广东省东莞市沙田瑞风实验学校2024-2025学年上学期九年级数学期中考试卷（含答案）

广东省东莞市沙田瑞风实验学校2024-2025学年度第一学期九年级数学期中考试卷一、选择题(10小题,每道小题3分,共30分）1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x−1=0 B．x3+x=3 C．x22．用配方法解方程x2A．(x−2)2=1 B．(x+2)2=13．若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0A．k⩾−1且k≠0 B．k⩾−1C．k>−1 D．k>−1且k≠04．如图，某小区有一块长为18米、宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分)，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行通道的宽度为x米，则下列所列方程正确的是()A．(18−2x)(6−2x)=60 B．(18−3x)(6−x)=60C．(18−2x)(6−x)=60 D．(18−3x)(6−2x)=605．抛物线y＝x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±16．平面直角坐标系内一点P（－2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，2） B．（－2，－3）C．（2，－3） D．（2，3）7．为丰富乡村文本生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（）A．12x(x−1)=28 C．x(x−1)=28 D．x(x+1)=288．把抛物线y=5xA．y=5(x−2)C．y=5(x+2)9．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2A．11 B．11或12 C．12 D．1010．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，直线x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b+c＝﹣9a，④若（﹣3，y1），（32，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④二、填空题（本大题共计5小题，每小题3分，共计15分）11．关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根为2，则另一个根是12．若抛物线y=x2−x+k13．如果一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=−2x2+2相同，且顶点坐标是(414．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是S=−0.15．如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②∠AOB=150°；③S△AOC+S△AOB=6+943三、解答题（一）（本大题共3小题，共21分）16．解方程：x2+2x−3=017．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=118．如图，依靠一面长18米的墙，用38米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，设AD长为x米．（1）用含有x的代数式表示AB的长，并直接写出x的取值范围；（2）当矩形场地的面积为180平方米时，求AD的长．四、解答题（二）（本大题共3小题，共29分）19．如图，在⊙O中，CP=2，PD=6，AP=5，弦CD⊥AB，垂足为点P，求OP的长度．20．已知抛物线：y=（1）求证：无论m为何值，与x轴总有两个不同的交点A，B．（2）若(xA−1)(（3）若OA=3OB，请直接写出m的值．21．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）五、解答题（二）（本大题共2小题，共27分）22．如图，抛物线y=ax2+bx+c（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+223．【阅读理解】六中初三数学学习小组，在做《圆》的课题学习探究时发现：三角形有五心：重心、外心、内心、垂心、旁心，其中的外心、内心、旁心是我们现在学习的《圆》的“心”．而找“心”所用的工具“垂直平分线”和“角平分线”是8年级学习内容．小组同学做了以下摘要记录重心：三角形三条中线的交点叫做三角形重心，它是力的平衡点，重心是中线的三等分点．外心：三角形外接圆的圆心，外心为三角形三边的垂直平分线的交点，外心到三顶点距离相等．内心：三角形内切圆的圆心，内心为三角形三条内角平分线的交点，内心到三角形三边距离相等．【实践探究】（1）已知△ABC中，AB=20，AC=13，BC=21①作出△ABC的角平分线交点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；过O作OM⊥BC，垂足为M（不需尺规作图）；以O为圆心，OM为半径作出△ABC的内切圆②求出△ABC的面积．③求出内切圆⊙O的半径R的长度．（2）已知△ABC中，AB=25，AC=42，①作出△ABC的三边垂直平分线的交点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；连接AO；以O为圆心，AO为半径作出△ABC的外接圆②以B为原点，BC所在的直线为x轴（点C在点B右方）建立直角坐标系，求点A坐标．③求出外接圆⊙O的半径R的长度．

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】-312．【答案】113．【答案】y=−214．【答案】1615．【答案】①②③16．【答案】解：a=1，b=2，c=−3，△=bx=−2±4所以x1=117．【答案】解：∵二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=1∴−解得b=−2c=−3∴二次函数的解析式为y=x∵y=x∴抛物线顶点坐标为（1，-4）18．【答案】（1）解：∵AD=x，∴BC=x，AB=38−AD−BC=38−2x．又∵墙长18米，∴38−2x>0∴10≤x<19．∴AB=38−2x(（2）解：依题意得：x(38−2x)=180，整理得：x2解得：x1=9(不合题意，舍去)答：AD的长为10米．19．【答案】解∶过O作OE⊥CD于点E，过O作OF⊥AB于点F，连接OA，OD，又CD⊥AB，∴四边形OEPF是矩形，∴PF=OE，OF=PE，∵CP=2，PD=6，∴CD=CP+DP=8，∵CD⊥OE，∴DE=1∴OF=PE=PD−DE=2，设OE=x，则PF=x，AF=5−x，在Rt△AOF中，AF在Rt△DOE中，OE又OA=OD，∴AF2+O解得x=13在Rt△POE中，OP=O20．【答案】（1）证明：∵Δ=(−2m)∴无论m为何值，与x轴总有两个不同的交点A，B；（2）解：令y=0，则x2∴[x−(m+4)∴x−(m+4)=0或x−(m−4)=0，∴x=m+4或x=m−4，不妨设xA=m+4，∵(x∴(m+4−1)(m−4−1)=9，解得m1=−4，∴m的值为-4或6；（3）解：m为±8或±221．【答案】（1）解：y=(x−50)(50+5×=−5（2）解：∵企业每天的总成本不超过7000元，∴50(50+5×100−x∴x≥82，y=−5x∵抛物线的对称轴为x=80且a=−5<0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．∴当x=82时，y有最大，最大值=4480，即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．22．【答案】（1）解：∵A(3，0)，OA=3OB∴OA=3，OB=1∴B(−1，0)∴设抛物线的交点式为y=a(x+1)(x−3)，将C(0，3)代入得3=a⋅1⋅(−3)，解得a=−1∴y=−1(x+1)(x−3)=−x即该抛物线的函数关系式为y=−x（2）解：作PD⊥x轴，与线段AC相交于D.设直线AC：y=kx+d将C(0，3)，A(3，0)分别代入得3=d0=3k+d，解得d=3所以y=-x+3.设P(n，−n2+2n+3)，则设△DCP以PD为底时高为h1，△DAP以PD为底时高为h2，则SΔAPC=SΔDPC+SΔDPA=1故△ACP的面积的最大值为278，此时P(−（3）解：存在，如下图，作以CM为斜边的等腰三角形，它的直角顶点为第一象限内的N点，∵△MCN为等腰直角三角形，∴MN=22MC，即要使BM+2设M(0，m)则MC=3−m，EM=EN=3−m2∴B当m=−1−2×12=1当M(0，1)时，BM+22CM23．【答案】（1）解：①如图所示，即为所求，；②过A作AE⊥BC于E，∴AB由AB=20，AC=13，BC=21，∴20∴BE=16，∴AE=A∴S△ABC③连接AO，过O作OF⊥AB于F，OH⊥AC于H，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AB，BC，AC是⊙O的切线，∴OM=OF=OH，∵S△ABC∴12即