2024年人教版高二数学暑假预习：空间向量及其运算

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019必修第二册）

预习01讲空间向量及其运算（精讲+精练）

题型目录一览

①空间向量的线性运算

南前僵共线前判断与应用

⑨^面向呈的^定与应用

④Sr丽僵的数量积运算IBS积、4角、模长'投影向量）

一、知识点梳理

一、空间向量及其加减运算

（1）空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有

向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量Z的起点是A,终点是B,则向量Z也可以记作通,

其模记为问或画.

（2）零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A与终点3重合时，AB=O.

模为1的向量称为单位向量.

（3）相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.

空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.

与向量Z长度相等而方向相反的向量，称为£的相反向量，记为-Z.

（4）空间向量的加法和减法运算

@OC=OA+OB=a+b>BA=OA—OB=a—b.如图所示.

KHC

②空间向量的加法运算满足交换律及结合律

a+b=b+a,（a+b^+c=a+{b+c\

二、空间向量的数乘运算

（1）数乘运算

实数彳与空间向量Z的乘积称为向量的数乘运算.当x>o时，与向量Z方向相同；当x<o时，向量

比与向量£方向相反.册的长度是£的长度的囚倍.

（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：彳（£+石）=痛+4,彳"）=（初）£.

（3）共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，日平行于

b,记作al1b.

（4）共线向量定理：对空间中任意两个向量2,b（5#0）,2/店的充要条件是存在实数X,使2=笳.

（5）直线的方向向量

/为经过已知点A且平行于已知非零向量日的直线.对空间任意一点O,点尸在直线/上的充要条件是存在

实数使炉=反+正①，其中向量£叫做直线/的方向向量，在/上取通=£,则式①可化为

赤=①+^W=函+^^-呵=（l-^）次+^砺②

①和②都称为空间直线的向量表达式，当f=g，即点尸是线段钻的中点时，OP=^OA+OB）,此式叫

做线段AB的中点公式.

（6）共面向量

如图8154所示，已知平面a与向量Z,作次=£,如果直线。4平行于平面a或在平面a内，则说明向量Z

平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

oA

如果两个向量鼠B不共线，那么向量,与向量入B共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,y）,使

推论：①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对（x,y）,使丽=无荏+丫而；或对空间

任意一点O,有历=正，该式称为空间平面ABC的向量表达式.

②已知空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,满足向量关系式存=xE+y而+z五（其中

x+y+z=l）的点尸与点A,B,C共面；反之也成立.

三、空间向量的数量积运算

（1）两向量夹角

已知两个非零向量b,在空间任取一点O,作况=£,OB=b,则/AOB叫做向量Z,B的夹角，记作

,通常规定044万，如果那么向量a,5互相垂直，记作

（2）数量积定义

已知两个非零向量a,b,则叫做a,B的数量积，记作即4・石=忖忸卜0$（“石）.零向量

与任何向量的数量积为0,特别地，a-a=\a^.

（3）空间向量的数量积满足的运算律：

（彳=a-b=b-a（交换律）；

a-（b+cj-a-b+a-c（分配律）.

二、题型分类精讲精练

①空间向量的线性运算

多策略方法用基向量表示指定向量的方法

（1）结合已知向量和所求向量观察图形.

（2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.

（3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.

【题型精练】

一、单选题

1.（2324高二上•河南南阳,阶段练习）求（2+2B—3c）+3x（§万—+—（万一25+c）为（）

3--5-

A.2QH—h—2cB.2。H—h2c

22

5f—3--

C.2〃—b—2cD.2a—b—2c

22

【答案】B

【分析】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案.

2一1一一_2一一5-一

【原—<2+3x—a—a+2b—3x—b+2b—3c+3x—c—c=2aH—b—2c.

3232

故选：B.

2.（2223高二下•全国•单元测试）若A8,C,。为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（）

A.~AB+2BC+2CD+DC

B.2AB+2.BC+3CD+3DA+AC

C.AB+DA+BD

D.AB-CB+CD-AD

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.

【详解】对于A,AB+2BC+2W+DC=（AB+BC）+（BC+O5）+（CD+DC）=AC+BD.

对于B,2AB+2BC+3CD+3ZM+AC=2（AB+BC）+3（CD+DA）+AC=3AC+3C4=6；

对于C,AB+DA+BD=I）A+AB+W=DB+BD=6t

对于D,AB-CB+CD-AD=（AB-AD）+（CD-CB）=DB+BD=O.

故选；A.

3.（2324高二下•北京•开学考试）已知平行六面体ABCD-AB'C'D,则下列四式中错误的是（）

A.AB-CB=AC

B.AC=AB+BrC+CC

C,方=刘

D.AB+BB,+BC+CC=AC

【答案】D

【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】对于A：AB-CB=AB+BC=AC,故A正确；

对于B：因为替甜，所以荏+宙+*=通+和+质=效"故B正确；

对于C：A^=CC!,故C正确；

对于D：因为丽=反"所以荏+而5+就+氏=（通+前）+（两-可）=正，

故D错误.

故选：D

4.（2324高二下•河南•阶段练习）在四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则9-g（历+比）=（）

A.-AEB.-ABC.AED.AB

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.

［详解］DA-^{DB+DC）=DA-^（2DE）=DA-DE=EA=-AE,

故选:A

5.（2324高二上•河北•阶段练习）在四面体。LBC中，OA=a,OB=b,OC=c,两=4症（彳＞0）,N为

___.3-1-1-

BC的中点，^MN=-a+-b+-c,贝IJ4=（）

422

A.-B.3C.gD.2

32

【答案】B

【分析】根据空间向量的线性运算即可得解.

o

___k1

因为两■=/1瓯彳，N为BC的中点，所以西=丁］况，

2+1

.-.1—.1-.

又因为ON=—OB+—OC,

22

___.__.___.1__.1__■2-►2_1_1_

所以MN=ON—OM=-OB—OC-----OA=-----a+-b+-c

222+12+1229

___.3—1一1一23

又MN=—1€1+3b+^c,所以-一■-,解得：A=3.

।乙乙/LI-LI

故选：B.

②空间向量共线的判断与应用

畲策略方法证明三点共线

三点(P,A,3)共线

同=7协且同过点P

对空间任一点。，0P=0k+tAB

对空间任一点。，0p=x0\+(l-x)0b

【题型精练】

一、单选题

1.(2223高二上•云南临沧•阶段练习)若｛万,瓦耳构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是()

A.b+2c,b,b-2cB.a,a+2b,a-lb

C.a+b,a-b,cD.a+b,a+b+c,c

【答案】C

【分析】由共面向量基本定理进行运算检验选项，排除法可得结果.

【详解】对于A,^=1(fe+2c)+1(&-2c),所以B+2乙5石-2c三个向量共面，排除；

对于B,a=—^a+2b^+—^a—2b^,所以。，方+2Z?,]-2。三个向量共面，排除；

对于D,a+b+c=+b^+c,所以三个向量共面，排除.

故选：C.

2.(2324高二下•江苏•阶段练习)已知向量不共面，贝。使向量比=21-瓦万=5+^,p=历+55+3不共面

的实数x的值是()

A.-4B.-3C.-2D.4

【答案】A

【分析】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可.

【详解】因为加，万共面，所以存在实数SJ,使得

2s=x

p=sm+tn=s(2a-b)+t(b+c)=Isa+(t-s)b+tc=xa+5b+3^,所以一s+f=5,解得t=3,s=-2,x=-4.

t=3

故选：A.

3.(2324高二上•北京•期中)已知苏，初是空间两个不共线的向量，MC^5MA-3MB，那么必有()

A.加，碇共线B.标，就:共线

C.加，法瓦碇共面D.苏，丽，碇不共面

【答案】C

【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理.

【详解】若加，碇共线，贝!]碇=4庇(/leR),

又碇=5福一3砺n/l加=5祝-3砺=＞也圆丽5=诙，则加，磁共线，

3

与条件矛盾，故A错误；

同理若荻，碇共线，则旗=几砺(XeR),

又碇=5加一3砺旃=5两-3丽=＞在(^砺=两，则苏，雨共线，

与条件矛盾，故B错误；

根据空间向量的共面定理可知而，砺，碇共面，即C正确，D错误.

故选：C

—.1—.1—.—.

4.（2324高二下.江苏泰州.阶段练习）。为空间任意一点，^AP=--OA+-OB+tOC,若A,B,C,P

48

四点共面，则/=（）

A.1B.—C.—D.一

884

【答案】C

—.1—.1-.-*—.3—►1—►—►31

【分析】将钎=一7。4+;;。5+/。。化简为：。尸=7。4+7；。8+/。。，利用四点共面定理可得:+3+/=1,

484848

即可求解.

【详解】因为方=存—况，所以福=_］函+1砺+f玄，可化简为：OP-OA^-\OA+^OB+tOC,

4848

—-3—>1—►—►

OP=-OA+-OB+tOC,

48

311

由于A,B,C,尸四点共面，贝（j：+g+f=l,解得：f=g;

488

故选：C

____0___,1___,

5.（2324高二上•湖北省直辖县级单位•期中）若空间四点。钻尸满足屈=§函+§萌，则（）

A.Pe直线

B.Pe直线

C.点P可能在直线4B上，也可能不在直线上

D.Pe直线AB,S.AP=PB

【答案】A

【分析】根据四点共面、三点共线的知识求得正确答案.

【详解】由于OPqOA+^OB,所以0,A氏尸四点共面，

21

由于］+§=1,所以API三点共线，

根据平行四边形法则可知：尸是线段AB上，靠近A的三等分点（如下图所示）.

所以A选项正确，BCD选项错误.

故选：A

BPA

③共面向量的判定与应用

畲策略方法证明空间四点共面

空间四点（M,P,A,3）共面

M^=xM^+yM^

对空间任一点。，Op=Ok+xMX+yM^

对空间任一点。，3力=%品+＞次+（1—龙一y）彷

【题型精练】

一、单选题

1.（2324高二上.河北邯郸•期末）已知兀歹了是不共面的空间向量，若乃=3兄-29-45与互=。W+1）无+8歹+应

（外〃是实数）是平行向量，则〃?+〃的值为（）

A.16B.13C.3D.3

【答案】C

【分析】根据万〃心结合4=力万，列出方程组，求解即可.

【详解】因为无，叉三是不共面的空间向量且力〃

m+1=32

故q=2），则＜8=-22,

n=—42

解得根=一13,〃=16,所以根+〃=3.

故选：C.

2.（2324高二上•辽宁・期中）设向量生4/不共面，已知AB=—34—62+263,BC=q+4e2—6e3，

C力=41+茗+8可，若ACQ三点共线，则4=（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】把A、C、D三点共线转化为满足丽=＞正，列方程组，求出力即可.

【详解】因为AS=-3q-e,+2e§,3C=q+-6,,CD=4q+2e,+8e§,

所以=荏+反＞=—21+(4_1)1_4晟，

因为AC。三点共线，所以存在唯一的y,使得诙=,正,

即4,+2^+8q=/2q+（%-1）4-46），

（4=-2y,

/、A=0

即2=y（4—1）,解得：

V=-2

8=-4,〔'

故选：A.

3.（2324高二上.河南洛阳•阶段练习）在四面体ABGD中，点E满足方£=%反，尸为5E的中点，且

—.1—.1—.1—.

Ab=-A5+—AC+—AD则实数2二（）

236

A.-B.-C.；D.-

4323

【答案】D

【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.

【详解】由F为BE的中点，得AF^AB+\AE,

22

—►1—.1—►1—,

XAF=-AB+-AC+-AD,

236

—.2—.1—.

^\＞kAE=-AC+-AD,由DE^ADC,

得AE-AD=A,[AC-AD）,

即屈=4衣+（1_彳）正所以2=-.

故选：D

二、填空题

4.(2223高二下•江苏•课后作业)若空间非零向量„不共线，则使2痣-1与-+2(K+:＜共线的左的值

为.

【答案】一）/-0-5

【分析】根据空间共线向量可得2码-。猛+2/a+1）动，建立方程组，解之即可求解.

【详解】由题意知，存在实数为使得2运-小编+2a+1西=襦+24%+1）而，

即解得，i.

2X（k+1n）=—1k=——

I2

故答案为：--

5.（2324高二上.上海裸后作业）设%高是空间两个不共线的非零向量，已知初=21+左或配=录+3可，

反=21—晟，且A民。三点共线，则实数％的值为.

【答案】-8

【分析】根据题意，化简得至！J丽=-,+4",由Aa。三点共线，可设市=4加，利用空间向量共线的

充要条件，列出方程，即可求解.

【详解】因为配=冢+3/，反=24兄,

BD=BC+CD—+34）-Re1-4）=—%+，

又因为ASD二点共线，可设AB=/15Z）,即2q+左4="―%+4.），

一一f2=-2

因为"2不共线，可得7.解得左=-8,

［左=4Z

所以实数左的值为-8.

故答案为：-8.

④空间向量的数量积运算（数量积、—夹角上模长、—投影向量）

畲策略方法空间向量数量积的应用

设向量明力所成的角为0,则cos0

求夹角一高，，进而可求两异面直线所成的角

求长度运用公式Ial2可使线段长度的计算

（距离）问题转化为向量数量积的计算问题

解决垂利用a1boa・b=0(aW0W0),可将垂

直问题：直问题转化为向量数量积的计算问题

【题型精练】

一、单选题

1.（2324高二上•广东茂名.期末）如图，正方体ABCD-ABCQ的棱长为1,设血石，而=人A\=c,

则(a+B).(B-c)=()

D.2

【答案】A

【分析】根据垂直关系结合空间向量的数量积分析求解.

【详解】由题意可知：同=忖=同=1,无5=51=无不=。,

^]^（d.+b^-{b-^=a-b-a-S+b2-b-c=1.

故选：A.

2.（2324高二下.江苏.课前预习）已知£=3万-2,石=万+7,7力是相互垂直的单位向量，则（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】A

【分析】

根据空间向量数量积公式计算出答案.

【详解】

万,q是相互垂直的单位向量，故7•I=0,|万卜忖=1,

故a•石=（3p_2q）（p+q）=3/2+p-q—T.q=3+0-2=l.

故选：A

3.（2324高二下•上海•阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱ABCD-ABCIA（如图所示）,

【答案】A

【分析】根据数量积的几何意义即可求解.

【详解】由正四棱柱性质可知，向量Q在硒上的投影向量为福，

由数量积的几何意义可知，M-^=|M|2=I.

故选:A

4.（2324高二上•江西萍乡•期末）已知Z,b,"是空间中两两垂直的单位向量，则|32+5-2[=（）

A.V14B.14C.V2D.2

【答案】A

【分析】利用空间向量数量积的性质即可求解.

【详解】依题意得，同=忖=同=1,ab=ac=ib=0;

所以桓+B=不（3&+B-2a=\j9a2+b2+4c2+6a-b-12a-c—4b-c=J9+1+4=A/14,

故选：A.

5.（2324高二上.宁夏银川•阶段练习）已知同=4,空间向量3为单位向量，｛a,e）=~~,则空间向量a在向

量。方向上的投影向量的模长为（）

A.2B.—2C.—D.—

22

【答案】A

a-e

【分析】由空间向量M在向量2方向上的投影数量为可，运算即可得解.

D

【详解】由题意，同=4,同=1,〈“〉=三1r,

则空间向量H在向量/方向上的投影数量为展巨」砧同cos5jj2.

同同I2）

所以所求投影向量的模长为2.

故选：A

6.（2324高二上•陕西宝鸡•期中）在空间四边形O4SC中，OB=OC,ZAOB^ZAOC,则cos（次，前）的

值为（）

A.；B.走C.--D.0

222

【答案】D

【分析】先利用题给条件求得前的值，进而求得cos（函，前）的值.

【详解】如图所示，

\-C^BC=OA（UC-OB）=OAOC-OAOB

=|OA|-|OC|-COSZAOC一|网•I/•cos/AOB,

又OB=OC,ZAOB^ZAOC,

贝！|网•|0C|-cos^AOC一网•画•cos/403=0

：.OA±BC，：.{OA,BC