3＞0，且eq\f(1.70.3,1.50.3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.7,1.5)))0.3，又eq\f(1.7,1.5)＞1,0.3＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.7,1.5)))0.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3.(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，∴1.70.3＞0.83.1.【反思】当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.【练习16】比较下列各题中的两个值的大小．(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π，1；(3)0.2－3，(－3)0.2.【解析】(1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵0＜eq\f(1,π)＜1，∴函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))x在R上是减函数．又∵－π＜0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))0＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π＞1.(3)0.2－3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,10)))－3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))－3＝53，【练习17】设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5，则()A．y3>y1>y2B．y2>y1>y3C．y1>y2>y3D．y1>y3>y2【解析】40.9＝21.8,80.48＝21.44，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5＝21.5，根据y＝2x在R上是增函数，得21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2，故选D.【例12】设x<0，且1<bx<ax，则()A．0<b<a<1B．0<a<b<1C．1<b<aD．1<a<b（2）∵1<bx<ax，x<0，∴0<a<1,0<b<1.当x＝－1时，eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，即b>a，∴0<a<b<1.【练习18】设f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且当x>2时，f(x)是增函数，则a＝f(1.10.9)，b＝f(0.91.1)，c＝f(2)的大小关系是________．(按由大到小排列)【解析】∵f(x)＝f(4－x)，∴f(x)关于x＝2对称．又∵f(x)在(2，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，2)上是减函数．又∵1.10.9>1,0<0.91.1<1，∴0.91.1<1.10.9<2，∴f(0.91.1)>f(1.10.9)>f(2)，即b>a>c.【练习19】指数函数的图像如图所示，则之间的大小关系是.【解析】b<a<1<d<c反思反思【不同底指数函数图象的相对位置】一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．(2)指数函数y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．【六】综合应用【例13】碳的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳的“半衰期”是年，即碳大约每经过年就衰变为原来的一半.科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳.动植物在生长过程中衰变的碳，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳就按其确定的规律衰变.经探测，一块鸟化石中碳的残留量约为原始含量的.设这只鸟是距探测时年前死亡的，则满足的等式为__________.【分析】列出等式，两边取自然对数即可求求解.【解析】根据题意可知鸟化石中碳的残留量与死亡年数的函数关系式为，故有等式，两边取自然对数解得，故答案为：【例14】有关部门计划于2019年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问：该市在2025年应投入多少辆电力型公交车？【分析】根据题意一次列出各年的投入量，归纳总结即可得到结果.【解析】由题意知在2020年应投人电力型公交车的数量为辆，在2021年应投入的数量为辆，…据此归纳可得，在2025年应投入电力型公交车的数量为辆，即（辆）.故该市在2025年应投入1458辆电力型公交车.【七】复合函数问题（补充整理）1.【复合函数的定义】若y是u的函数,而u又是x的函数,即,y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=f(g(x))叫做函数f和g的复合函数,u叫做中间变量.【例如】①，，②，，2.【简单复合函数的定义域问题】y=f(x)、y=g(x)的定义域与复合函数y=f(g(x))的定义域有什么关系？（讨论范围较大，这仅简单讨论）【注意】若y=f(u)定义域为A,u=g(x)值域为B,则必须满足BA3.【简单复合函数单调性问题】函数单调性↗↗↗单调性↗↘↘单调性↘↘↗单调性↘↗↘【例1】函数的定义域为___________,则f(x+1)的定义域为___________.【解析】，定义域为定义域为观察：定义域与定义域是什么关系？【练习1】f(x)＝的定义域为,则的定义域为.(1)∵1－≥0，∴≤1，解得x≥0，∴f(x)的定义域为[0，＋∞)．法一：∵1－≥0，∴≤1，解得2x+1≥0，∴f(x)的定义域为[，＋∞)．法二;因为f(x)的定义域为[0，＋∞)，∴中2x+1≥0，∴f(x)的定义域为[，＋∞)【练习2】函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，则函数y＝f()的定义域是.【解析】y＝f(x)的定义域是[0，＋∞）,所以，即，即，y＝f()的定义域是.【例2】已知的定义域是，则的定义域为.【解析】的定义域是，即，所以的定义域是.【练习3】已知的定义域是，则的定义域为.【解析】的定义域是，即，，即。的定义域是.【例3】(1)求函数的单调区间；(2)求函数y＝－8·＋17的单调区间．(注：本题在知识十五，指数型函数的单调性已讨论过)【解析】(1)函数的定义域为R，在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数，∴在(－∞，3]上是增函数．在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数，∴在[3，＋∞)上是减函数．∴的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)．(2)函数y＝－8·＋17的定义域为R.设t＝>0，又y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，令≤4，得x≥－2，∴当－2≤x1<x2时，即4≥t1>t2，∴teq\o\al(2,1)－8t1＋17<teq\o\al(2,2)－8t2＋17.∴y＝－8·＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．同理可得减区间是(－∞，－2]．三、易错点分析三、易错点分析易错一根式的概念例题1.解不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1≤2；(2)已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，a≠1)，求x的取值范围．【解析】(1)∵2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1，∴原不等式可以转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}．(2)分情况讨论：①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，根据相应二次函数的图象可得－1<x<5.综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>5；当a>1时，－1<x<5.错误区警示解指数不等式，两边化成同底数的幂，利用指数函数的单调性解不等式即可，单调性不确定的要分类讨论。这里容易忽略底a的范围.四、课后自我检测四、课后自我检测一、单选题1．下列函数中指数函数的个数是（）①②③④（为常数，，）⑤⑥⑦A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的定义(只有形如的函数才是指数函数)，对每个选项进行逐一分析即可.对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；对②：其指数为，不是，故不是指数函数；对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数；对⑤：是幂函数，不是指数函数；对⑥：指数式的系数为1，不是1，故不是指数函数；对⑦：指数的底数为4，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；综上，是指数函数的只有③④，故选：B.2．设且则函数与在同一坐标系中的图象可能是（）ABCD【答案】C【解析】根据两个图像得的范围，看能否统一即可.解：对A，中的，中的，不能统一，错误；对B，中的，中的，不能统一，错误；对C，中的，中的，正确；对D，中的，中的，不能统一，错误；故选：C.3．已知函数，且函数图像不经过第一象限，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数为减函数，且图像不经过第一象限,,即,故选C.4．如图①,②,③,④,根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为（）A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c【答案】B【解析】

由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b），（1，a），（1，d），（1，c）

故有b＜a＜1＜d＜c

故选B点睛：区别指数函数图象时，只需做出直线x=1与图像的交点，即可区别，可总结为，在第一象限内，指数函数的图象越高，底数越大，简称“底大图高”.5．设函数的定义域A，函数的值域为B，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据二次根式的性质求出，再结合指数函数的性质求出，取交集即可．由题意，即解得：，而单调递增，故值域：，，故选：．6．函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：令，则，而，所以.故选B.考点：函数的性质.【方法点睛】求函数值域的常用方法有：基本函数法、配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等，无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域；求函数的定义域就是使函数的表达式有意义得自变量的取值集合，可根据函数解析式有意义列出不等式（组）解之即得函数定义域.本题是求复合函数的值域，先通过换元将函数转化为指数函数，再根据单调性求解.属于基础题.二、多选题7．若函数（，且）是指数函数，则下列说法正确的是（）A． B． C． D． E.【答案】AC【解析】【分析】首先根据题意求出参数，即可求出函数的表达式，进而可得出结果.【详解】因为函数是指数函数，所以，所以，所以，所以，，，故B、D、E错误，A、C正确.故选：AC【点睛】本题考查了指数函数的定义，掌握指数函数的定义是关键，属于基础题.三、填空题8．已知点，均在指数函数的图象上，则m的值为_________.【答案】2【解析】【分析】由点坐标求出指数函数解析式，将点坐标代入解析式，即可求解.【详解】设所求的指数函数为，在指数函数图像上，，代入解析式得.故答案为:2.9．函数过定点________.【答案】【解析】【分析】令，，与参数无关，即可得到定点.【详解】由指数函数的性质，可得，函数值与参数无关，所有过定点.故答案为：【点睛】此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.10．函数y=的定义域是______．【答案】[0，+∞）【解析】由题意可得，解不等式可得所以函数的定义域是，故答案为：11．若函数是定义域为的偶函数，则函数的单调递减区间是．【答案】【解析】由已知有a=0,从而，由复合函数的单调性可知函数的单调递减区间是；故答案为考点：1．函数的奇偶性；2．复合函数的单调性．12．已知a＝0.32，b＝0.30.2，c＝1，a，b，c的大小关系是_____（用“＞”连接）.【答案】c>b>a【解析】为单调递减函数，且，故c>b>a,故答案为：c>b>a13．用“>”联接下列各数，，______【答案】【解析】因为是上的减函数，所以，又，，所以.故答案为:14．函数的值域是_______.【答案】【解析】当时，当时，,的值域为.故答案为:15．函数的单调递增区间为_________．【答案】【解析】函数在上递减，函数的对称轴是，且在上递增，在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知：函数的单调递增区间为.故填：.四、解答题16．已知函数（1）作出其图象；（2）由图象指出单调区间；（3）由图象指出当取何值时函数有最小值，最小值为多少？【解析】【分析】（1）将函数的解析式表示为分段函数的形式，由此可作出函数的图象；（2）根据函数的图象可得出该函数的单调减