2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.1第1课时两个计数原理及其简单应用学案含解析新人教A版选修2-3

PAGE1．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一课时两个计数原理及其简洁应用内容标准学科素养1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．2.会用这两个原理分析和解决一些简洁的实际计数问题.利用数学抽象提升数学建模和数学运算授课提示：对应学生用书第1页[基础相识]学问点一分类加法计数原理eq\a\vs4\al(预习教材P2－4，思索并完成以下问题)从今日起先我们来学习选修2－3第一章《计数原理》那么计数原理能解决什么问题呢？(1)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？(2)第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客供应导游服务，每天有7个航班，6列火车．该志愿者从上海到天津的方案可分几类？共有多少种出行方法？提示：(1)因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0～9共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36种不同的号码．(2)两类，即乘飞机、坐火车．共有7＋6＝13(种)不同的出行方法．学问梳理分类加法计数原理(1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．(2)假如完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同的方法．学问点二分步乘法计数原理eq\a\vs4\al(预习教材P4－6，思索并完成以下问题)假如完成一件事情有若干个步骤，在每一个步骤中有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？(1)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？(2)若一名志愿者从上海赶赴天津为游客供应导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有7个航班，从青岛到天津每天有6列火车．该志愿者从上海到天津须要经验几个步骤？共有多少种出行方法？提示：(1)由于前6个英文字母中的随意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54个不同的号码．(2)两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津．共有7×6＝42(种)不同的出行方法．学问梳理分步乘法计数原理完成一件事须要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．思索1：假如完成一件事须要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？提示：m1×m2×m3.思索2：假如完成一件事情须要n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？提示：m1×m2×…×mn.[自我检测]1．已知某校高二(1)班有54人，高二(2)班有56人，现从这两个班中任选一人去参与演讲竞赛，则共有________种不同的选法．答案：1102．已知某乒乓球队有男队员9人，女队员8人，现从男、女队员中各选1人去参与竞赛，则共有________种不同的选法．答案：72授课提示：对应学生用书第2页探究一分类加法计数原理的应用[阅读教材P2例1]在填写高考志愿表时，一名中学毕业生了解到，A，B两所高校各有一些自己感爱好的强项专业，详细状况如下：A高校B高校生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学假如这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？题型：分类加法计数原理的应用方法步骤：(1)分两类：在A高校中有5种选择方法．在B高校中有4种选择方法．(2)由分类加法计数原理得共有9种选择方法．[例1]某校高三共有三个班，各班人数如表所示：男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中任选1名学生担当学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担当学生会生活部部长，有多少种不同的选法？[解析](1)从三个班中任选1名学生担当学生会主席，共有三类不同的方案．第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．依据分类加法计数原理知，从三个班中任选1名学生担当学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担当学生会生活部部长，共有三类不同的方案．第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．依据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担当学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．[例2]在全部的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．[解析](1)法一：依据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的状况分成8类，在每一类中满意题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个；同理，个位是7的有6个；……个位是2的有1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．[答案]36方法技巧运用分类加法计数原理计数的两个条件(1)依据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类．(2)完成这件事的任何一种方法必需属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满意这些条件，才可以用分类加法计数原理．提示：分类时肯定要做到不重不漏，分类对象唯一，分类标准明确．延长探究若本例2条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个．解析：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．跟踪探究1.甲盒中有3个编号不同的红球，乙盒中有5个编号不同的白球，某同学要从甲、乙两盒中摸出1个球，则不同的方法有()A．3种 B．5种C．8种 D．15种解析：要完成“摸出1个球”这件事，有两类不同的方法．第1类，从甲盒中取出1个球，有3种不同的取法；第2类，从乙盒中取出1个球，有5种不同的取法，故共有3＋5＝8种不同的方法．答案：C2．满意a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．10解析：①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根，所以(a，b)的取值有4个．②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.a＝－1时，b的取值有4个，a＝1时，b的取值有3个，a＝2时，b的取值有2个．所以(a，b)的取法有9个．综合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13个．答案：B探究二分步乘法计数原理的应用[阅读教材P4例2]设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参与竞赛，共有多少种不同的选法？题型：分步乘法计数原理的应用方法步骤：(1)选出一组代表可分为两个步骤．第一步选男生；其次步选女生，(2)由分步乘法计数原理得出共有的选法种数．[例3]一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)[解析]按从左到右的依次拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；其次步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.依据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10000(个)四位数的号码．方法技巧1.运用分步乘法计数原理计数的两个留意点一是要依据事务发生的过程合理分步，即分步是有先后依次的；二是各步中的方法相互依存，缺一不行，只有各个步骤都完成才算完成这件事．2．利用分步乘法计数原理计数时的解题流程延长探究若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？解析：按从左到右的依次拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，即m1＝10；其次步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9；第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8；第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝7.依据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5040(个)四位数的号码．跟踪探究3.已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数为________．解析：圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2由3个量a，b，r确定，确定a，b，r分别有3种，4种，2种选法．由分步乘法计数原理，表示不同圆的个数为3×4×2＝24.答案：244．定义集合A与B之间的运算A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B中元素个数为________．解析：确定有序数对(x，y)须要两个步骤，第一步，确定x的值有3种不同的方法；其次步，确定y的值有4种不同的方法．所以集合A*B中元素个数为3×4＝12.答案：12探究三辨析两个计数原理[阅读教材P5例3]书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．(1)从书架中任取1本书，有多少种不同取法？(2)从书架的第1,2,3层各取1本书，有多少种不同取法？题型：两个计数原理的综合应用方法步骤：(1)第一问用分类计数原理解决．(2)其次问用分步计数原理解决．第一步从第一层取；其次步从其次层取；第三步从第三层取．从而得出共有的取法种数．[例4]现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[解析](1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．依据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，依据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；其次类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．方法技巧利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决详细问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清晰“分类”或“分步”的详细标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，留意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．跟踪探究5.现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？解析：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122(种)选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63000(种)选法．(3)①高一和高二各选1人作为中心发言人，有50×42＝2100(种)选法；②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30＝1260(种)选法；③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30＝1500(种)选法．故共有2100＋1260＋1500＝4860(种)选法．授课提示：对应学生用书第3页[课后小结](1)应用两个原理时，要细致区分原理的不同，加法原理关键在于分类，不同类之间相互排斥，相互独立；乘法原理关键在于分步，各步之间相互依存，相互联系．(2)通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类探讨思想及等价转化思想在解题中的应用．[素养培优]1.因辨别不清两个计数原理而致错(1)把3封信投到4个信箱，全部可能的投法共有()A．24种 B．4种C．43种 D．34种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3班，则此人的走法共有________种．易错分析：(1)若选择信箱作为标准，则第一个信箱可以有3封信去投，共有3种投法；同理其次个信箱也有3种投法；依次类推共有3×3×3×3＝34种投法，故而错选D；(2)若搞不清分步还是分类，把此题当成分步，则有3×4＝12种，从而出错．自我订正：(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就完成了这件事情．由分步乘法计数原理可得共有43种方法，故选C.(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一