2024-2025学年上海市复兴中学高一数学（上）10月考试卷附答案解析

-2025学年上海市复兴中学高一数学（上）10月考试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.2.已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）A. B.C. D.3.方程在区间和各有一个根的充要条件是（）A. B.C D.4.已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（）A.不存在有序数组，使得B.存在唯一有序数组，使得C有且只有两组有序数组，使得D.存在无穷多组有序数组，使得二、填空题：本题共10小题，共42分．5已知集合，，则______6.已知集合，，且，则的值为________.7.若，则实数______．8.命题“，若，则”用反证法证明时应假设为__________．9.若集合的子集只有两个，则实数______．10.设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是______11.设是方程的两个实数根，则=_____________12.设关于x的方程解集为M，关于x的不等式的解集为N，若集合，则________.13.集合任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为________．14.设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______.三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数a取值范围．16.⑴当时，求证：；⑵已知，．试证明至少有一个不小于．17.已知关于x的不等式的解集为M．（1）若，求x取值范围；（2）若，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有；对于任意负整数m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．18.记存在正整数n，且．若集合满足，则称集合A为“谐调集”．（1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”；（2）已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由；（3）若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合．2024-2025学年复兴中学高一数学（上）10月考试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A根据不等式的性质求解【详解】对于A.，，则，成立对于B.，，；对于C.，；对于D.若，则不成立故选A.2.已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，阴影部分表示的集合为，根据交集、并集、补集的定义计算可得；【详解】解：由，解得，所以，又，所以，，所以阴影部分表示的集合为，故选：C.3.方程在区间和各有一个根的充要条件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围.【详解】因为一元二次方程在区间和各有一个根，令，则由题意可得，即，解得，则方程在区间和各有一个根的充要条件是.故选：B.4.已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（）A.不存在有序数组，使得B.存在唯一有序数组，使得C.有且只有两组有序数组，使得D.存在无穷多组有序数组，使得【答案】D【解析】【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．【详解】由题意不等式的解集为，即的解集是，则不等式的解是或，不等式的解集是，设，，，所以，，和是方程的两根，则，，又，所以是一根，所以存在无数对，使得．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．二、填空题：本题共10小题，共42分．5.已知集合，，则______【答案】【解析】【分析】先解不等式，对集合A进行化简，再求出集合A的补集.【详解】即解得，故，又，所以.故答案为：6.已知集合，，且，则的值为________.【答案】【解析】【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可.【详解】解：因为，，，所以，解得，故答案为：0【点睛】本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.7.若，则实数______．【答案】【解析】【分析】根据元素与集合的关系求解，利用集合中元素的互异性验证．【详解】当时，，不满足元素的互异性，舍去.当时，解得或4，当时，不符合题意，当时，集合为，符合题意,所以．故答案为：．8.命题“，若，则”用反证法证明时应假设为__________．【答案】.【解析】【详解】分析：利用的否定为不都等于，从而可得结果.详解：考虑的否定，由于都等于，故否定为不都等于，故答案为或.点睛：反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．9.若集合的子集只有两个，则实数______．【答案】0或【解析】【分析】根据题意知道A有一个元素，然后讨论a是否为0，然后得出a的值即可．【详解】的子集只有两个，有一个元素，①时，，满足题意；②时，，解得，或．故答案为：0或．10.设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是______【答案】【解析】【分析】根据题意，由条件可得命题p是命题q的充分条件，列出不等式，即可得到结果.【详解】因为，则命题p是命题q的充分条件，则，解得，即实数a的取值范围是.故答案：11.设是方程的两个实数根，则=_____________【答案】2024【解析】【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求出，再将转化后求出．【详解】，是方程的两个根，，，又，，故答案为：202412.设关于x的方程解集为M，关于x的不等式的解集为N，若集合，则________.【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，结合绝对值的性质进行求解即可.【详解】由或，所以或，当时，由，可得，当时，由，可得，因此有，当时，；当时，，故答案为：13.集合任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为________．【答案】7【解析】【分析】假设且集合有4个正项，结合已知条件得到矛盾，即可确定集合中正项的个数，同理推出负项个数，即可确定的最大值.【详解】不妨假设若集合中的正数个数大于等于，故为正项，则和均大于于是有从而矛盾！所以集合中至多有3个正数，同理集合中最多有个负数，取满足题意，所以的最大值为．故答案为：714.设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，确定m的最小值，再由函数不等式有解得当时不等式组有解，当时不等式组无解，求出a的范围作答.【详解】依题意，，由不等式有解知，，而，因此，因存在唯一m使得关于x的不等式组有解，则当且仅当时，不等式组有解，且当时不等式组无解，由有解得有解，于是得，解得，由无解得无解，于是得，解得，因此，所以a的取值范围是.故答案为：【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，若，使得成立，则；若，使得成立，则.三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解；（2）即，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.【小问1详解】若，由，解得，则，又，即等价于，解得，则，.【小问2详解】由等价于，当时，集合，符合；当时，由，解得，即，又，，解得，综上，实数的取值范围是.16.⑴当时，求证：；⑵已知，．试证明至少有一个不小于．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【详解】试题分析：⑴由，当时，可得，即可证明结论；⑵可用反证法：假设都小于，即，可得，进而，即可得到矛盾，即可作出证明．试题解析：⑴∵x>1∴∴⑵假设a,b,c都小于，即则有①而②①与②矛盾故a,b,c至少有一个不小于．17.已知关于x的不等式的解集为M．（1）若，求x的取值范围；（2）若，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有；对于任意负整数m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）直接求解不等式，即可得到结果.（2）讨论二次项系数及不为0时，求出原不等式的解集为时的取值范围．（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可．【小问1详解】当时，不等式为，即，解得，即x的取值范围为.【小问2详解】当时，解得，或，①当时，不等式化为，时，解集为；②当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立；③当时，可得，则k的取值范围为；综上所述，实数k的取值范围为.【小问3详解】根据题意，得出解集，，当时，解得，或，时，不等式的解集为，满足条件，时，恒成立，不满足条件，当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，综上，存在满足条件的值为5．18.记存在正整数n，且．若集合满足，则称集合A为“谐调集”．（1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”；（2）已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由；（3）若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合．【答案】（1）E不是，F是（2）不存在，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）根据新定义计算即可判断；（2）若存在符合题意实数z，根据题意可得的关系式，求解后，检验，即可判断；（3）不妨设A中所有元素满足，从而可得，进而可得，再分三种情况求解即可．【小问1详解】∵，∴E不是“谐调集”，∵，∴F是“谐调集”.【小问2详解】若存在符合题意的实数z，则，∴，即，解得或或，当时，则，不符合题意.当时，，由此，x、y是方程的实数解．但，方程无实数解，所以不符合题意.同理，当时，不符合题意，综上，不存在符合题意的实数.【小问3详解】不妨设A中所有元素满足，则，于是，