2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区励才实验学校八年级（上）竞赛数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区励才实验学校八年级（上）竞赛数学试卷一、选择题（24分）1．（4分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm2．（4分）化简（a﹣1）•的结果是（）A． B． C．﹣ D．﹣3．（4分）已知如图，长方形ABCD，AB＝8，若将长方形顶点A、C重合折叠起来，则折痕PQ长为（）A． B．7 C．8 D．4．（4分）若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h（）A．ab＝h2 B． C． D．a2+b2＝2h25．（4分）a、b、c是三个大于3的质数，则下列判断中一定正确的是（）A．a+b+c是偶数 B．a2+b2+c2是偶数 C．a+b+c是3的倍数 D．a2+b2+c2是的倍数6．（4分）设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则＝（）A．132 B．146 C．161 D．666二、填空题（30分）7．（5分）在不大于100的正整数中，所有偶数的平方和比所有奇数的平方和大．8．（5分）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为15cm，AB＝7cm．9．（5分）若三个质数x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立或．10．（5分）如图，在钢架AB、AC中，从左至右顺次焊上6根相等长度的钢P1P2，P2P3、P3P4…来加固钢架，且AP1＝P1P2，则∠BAC的最大值为．11．（5分）如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为．12．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于．三、简答题（请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)13．（12分）若a、b均为整数，当时，代数x2+ax+b的值为0，求ab的算术平方根．14．（12分）已知实数a、b满足：，且|b|+b＞0，求的值．15．（12分）给定一个5×5方格网，规定如下操作：每次可以把某行（或列）中的连续3个小方格改变颜色（把白格变黑格，把黑格变白格），请问：能否经过8次这样的操作，使得5×5方格网恰好变为黑白相间（如图所示），请给出一种操作方案（直接画出第4，5，6，7次操作后的方格网颜色）；如果不能16．（12分）一筐苹果，若分给全班同学每人3个，则还剩下25个，其中5个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，问筐内最多共有多少个苹果．17．（12分）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，+＝2023，求×18．（16分）已知：△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，连接AE、CE，使∠BEC＝∠BAC．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，求证：AE+CE＝BE；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中结论是否成立？若成立；若不成立，请直接写出结论：；（3）如图3，在（2）的条件下，在BE上截取BF＝CE，点G在EF上，连接AG，∠BAG＝∠ACF，，求AG的长．19．（20分）背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，费马点P在△ABC内部，当∠APB＝∠APC＝∠CPB＝120°时（1）如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，为了解决本题，我们可以将△APB绕顶点A旋转到△ACP'处，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．（2）如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABB'，求证：CB'过△ABC的费马点．（3）如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点P为△ABC的费马点，求PA+PB+PC的值．

2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区励才实验学校八年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（24分）1．（4分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm．而2+3＜7，因而应舍去．当底边是2cm时，另两边长是5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．2．（4分）化简（a﹣1）•的结果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【解答】解：原式＝﹣＝﹣．故选：D．3．（4分）已知如图，长方形ABCD，AB＝8，若将长方形顶点A、C重合折叠起来，则折痕PQ长为（）A． B．7 C．8 D．【解答】解：如图，AC与PQ相交于点OAC＝，∵顶点A、C重合，∴AC与PQ相互垂直平分，∴∠POC＝90°，而∠D＝90°，∠OCP＝∠DCA，∴△POC∽△ADC，∴，即PO＝＝，得，因此．故选：A．4．（4分）若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h（）A．ab＝h2 B． C． D．a2+b2＝2h2【解答】解：∵ab＝∴h＝∴＝∴＝＝＝．故选：C．5．（4分）a、b、c是三个大于3的质数，则下列判断中一定正确的是（）A．a+b+c是偶数 B．a2+b2+c2是偶数 C．a+b+c是3的倍数 D．a2+b2+c2是的倍数【解答】解：∵a、b、c是三个大于3的质数，∴其和一定是奇数，它们的平分和也一定是奇数，∴A，B不符合题意；∵对于质数5，3，11，∴C不符合题意，故只能选D，事实上，非3的倍数的平分除以3余2，故三个大于3的质数的平方和必是3的倍数，故选：D．6．（4分）设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则＝（）A．132 B．146 C．161 D．666【解答】解：1.55＝2.25，可得出有2个加数为2；2.52＝6.25，可得出有4个加数为8；3.56＝12.25，可得出有6个加数为3；5.52＝20.25，可得出有6个加数为4；5.52＝30.25，可得出有10个加数为5；则剩余2个数全为6．故[]+[]+…+[．故选：B．二、填空题（30分）7．（5分）在不大于100的正整数中，所有偶数的平方和比所有奇数的平方和大5050．【解答】解：由题意，得1002﹣992+984﹣972+……+25﹣12．＝（100﹣99）（100+99）+（98﹣97）（98+97）+……+（4﹣3）（4+5）+（2﹣1）（3+1）＝199+195+191+……+7+6＝＝＝5050，∴所有偶数的平方和比所有奇数的平方和大5050．故答案为：5050．8．（5分）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为15cm，AB＝7cm或．【解答】解：当AB腰时，则底边＝15﹣2×7＝2cm；此时，优美比k＝；当AB为底边时，则腰为（15﹣7）÷2＝4cm；此时，优美比k＝；故答案为或．9．（5分）若三个质数x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立21或26．【解答】解：∵三个质数x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立，∴x，y，z中必有一个是11，则11yz＝11（11+y+z），即：y（z﹣1）＝11+z，∴y＝1+，∵y是质数，∴z﹣1＝1或4或3或4，∴z＝2或3或4或4，∵z是质数，∴z＝4不符合题意，舍去，当z＝2时，y＝13，∴x+y+z＝11+13+6＝26，当z＝3时，y＝7，∴x+y+z＝11+2+3＝21，当z＝5时，y＝5，舍去，即：x+y+z的值是21或26，故答案为：21，26．10．（5分）如图，在钢架AB、AC中，从左至右顺次焊上6根相等长度的钢P1P2，P2P3、P3P4…来加固钢架，且AP1＝P1P2，则∠BAC的最大值为12°．【解答】解：设∠BAC＝x，∵AP1＝P1P4＝P2P3＝…＝P6P7，∴∠A＝∠AP2P8＝x，∴∠P2P1P6＝2x，∴∠P3P4P4＝3x，…，∠P2P8P6＝5x，∴7x＜90°且8x≥90°，则11.25°≤∠BAC＜（，故∠BAC的最大值约为12°．故答案为：12°．11．（5分）如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为8．【解答】解：如图，连接OP，∵，且MN＝7，∴OH＝4，∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P5，∴∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，OP3＝OP＝OP2，∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP5＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝90°，∴△OP8P2的面积为，由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为OH＝6，∴△OP1P2的面积的最小值为，故答案为：8．12．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于12．【解答】解：过F作FN⊥AM于N，设EF与AM交于点K，∴∠FNA＝90°＝∠ABC，∴∠FAN+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠FAN，又∵AF＝AB，∴Rt△ANF≌Rt△BCA（HL），∴FN＝AC，同理可求Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝SRt△ABC．由Rt△NFK≌Rt△CAT可得：FK＝AT，∠FKN＝∠ATC，∴KE＝FT，∠FTP＝∠MKE，又∵∠FPT＝∠M＝90°，Rt△FPT≌Rt△EMK（AAS），∴S3＝S△FPT，同理可得Rt△AQF≌Rt△ACB，Rt△ABC≌Rt△EBD，∴S8+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC，∵Rt△ABC≌Rt△EBD，∴S4＝SRt△ABC，∴S4+S2+S3+S3＝（S1+S3）+S8+S4＝SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC＝SRt△ABC×3＝×2×5×3＝12．故答案为：12．三、简答题（请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)13．（12分）若a、b均为整数，当时，代数x2+ax+b的值为0，求ab的算术平方根．【解答】解：当x＝﹣1时4+ax+b的值为0，可得4﹣5+（，即（a﹣4），∵a，b均为整数，∴a﹣2＝5，4﹣a+b＝0，解得：a＝2，b＝﹣2，则ab＝2﹣3＝，∴ab的算术平方根为．14．（12分）已知实数a、b满足：，且|b|+b＞0，求的值．【解答】解：由题意，得a﹣2≥0，∴a≥3，a≤2，∴b2＝3，又∵|b|+b＞0，∴b＞0，∴b＝6，∴……+＝＝＝＝＝＝2024．15．（12分）给定一个5×5方格网，规定如下操作：每次可以把某行（或列）中的连续3个小方格改变颜色（把白格变黑格，把黑格变白格），请问：能否经过8次这样的操作，使得5×5方格网恰好变为黑白相间（如图所示），请给出一种操作方案（直接画出第4，5，6，7次操作后的方格网颜色）；如果不能【解答】解：可以，操作如下：（1）经过4次操作可染成如下：（2）继续操作，所以经过8次操作可以变成如图所示的图形．16．（12分）一筐苹果，若分给全班同学每人3个，则还剩下25个，其中5个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，问筐内最多共有多少个苹果．【解答】解：设全班共有x个同学，则苹果共有（3x+25）个，∵5个同学每人每天吃4个，其他同学每人每天吃2个，∴全班同学每天吃1×5+2（x﹣5）＝（3x﹣5）个，设全班同学恰好n天吃完，∴（2x﹣5）n＝3x+25，∴n＝＝+×，∵n为正整数，∴为奇数，∴要使x最大，则＝6，∴x＝35，∴筐内最多共有3x+25＝3×35+25＝130（个）苹果．答：筐内最多共有130个苹果．17．（12分）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，+＝2023，求×【解答】解：首先，×的和一定时，所以，×的乘积越大，验证E＝9，8时均无解，当E＝7时，＝1246，，此时符合题意且积最大，此时积为1246×777＝968142．∴×的最大值为968142．18．（16分）已知：△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，连接AE、CE，使∠BEC＝∠BAC．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，求证：AE+CE＝BE；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中结论是否成立？若成立；若不成立，请直接写出结论：；（3）如图3，在（2）的条件下，在BE上截取BF＝CE，点G在EF上，连接AG，∠BAG＝∠ACF，，求AG的长．【解答】（1）证明：在BE上截取BH＝CE，连接AH∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABH＝∠ACE，∵AB＝AC，BH＝CE，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，∴∠HAE＝∠HAC+∠CAE＝∠HAC+∠BAH＝∠BAC＝60°，∴△HAE为等边三角形，∴AE＝HE，∴BE＝BH+HE＝CE+AE，即AE+CE＝BE；（2）解：（1）中结论不成立；，理由如下：在BE上截取BH＝CE，连接AH∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABH＝∠ACE，∵AB＝AC，BH＝CE，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，∴∠HAE＝∠HAC+∠CAE＝∠HAC+∠BAH＝∠BAC＝90°，∴△HAE为等腰直角三角形，∴，∴，故答案为：；（3）解：连接AF，过点A作AM⊥EF于点M∵∠BEC＝∠BAC，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABF＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CE，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴∠BAF＝∠CAE，AF＝AE，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，∴△FAE为等腰直角三角形，∴，∵∠EAG＝75°，∴∠AGE＝180°﹣∠EAG﹣∠AEG＝60°，∴∠ABG＝∠ACE，∠BAG＝∠ACF，∴∠ABG+∠BAG＝∠ACE+∠ACF，即∠ABG+∠BAG＝∠FCE，∵∠ABG+∠BAG＝∠AGE＝60°，∴∠FCE＝60°，∵∠BFC＝∠BAC＝90°，∴∠EFC＝90°﹣60°＝30°，∴，∴，∵△FAE为等腰直角三角形，AM⊥EF，∴，∵∠AGM＝60°，∠AMG＝90°，∴∠GAM＝90°﹣60°＝30°，∴，∵AG2＝AM2+GM7，∴，解得：或（舍去），∴AG的长为．19．（20分）背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，费马点P在△ABC内部，当∠APB＝∠APC＝∠CPB＝120°时（1）如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，为了解决本题，我们可以将△APB绕顶点A旋转到△ACP'处，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝150°；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．（2）如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABB'，求证：CB'过△ABC的费马点．（3）如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点P为△ABC的费马点，求PA+PB+PC的值．【解答】（1）解：如图2中，连接PP′．∵点P到顶点A、B、C的距离分别为3、5、5，∴AP＝3，BP＝7，由旋转的性质得：△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3，CP′＝BP＝4，∠CAP′＝∠BAP，∴∠CAP′+∠PAC＝∠BAP+∠