人教版高中数学选择性必修第一册 空间向量的数量积运算 同步训练

人教版高中数学选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算精讲精练同步训练

【考点梳理】

考点一空间向量的夹角

1.定义：已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作G=a,OB=b,则NA02叫做

向量a,》的夹角，记作〈a,b).

2.范围：OW〈a,b)W%.,当〈a,b)=鄂寸，a-LZ>.

考点二空间向量的数量积

已知两个非零向量〃，b,则|a||5|cos〈a,b)叫做a,8的数量积，记作。山.

定义即a山=|〃||例cos〈a,b〉.

规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

①仍=0

性质

②0〃=/=|0|2

①(脑)仍=2(〃6),2£R.

运算律②。仍(交换律).

③a・S+c)=a•5+a・c(分配律).

考点三向量a的投影

1.如图(1),在空间，向量a向向量，投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移

到同一个平面a内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量B共线的向量c,c=|a|cos〈a,

b)由，向量c称为向量a在向量》上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线/投影(如

图⑵).

2.如图(3),向量“向平面夕投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面乃的垂线，

垂足分别为A',B',得到彳―，向量NF称为向量a在平面£上的投影向量.这时,

向量a,A'B'的夹角就是向量。所在直线与平面//所成的角.

(1)⑵(3)

【题型归纳】

题型一：空间向量的数量积的运算

1.已知空间中非零向量Z，b，且同=2,M=3,＜痴＞=60°,贝U忸-3勾的值为（）.

A.9B.97C.屈D.61

2.平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）43。-A⑸G，中，

ZAiAB=AD=ABAD=60°,AB=AD=1,AQ=711,则A4=（）

A.1B.夜C.2D.4

-TT

3.在底面是正方形的四棱柱ABCO-AAG。中，AB=l,BB,=2,ZAiAD=ZAlAB=-,

।UUIT|

则Rc卜（）

A.72B.710C.y/3D.2

题型二：空间向量的数量积的应用（夹角和模）

TT

4.如图所示，空间四边形Q4BC中，OB=OC,ZAOB=ZAOC=-,贝hosvC?，BC＞

的值是（）

A.0B.JC.BD.正

222

5.已知同=4,空间向量々为单位向量，（a,e）=^~,则空间向量4在向量Z方向上的投影

的数量为（）

A.2B.—2C.—D.—

22

6.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，S.AB=AP=6,AD=2,

ZBAD^ZBAP^ZDAP^60°,E,F分别为PB,PC上的点，且苑=2丽，PF=FC

C.2D.瓜

【双基达标】

一、单选题

7.已知非零向量Z,另不平行，并且其模相等，贝工+B与日一加之间的关系是()

A.垂直B.共线C.不垂直D.以上都可以

8.己知均为单位向量，它们的夹角为60。，那么，+34=()

A.币B.VW

C.V13D.4

9.如图，在平行六面体ABCD-A耳GR中，AB=AD=1,

IUULTI

胡=®/a14,=/DU,=45。,440=60。，则产|=()

A.1B.6C.9D.3

10.已知空间向量Z，b，2满足2+■+"="同=1,忖=2,口=万，则£与B的夹角为

()

A.30°B.45°C.60°D.90°

11.已知四面体ABCD中，AB>AC,AO两两互相垂直，则下列结论中不成立的是().

A.\AB+AC+AD\=\AB+AC-AE^

B.\AB+AC+AD[=\AB[+\AC[+\AD[

c.(AB+AC+AD)BC=0

D.ABCD^ACBD=ADBC

12.空间四边形ABCD各边及对角线长均为E,F,G分别是AB,AD,QC的中

点,则至.GF=（）

A.1B.1C.72D.变

22

13.已知£段是夹角为60。的两个单位向量，则日与》=『24的夹角是（）

A.60°B.120°C.30°D.90°

14.已知四棱柱48a）-A瓦G。的底面ABCD是矩形，

万|UULr

AB=l,AD=AA}=2,ZAiAD=ZAlAB=-,贝!］产|=（）

A.2A/3B.4C.372D.岳

15.已知平行六面体ABCD—中，AB=4,A£>=3,A4'=5,BAD=90°,

Za44=ZD44'=6O。.则AC'的长为（）

A.785B.797C.12D.2屈

16.如图在长方体ABCDA4GA中，设AO=A4,=1,AB=2,则函•正等于（）

A.1B.2C.3D.亚

3

【高分突破】

一：单选题

17.已知空间向量4=(3,0,4),&=(-3,2,5),则向量5在向量4上的投影向量是()

A.—(—3,2,5)B.—(—3,2,5)C.—(3,0,4)D.—(3,0,4)

25382538

18.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)A3C。-AqGR所有棱长都为1,且

44D=NAA8=60°,ND42=45o颊WJ=()

A.73-1B.V2-1C.73-A/2D.V3-V2

19.如图，空间四边形ABC。的每条边和对角线长都等于1,点尸，G分别是AD,的

中点，则不存.题=()

1

B.-c

4-1

20.设2、B为空间中的任意两个非零向量，有下列各式:

③（引H；=a-2a-b+b.

其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

21.已知在平行六面体ABCD-AEC'。'中，AB=3,AD=4,AA!=5,ZBA£>=120°,

/A4A=60°,ZDAA=90°,则AC'的长为（）.

A.572B.5A/3C.病D.后

22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱R4的长为2,且

R4与AB,的夹角都等于60°.若“是PC的中点，则|嬴|=()

23.如图在平行六面体ABC。-A与G2中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱44,=2

且NAA£»=/AAB=60。，贝I]AQ=（）

Di

Ci

AB

A.2A/2B.晒C.2A/3D.714

24.在棱长为2的正四面体ABCD中，点〃满足Z而=x^+y蔗-（x+y-l）而，点N满

足的=2丽+（1-;I）患，当3N最短时，AM-MN=（）

A.--B.-C.--D.-

3333

二、多选题

25.已知ABC。-是正方体，以下正确命题有（）

A.（AA+42+4耳）=SAjjBj；B._AA）=0；

UUU

C.向量而与向量AB的夹角为60。；D.正方体ABCD-A4GR的体积为

\ABA\AD\.

26.正方体ABCZ）-ABGR的棱长为。，则下列结论正确的是（）

22

A.AB-=—aB.BD-BDX=2a

C.ACBA,=-crD.ABAC[=2a2

27.已知ABCD-AISCLDI为正方体，下列说法中正确的是（）

A.（帚+而+而『=3（硒）2

B.京.（丽_刎=0

C.向量AR与向量平的夹角是60°

D.正方体ABCZJ-AiBiC。的体积为回.福.西

28.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCO-A4G2,其中，以顶点A为端点的三

条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60。，下列说法中正确的是（）

A.西+通+珂=2㈤2B,菊•(荏_码=0

D即与前所成角的余弦值为g

C.向量鸵与眼的夹角是60。

三、填空题

29.设%b,不是单位向量，且展片O,贝阳一m)@-3的最小值为.

30.已知2,B是空间两个向量，若W=2，W=2,卜一坂卜近，则cos(a,B)=.

31.如图所示，已知空间四边形ABC。的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是

AB,AD,8的中点，则方.丽=.

32.如图，在平行六面体ABC。-44GA中，底面是边长为2的正方形，若

NAAB=/4AD=60。，且4A=3,则AC的长为.

AB

四、解答题

33.如图，在正方体ABCD—AxBxCxDi中，CDi和DCi相交于点0,连接A0.求证:AO±CDi.

34.如图，已知空间四边形A8CD的每条边和对角线长都等于m点、E、F,G分别是AB、

AD,。。的中点.求下列向量的数量积：

uimuum__.__.__kkuimuuu

（1）AB-AC-,（2）AD.BD；⑶GFAC-,（4）EFBC-

35.如图，在平行六面体ABC。一AB'C'。'中，AB=4,AD=3,AA=5,ZBAD=90°,

NS4A'=ND4A'=60°.求：

（1）AA'ABi(2)AB，的长;（3）AC'的长.

36.在空间四边形Q4BC中，E是线段8C的中点，G在线段AE上，且AG=2GE.

(1)试用加，诙，宓表示向量砺；

(2)若。4=2,03=3,OC=4,ZAOC=ZBOC=60°,ZAOB=90°,求江通的值

及西

【答案详解】

1.c

【详解】

=47+犷-127B=4X4+9X9-12目Wcos60°

=97-12x2x3x^=61,

2

.,.目_34=屈，

故选：C.

2.C

【详解】

平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）A3C。-a旦G2中，

ZAiAB=Z^AD=ABAD=60°,AB=AD=1,AC；=而，作图如下:

令通=4，AD=BC=b，A^=CC[=c,

贝!J<a,5>=<a,}>=<5,f>=60。，|«|=|&|=1,|AC||=VIT,设4A=t,即同=t,

由离=通+而+M=a+5+^=a2+b2+c2+2a-b+2a-c+2b-c>

r,111

即11=1+1+♦+2x1x1x—F2x1x?x—F2x1xx—t?+2,一8=0,

222

解得：t=2^t=-4（舍去），即AA=2.

故选：C.

3.A

-rr

因为四棱柱A5CD—A4G2中，底面是正方形，AB=\,BB\=2,A\AD=A\AB=~,

ULUlUUL1UUUUULILUUUUUUUUU

则40=4。1+£0=42+4耳+4人，

IUUITIIuuumuumuuiii/zuuum

所以AC

||=|AQ1+A4+AA=AM+

uuumUUUHuuumuunummuuir

ARA4yAjA+24。].A]B[+2AA，AA+244♦AA

Iuuuin11uuun।uuuintoriuuim|iuuii|

用,同n

12+12+22+2,cos-+2|A1D1||A1A|cosZA41D1+2|A1B1||A1A|COS/AA4

2

6+4cos|九一?+4cosn--=J6—4=V2.

I3

故选：A.

4.A

•：OB=OC,

OABC=OA-(OC-OB)=OADC-OAOB=网|元cos(一两|僻cos0A|?(|OC\-\OB)=0

cos<OA,BC>=0,

故选：A

5.B

【详解】

由题意，同=4,同=1,

则空间向量方在向量色方向上的投影为。•々「"Hdcos]j

同一同-I2卜

故选：B.

6.B

【详解】

VPE=2EB>PF=FC，

：.EF=EB+BA+AP+PF=--BP-AB+AP+-PC

32

=^(AP-AB)-AB+AP+^(AB+BC-AP)=-^(AP-AB)-AB+AP+^(AB+AD-AP)

1—.1—.1—.

=——AB+-AD+-AP,

626

XABA5=APAD=6x2xcos60°=6>AB-AP=6x6xcos60°=18.

1国+1通+/：=旧启+：砺丽Y丽•正】说N+：而了

=J—x36+-x4+—x36--x6-—xl8+-x6=V2.

N364366186

7.A

因为«+4")=/4=@第2=0,

所以,

故选：A

8.C

【详解】

卜+3囚=J(a+3l)=+6H+9片=+6|a|-|&|cos600+9|fe|

=Jl+3+9=A/13

故选：C

9.D

【详解】

在平行六面体A3C£)-A4CQi中，

有/=通+而，ACX=AC+A\=AB+AD+A\,

由题知，AB=AD=1,A4,=V2,ZBAAX=ZDAA,=45°,ZBAD=60°,

所以网=|码=1,网=0,顺与通的夹角为440=60。，

荏与眼的夹角为/&四=45。，而与丽的夹角为/44。=45。，

所以

----------»2

AC.

=(通+而+祠2

=网2+|15|2+阳1+2AB-AD+2AB•丽+2AD•丽

=l+l+2+2xlxlxcos600+2xlx及xcos450+2xlx垃xcos45°

=9.

所以|砌=3.

故选：D.

10.C

设Z与B的夹角为e.由Z+B+"=O,得2+7Y，两边平方，^+2a-b+b=

所以l+2xlx2cos6+4=7,解得cosd=g,又6e[0,TV],所以。=60'，

故选：c.

11.c

【详解】

QAB、AC、AD两两垂直，则可得Afi_LCD、AC_L8£>、ADLBC,

umuuuu

-S.AB-AC=0'AB-AD=0'AC-AD=0>AC-BD=0AD-BC=0,

..A,B、D选项均正确，

故选：C.

12.A

【详解】

空间四边形ABCD各边及对角线长均为近,

所以四边形ABC。构成的四面体ABC。是正四面体，四个面是等边三角形,

因为E,F,G分别是AB,AD,0c的中点，

所以AC〃产G,-AC//FG,

2

GE=GB+BE=~（BC+BD^+^BA,

GF=^CA,所以加.衣=一：（阮+丽一丽）•丽=一：（而+丽・瓦一丽・旦）

=-^BCCA+BD（BA-BC）-BAC^

=-^^BCCA+BDBA-BDBC-BACAj

=-|就'S^cos120。+1丽,丽卜osGO。—］而,叫cos60,一|网1司8$60）

1"C1C1C1C1

——2x—F2x—2x----2x-

422222

故选：A.

A

13.B

由题意得々•方二(%+e2)'(e^-2e2)=ei-ex-e2-2=1一lxlx；一2二2

2

旧I=V?=J(ei+62)2=Je；+2ei-€2+02=A/1+1+1=\/3,

\bI-=&ei_2/)2=J【一2一--2I------------------/—

€\—4臼•€2+4/—A/1—2+4=73•

cos国,0=_2.

丽F2

@5'=120。.

故选:B.

14.D

【详解】

国L+通+丽卜J(诟+而+丽y

/---»2------»2------->2/------►------►------►-------►------•-------»\

=JAB+AD+A4,+2(ABAD+ABAAl+ADAAij

=^1+4+4+2(0+1+2)=715.

故选：D

15.A

【详解】

记。=48，b=AD,c=AA',贝!J4%=4、3乂8$90。=0，同理五•。=万，a-c=10.

由空间向量加法法则得k=Z+B+),

22222:222

/.|AC|=(a+&+c)=a+&+c+2a-&+2^-c+2a-(=4+3+5+2xy+2xl085,

.•.罔=病，即AC=体.

故选：A.

16.A

【详解】

由长方体的性质可知AD±AB,AD±BB1,AD〃BC,AD=BC=1,

BD[=BA+BC+BB(,

所以西.茄=（丽+患+瓯）•赤=丽.而+初•而+瓯.而

----2

=0+BC+0=1-

故选：A

17.C

【详解】

解：向量苕=(3,0,4),5=(-3,2,5),

则|冽=5,忖=屈，a-b=U，

所以向量B在向量。上的投影向量为

/-711a,11_11/\

现1osRH岛第卑后—,38x------==x—=—Q=—(3,0,4)

।/小\a\\b\\a\5x73852525、K

故选：C.

18.C

【详解】

如图:

由西^赤_诟+招

BD\=(AD-AB+A^)2

^AB+AD+A\-IABAD-IABAA.+IADAA,

=l+l+l-2xlxlxcos45°-2xlxlxcos60°+2xlxlxcos60°

=3-^2,

.[西i=h夜,

19.B

由题意得的所以西•丽=,衣•南=』xlxlxcos60°=L

2224

故选：B

20.B

对于①，a=|fl|cos0=|a|,①正确；

对于②，向量不能作比值，即2错误，②错误；

a

对于③，设于B的夹角为夕，则(。⑥)=(卜H4cose)=|a|-|5|cos20<ab,③错误;

对于④，由空间向量数量积的运算性质可得R-B)2=Z2-27B+B2,④正确.

故选：B.

21.D

【详解】

解：在平行六面体ABCD-AB'C'。'中，因为记=荏+莅+而，所以

|ACI^CAB+AD+AA7)2=|AB|2+1AD|2+1A^l2+2AB-AD+2AB-AA+2.AD-AA

=9+16+25+2x3x4xcosl20°+2x3x5xcos60°=50-12+15=53.

所以|苑|=后.

22.A

【详解】

、—I—>—>—>—>—>—>

^AB=a9AD=b9AP=cf

因为AB=AD=1,PA=2,

所以|/=|百=1，|c|=2•

又因为ZPAB=ZPAD=60",

所以商啰二。,a-c=b-c=2xlxcos60°=1.

易得氏M―5(+b+c),

所以

IBM|2=^-{-a+b+c)2+B。+c2+2x(-a-b-a-c+b-c)~^

=1X[12+12+22+2X(0-1+1)]=|,

所以I嬴|=乎.

故选：A

23.B

解：因为底面A3C。是边长为1的正方形，侧棱的=2且NAAD=NAA3=60。,

则题2=1,劭2=上羽2=一冷.粉=o,ABA\=|AB|-|A4|-COSZ4AB^1,

葩•福二|而，呵|・cosZ4Ao=1,

则羽

=陛+而+词

='(荏+通+可)2

/+2-»2*2»—»-*::二

={AB+AD+A4,+2AB-AA,+2AB-AD+2AD-AAt

=Jl+1+4+2+0+2

=Vw

故选：B.

24.A

因为点M满足AM=xAB+yAC-(x+y-l)AD,

所以Me平面3co

因为点N满足丽=X丽+(1-；l)或，

所以Ne直线AC,

若40、3N最短时，则AM,平面BCD,BNLAC,

所以M为△BCD的中心，N为AC的中点，

此时|林|=芋，

*/AM±平面BCD,MCu平面BCD,

：.AM±MC,

A|MA|=7|AC|2-|MC|2=普.

----1―.―.

y,MN=-(MC+MA),

：.AM-W=|(W-MC+AM-M4)--1|M4|2=-1.

故选：A.

25.AB

【详解】

A：AAAR,4耳两两垂直，且1441=1AR1=1A4l,所以

（AXA+A]D}+\BA=4不+A。」+44一+24A.^Df+2Az>].44+24444=3aBj,正

确；

B：由荏=不+而+丽，所以

京•（丽-*）=（9+而+碣）.（宿-中）

=A^A-A^+A^-A^+A^'-A^A-AjX-A^A+A^-A^A=A^2-A^A=0>正确；

C：由正方体性质知：AD,面AB旦4,而ABu面AB44，即AOLAH，即向量而与向

UU11

量的夹角为90°，错误；

D：由图知：AB-AA^-AD=0,正方体ABC。-4瓦G2的体积不为|荏.羽.而|,错误；

故选：AB.

26.BC

如下图所示：

2

对于A选项，AB-^C.=ABAC=AB\AB+AD^=AB=a,A选项错误；

对于B选项，

BDBD^=^AD-AB^（BD+DD\^=（Ai5-AB^（XD-AB+AA[^=AD2+AB=2a2,B选项正

确；

对于C选项，AC-BA^=（AB+AD）-（AA^-AB）=-AB2=-a2,C选项正确;

对于D选项，AB-AC1=AB♦(AB+AD+AAJ=AB=a2,D选项错误.

故选：BC.

27.AB

【详解】

由向量的加法得到：¥+H»+AK=NC，：A1C2=3A|B；,，(AQ)2=3(AK『，所以

A正确；

-率=AB1,ABiLAiC,.恒=0,故B正确；

：△AC。是等边三角形，.•./&£>《=60。，又ALB〃QC,...异面直线Ad与48所成的夹

角为60。，但是向量氐，与向量率的夹角是120。，故C不正确；

\'AB±AAi,.\AB-AA；=0,故|丽•丽・Z4=0,因此。不正确.

故选：AB.

28.AB

【详解】

以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60。，

可设棱长为1,则丽•丽=可•而=正,而=lxlxcos60°=；

/--------►-------»--------»\2-------->2-------»2--------»2--------»------->------->-------->--------*--------•

(AA^AB+ADj=4^+AB+AD+2AACAB+2AB-AD+2AAX-AD

=l+l+l+3x2x—=6

2

而2(衣『=2/+而J=2(旃2+莅?+2通.而)

=2(l+l+2x；［=2x3=6,所以A正确.

AQ-(AB-AD)=(AA+AB+AS)(AB-AD)

=A^-AB-A^-AD+AB2-AB-AD+AD-AB-AD=0,所以B正确.

向量麻=而，

显然为等边三角形，则乙取。=60。.

所以向量而与丽的夹角是120。，向量即与福的夹角是120。,则C不正确

又西=砺+丽-砺，AC=AB+AD

则|两|="而+菊一百二五,|AC|=J(通+西,

西.衣=(15+福-砌.(而+砺)=1

所以cos（函,码=黑=6/=号,所以D不正确.

'/IBDJ4MsQV2xV36

故选：AB

29.1-V2.

【详解】

ab=0＜且商，b,不均为单位向量,

\a+b\=,伍+.=Va2+*2+2aF=A/P+F+2^0=应，

|c1=1,c2=1,

".(a-c^-{b-c^=ab-(a+b^-c+c2=\-(a+b^-c.

设4+5与C的夹角为仇

则(a-e),值Y)=1—犷+矶©cos0=1-5/2cos0.

故仅一3）•仅一司的最小值为1一行.

故答案为：1-&.

30.

8

因为忖=2,忖=2,卜_q=V7,

所以R-4叩『一2£」+|甲=7,

___1

解得=

1

所以侬（。肉=讪

2x28

故答案为：:

O

31.-

4

【详解】

l^AB=a,AC=b,AD=c,则同=,=忖=1且两两夹角为60。

ffr\^a-b=b-c=a-c=—

2

EF=LBD=L(AD-AB]=^-,BA=-AB=-a

22、,2

所以方.丽=_('一“>"=一」("仄一£2)=」

22\)4

故答案为：—

4

32.75

【详解】

因为丞=率+*=41+通+也

所以|相2=(9+而+通)2=|^l|2+|AB|2+\ADf+2A^A-AB+2A^A-AD+2AB-AD

=9+4+4—232cos60°—232cos60°+0=17—12=5,

所以卜石，所以AC的长为石，

故答案为：下.

33