2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE单元素养评价(一)(第六章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.(+)+(+)+化简后等于 ()A. B. C. D.【解析】选C.原式=++++=.2.以a=(-1,2),b=(1,-1)为基底表示c=(3,-2)为 ()A.c=4a+b B.c=a+4C.c=4b D.c=a-4b【解析】选B.令c=xa+yb,得QUOTE所以QUOTE即c=a+4b.3.向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),若3a-b与cA.1 B.-3 C.-2 D.-1【解析】选D.向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),则3a-b=(1,-1),又3a-b与4.点C在线段AB上,且||=QUOTE||,若=λ,则λ= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.点C在线段AB上,且||=QUOTE||.如图所示:若=λ,即=-QUOTE,所以λ=-QUOTE.5.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若B=45°,C=60°,c=1,则最短边长为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.A=180°-(60°+45°)=75°,故最短边为b,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,即b=QUOTE=QUOTE=QUOTE.6.向量=(4,-3),向量=(2,-4),则△ABC的形态为 ()A.等腰非直角三角形B.等边三角形C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.因为=(4,-3),=(2,-4),所以=-=(-2,-1),所以·=(2,1)·(-2,4)=0,所以C=90°,且||=QUOTE,||=2QUOTE,||≠||.所以△ABC是直角非等腰三角形.7.(2024·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是 ()A.(-2,6) B.(-6,2)C.(-2,4) D.(-4,6)【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以·=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-1<x<3,所以-2<·<6.8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-QUOTE,则QUOTE= ()A.6 B.5 C.4 D.3【解析】选A.因为△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA-bsinB=4csinC,cosA=-QUOTE,所以QUOTE解得3c2=QUOTEbc,所以QUOTE=6.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.对于随意的平面对量a,b,c,下列说法正确的是 ()A.若a∥b且b∥c,则a∥cB.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,则b=cD.a+b+c=a+c+b【解析】选BD.a∥b且b∥c,当b为零向量时,则a与c不肯定平行,即A错误;由向量乘法的安排律可得:(a+b)·c=a·c+b·c,即B正确;因为a·b=a·c,则a·(b-c)=0,又a≠0,则b=c或a⊥(b-c),即C错误;向量加法满意交换律,即:a+b+c=a+c+b,即D正确.10.(2024·青岛高一检测)已知平面对量a,b,c满意|a|=|b|=|c|=1,若a·b=QUOTE,则(a-b)·(2b-c)的值可能为 ()A.-2 B.3-QUOTE C.0 D.-QUOTE【解析】选ACD.已知|a|=|b|=|c|=1,a·b=QUOTE,设a,b的夹角为θ,则cosθ=QUOTE,θ=60°,所以|b-a|=QUOTE=1,则(a-b)·(2b-c)=2a·b-a·c-2b2+b·c=1-2+c·(b-a)=-1+cosα(其中α为c与b-a的夹角,且α∈[0,π]),因为cosα∈[-1,1],所以cosα-1∈11.在△ABC中,=c,=a,=b,在下列说法中,正确的有 ()A.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形B.若a·b=0.则△ABC为钝角三角形C.若a·b=c·b,则△ABC为等腰三角形D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则△ABC为直角三角形【解析】选CD.如图所示,在△ABC中,=c,=a,=b,A.若a·b>0,则∠BCA的补角为锐角,∠BCA是钝角,△ABC是钝角三角形,A错误;B.若a·b=0,则⊥,△ABC为直角三角形,B错误;C.若a·b=c·b,b·(a-c)=0,·(-)=0,·(+)=0,取AC中点D,则·=0,所以BA=BC,即△ABC为等腰三角形,C正确;D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则a2=(c-b)2,即b2+c2-a2=2b·c,即QUOTE=-cosA,由余弦定理可得:cosA=-cosA,即cosA=0,即A=QUOTE,即△ABC为直角三角形,D正确.12.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sinB=5sinC,以下四个说法中正确的有 ()A.满意条件的△ABC不行能是直角三角形B.当A=2C时,△ABC的周长为15C.当A=2C时,若O为△ABC的内心,则△AOB的面积为QUOTED.△ABC的面积的最大值为40【解析】选BCD.a=6,4sinB=5sinC即4b=5c,设b=5t,c=4t(t>0),由36+16t2=25t2,可得t=2(负值舍去),满意条件的△ABC可能是直角三角形,故A错误;a=6,4sinB=5sinC,A=2C,可得:B=π-3C,由正弦定理可得4b=5c,可得b=QUOTE,由QUOTE=QUOTE,sinC≠0,可得:4cos2C-1=QUOTE,解得:cosC=QUOTE,sinC=QUOTE,可得sinA=2sinCcosC=QUOTE,可得:c=4,b=5,则a+b+c=15,故B正确;S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTE.设△ABC的内切圆半径为R,则R=QUOTE=QUOTE,S△ABO=QUOTEcR=QUOTE,故C正确.以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,可得B(-3,0),C(3,0),4sinB=5sinC,可得4b=5c,设A(m,n)(n≠0),可得4QUOTE=5QUOTE,平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9),即有m2+n2+QUOTEm+9=0,化为QUOTE+n2=QUOTE(n≠0),则A的轨迹为以QUOTE为圆心,QUOTE为半径的除去x轴上两点的圆,可得△ABC的面积的最大值为QUOTE×6×QUOTE=40,故D正确.三、填空题(每小题5分,共20分)13.已知向量a=(1,m),b=(3,1),若a⊥b,则m=.

【解析】因为a⊥b,所以a·b=3+m=0,所以m=-3.答案:-314.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asinB=QUOTEb,b+c=5,bc=6,则a=.

【解析】因为2asinB=QUOTEb,所以2sinAsinB=QUOTEsinB.所以sinA=QUOTE,因为△ABC为锐角三角形,所以cosA=QUOTE,因为bc=6,b+c=5,所以b=2,c=3或b=3,c=2.所以a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×6×QUOTE=7,所以a=QUOTE(负值舍).答案:QUOTE15.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=2,则的模为.

【解析】因为在平行四边形ABCD中,=+=QUOTE-,又=,=,所以=QUOTE-,所以·=·=QUOTE·-=QUOTE||||cos60°-||2=QUOTE||-1=2,所以||=12.答案:1216.(2024·浙江高考)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=.

【解析】在△ABD中,由正弦定理有:QUOTE=QUOTE,而AB=4,∠ADB=QUOTE,AC=QUOTE=5,sin∠BAC=QUOTE=QUOTE,cos∠BAC=QUOTE=QUOTE,所以BD=QUOTE.cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cosQUOTEcos∠BAC+sinQUOTEsin∠BAC=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE四、解答题(共70分)17.(10分)已知两向量a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.【解析】(1)ka-b=(k,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+(4,2)=(5,2).当ka-b与a+2b共线时,2(k-2)-(-1)×5=0,解得k=-QUOTE.(2)由已知可得=2a+3b=(2,0)+(6,3)=(8,3),=a+mb=(1,0)+(2m,m)=(2m+1,m).因为A,B,C三点共线,所以∥,所以8m-3(2m+1)=0.解得m=QUOTE.18.(12分)如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若=a,=b,试用a,b表示,,.【解析】如图所示,连接CN,则四边形ANCD是平行四边形.则==QUOTE=QUOTEa,=-=-QUOTE=b-QUOTEa,=-=--QUOTE=--QUOTE=QUOTEa-b.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosC=QUOTE.(1)若·=QUOTE,求△ABC的面积;(2)设向量x=QUOTE,y=QUOTE,且x∥y,求sin(B-A)的值.【解析】(1)由·=QUOTE,得abcosC=QUOTE.又因为cosC=QUOTE,所以ab=QUOTE=QUOTE.又C为△ABC的内角,所以sinC=QUOTE.所以△ABC的面积S=QUOTEabsinC=3.(2)因为x∥y,所以2sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEcosB,即sinB=QUOTEcosB,因为cosB≠0,所以tanB=QUOTE.因为B为三角形的内角,所以B=QUOTE.所以A+C=QUOTE,所以A=QUOTE-C.所以sin(B-A)=sinQUOTE=sinQUOTE=QUOTEsinC-QUOTEcosC=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.20.(12分)如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,且=x+y.(1)若=,求x,y的值;(2)若=3,||=4,||=2,且与的夹角为60°,求·的值.【解析】(1)若=,则=QUOTE+QUOTE,故x=y=QUOTE.(2)若=3,则=+QUOTE=+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE,·=·(-)=-QUOTE||2-QUOTE·+QUOTE||2=-QUOTE×42-QUOTE×4×2×cos60°+QUOTE×22=-3.21.(12分)如图,A,B两个小岛相距21海里,B岛在A岛的正南方,现甲船从A岛动身,以9海里/时的速度向B岛行驶,而乙船同时以6海里/时的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶,行驶多少时间后,两船相距最近?求出两船的最近距离.【解析】设行驶th后,甲船行驶了9t海里到达C处,乙船行驶了6t海里到达D处.①当9t<21,即t<QUOTE时,C在线段AB上,此时BC=21-9t.BD=6t,∠CBD=180°-60°=120°,由余弦定理知CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos120°=(21-9t)2+(6t)2-2×(21-9t)·6t·QUOTE=63t2-252t+441=63(t-2)2+189.所以当t=2时,CD取得最小值3QUOTE.②当t=QUOTE时,C与B重合,则CD=6×QUOTE=14>3QUOTE.③当t>QUOTE时,BC=9t-21,则CD2=(9t-21)2+(6t)2-2·(9t-21)·6t·cos60°=63t2-252t+441=63(t-2)2+189>189.综上可知,