2025广东省惠州市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025广东省惠州市高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）设全集U=R,集合/={邓？-X-2>0},3=3x21},则（Cu/）C3=（）

A.[1,2]B.（1,2]C.（2,+8）D.[1,2）

2.（5分）马戏表演中，小猴子模仿人类做引体向上运动的节目深受观众的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着

单杠并处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为50N,此时两只胳膊的夹角为60°,试估算小猴子的

体重约为（）

参考数据：取重力加速度大小为g=10m/s2,V3~1.732.

A.9.2kgB.7.5kgC.8.7kgD.6.5kg

3.（5分）在△4BC中，“C=*”是“sin2/+sin2B=l”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.（5分）某班级数学课上教师随机的从学生甲、乙、丙、丁中选择一名学生回答问题，据了解，甲、乙、

丙、丁答对该题的概率分别为0.8,0,6,0.4,0.2,则在此题答错的情况下，由乙回答此题的概率是

（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

5.（5分）某公司研发新产品的投入x（单位：百万元）与该产品的收益y（单位：百万元）的5组统计数

据如表所示：

X568912

y1620252836

由表中数据求得投入金额x与收益y满足经验回归方程y=取+2.6,则下列结论中不正确的是（）

A.x与y有正相关关系

B.回归直线经过点（8,25）

C.b=2.4

D.当x=9时，残差为0.2

第1页（共20页）

6.（5分）记数列｛利｝,｛加｝的前几项和分别为Tn,若｛劭｝是等差数列，且S6=S5+25=90,anbnan+i

=1,则为0=（）

281040

A.-B.-C.—D.—

45454141

7.（5分）如图，圆台的上、下底面半径分别为尸1，/2,且2n+尸2=12,半径为4的球与圆台的上、下底面

及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（）

A.36nB.64nC.72KD.100K

+4%4-5xV0

一，若存在实数XI，X2,X3且2VX3，使得了（XI）=f（%2）

Inx,x>0

=f（X3），则Xl/（xi）+X2f（X2）+X3f（X3）的最大值为（）

A.3e3-12B.3/-20C.5e5-12D.5e5-20

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

—>—>

（多选）9.（6分）己知抛物线C-=8y的焦点为R直线y=fcc+2与抛物线。交于两点，且MF=4FN,

\MN\=9,贝以的取值可以为（）

11

A.-B.-C.2D.3

32

（多选）10.（6分）某校计划安排五位老师（包含甲、乙）担任周一至周四的值班工作，每天都有老师值

班，且每人最多值班一天，则下列说法正确的是（）

A.若周一必须安排两位老师，则不同的安排方法共有60种

B.若甲、乙均值班且必须排在同一天值班，则不同的安排方法共有48种

C.若五位老师都值班一天，则不同的安排方法共有240种

D.若每天恰有一位老师值班，且如果甲乙均值班，则甲必须在乙之前值班的不同的安排方法共有84

种

（多选）11.（6分）如图，在棱长为1的正方体/BCD-481clDi中，M,N,尸分别是Cim，CiC,AiA

的中点，则（）

第2页（共20页）

A.MN//A1B

B.平面截正方体所得的截面为等腰梯形

Vio

C.异面直线〃乂与。1尸所成角的余弦值为《一

D.A\DLBM

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

cos(2%+?)—cos(2x一冬)

（5分）已知s讥（％+看）=孚

12.则中拳

13.（5分）若复数z满足|z-3|+|z+3|=10,则目的最小值为.

14.（5分）已知/G）,g（x）是定义域为R的函数，且/G）是奇函数，g（x）是偶函数，满足/（x）

2

+g（x）=a/+x+2,若对任意的1<XI<X2<2,都有些以迎以>一3成立，则实数a的取值范围

Xl-%2

是.

三、填空题：本题共5小题，每小题13分，共15分。

15.（13分）记△/2C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知c—b=2cs讥23

（I）试判断△NBC的形状；

（II）若c=l,求△/BC周长的最大值.

16.（15分）篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》SFSN全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将

于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.

（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调

查，得到2X2列联表如下：

喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计

男性6040100

女性2080100

合计80120200

第3页（共20页）

依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？

（2）某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球

者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲

第〃次触球的概率为则Pi=l.

（力证明：数列｛「n-*｝是等比数列；

（拓）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.

2

2_n(<ad—bc')

X~(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)。

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.(15分)如图,在四棱锥尸-ABCD中,5。_LPC,/ABC=60°,四边形ABCD是菱形，PB=yflAB=0PA,

—>—>

E是棱尸。上的动点，且PE=1PD.

（1）证明：E4_L平面N8CD.

（2）是否存在实数入，使得平面为3与平面/CE所成锐二面角的余弦值是雪？若存在，求出入的值;

19

若不存在，请说明理由.

18.（17分）已知点尸（2,0）,直线/：x=l,动圆尸与直线/相切，交线段尸尸于点且|可=四|尸网.

（I）求圆心P的轨迹方程，并说明是什么曲线；

3TTT-»

（II）过点/且倾斜角大于7的直线/'与夕轴交于点与尸的轨迹相交于两点M1，跖,且FM=AFM1=

T11

"M2（入，蚱R）,求入+u的值及；+一的取值范围.

A«

19.（17分）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,

为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数f（x）=］（x>0）,/（x）在区间［。，切上的图像

连续不断，从几何上看，定积分「便是由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=!所围成的区域（称为

第4页（共20页）

曲边梯形尸)的面积，根据微积分基本定理可得C^dx=lnb-Ina,因为曲边梯形NBQP的面积小

aX

于梯形NBQP的面积，即S曲边梯形梯形/30P,代入数据，进一步可以推导出不等式:产二

Lna—lnb

2

ab

a—ba+b

(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：;——:

lna—lnb2

(2)已知函数/(x)—ax2+bx+xlnx,其中。，Z7GR.

(/)证明：对任意两个不相等的正数XI,X2,曲线y=/(x)在(xi,/(xi))和(X2,fg)处的切

线均不重合；

(zz)当6=-1时，若不等式/(x)22sin(x-1)恒成立，求实数a的取值范围.

第5页(共20页)

2025广东省惠州市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）设全集U=R,集合4={x,2-X-2>0},B={x\x^l},贝！]（CiM）A5=（）

A.[1,2]B.（1,2]C.（2,+8）D.[1,2）

【解答】解：^A={x\x2-x-2>0]={x\x>2x<-1},

则Cu/={x|-1WXW2},

因此（CuN）C8={x|-l〈xW2}n{x|x》l}={x|l〈xW2},

即（Cu/）C2=[l,2].

故选：A.

2.（5分）马戏表演中，小猴子模仿人类做引体向上运动的节目深受观众的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着

单杠并处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为50N,此时两只胳膊的夹角为60°,试估算小猴子的

体重约为（）

参考数据：取重力加速度大小为g=10m/s2,V3=1.732.

A.9.2kgB.7.5kgC.8.7kgD.6.5kg

【解答】解：作出小猴的受力示意图如图所示，

由题意，|。川=\0B\=50,NAOB=6Q°,

作平行四边形OACB,则04cB是菱形，

—>—>TT—>_

则。C=0A+OB,\0C\=2\OA\sin60°=50V3,

—>—>

所以|0G|=\0C\=50V3,

„,,,，八工,50V350X1.732

因此小猴的体重约为----=———x8.7(kg).

g10

第6页(共20页)

故选：c.

3.（5分）在△A8C中，“C=*”是“sin2/+sin23=l”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解答】解：在△/BC中，当C=5时，

则A+B=J

故sin2^+sin2B=sin2A+sin21]—A）=sin2^4+cos2^4=1,故充分性成立，

当N=120°,3=30°,满足sin2/+sin2g=l,但CK皆故必要性不成立，

综上所述，在A/BC中，“C=*”是“sin2/+sin22=l”的充分不必要条件.

故选：A.

4.（5分）某班级数学课上教师随机的从学生甲、乙、丙、丁中选择一名学生回答问题，据了解，甲、乙、

丙、丁答对该题的概率分别为0.8,0.6,0.4,0.2,则在此题答错的情况下，由乙回答此题的概率是

（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【解答】解：甲、乙、丙、丁答对该题的概率分别为0.8,0.6,0.4,0.2,

则甲、乙、丙、丁答错该题的概率分别为0.2,0.4,0.6,0.8,

1

此题答错的概率为IX（0.2+0.4+0.6+0.8）=0.5,

—x0.4

故在此题答错的情况下，由乙回答此题的概率是弓丁=0.2.

0.1

故选：B.

5.（5分）某公司研发新产品的投入x（单位：百万元）与该产品的收益＞（单位：百万元）的5组统计数

据如表所示：

X568912

y1620252836

由表中数据求得投入金额x与收益＞满足经验回归方程y=取+2.6,则下列结论中不正确的是（）

第7页（共20页）

A.x与y有正相关关系

B.回归直线经过点（8,25）

C.6=2.4

D.当x=9时，残差为0.2

【解答】解：由表中数据可知，随着x的增大，y也随着增大，故无与>有正相关关系，故/正确;

_1_1

x=1x（5+6+8+9+12）=8,y=jx（16+20+25+28+36）=25,

故回归直线经过点（8,25）,故8正确；

经验回归方程y=to+2.6,

贝U86+2.6=25,解得b=2.8,故C错误；

由。选项可知，y=2.8%+2.6,

当x=9时，残差为28-(2.8X9+2.6)=0.2,故。正确.

故选：C.

6.(5分)记数列｛即｝,｛6“｝的前〃项和分别为S”，Tn,若｛斯｝是等差数列，且$6=55+25=90,anbnan+\

=1,则710=()

281040

A.—B.—C.—D.—

45454141

【解答】解：因为｛即｝是等差数列，可设公差为力

由S6=S5+25=90,

+--Q--d=90

可得5X4,

(5%+受4=65

解得：｛%;，

所以劭=5+(〃-1)4=477+1,

11111

再由即为即+i=1得：*=病匚=(4n+l)(4n+5)=4.(而:一硒石)’

又数列｛6〃｝的前n项和为Tn,

则r„=Z7i+fe+...+^=1[(1-+(|-^)+...+(4^1-4^5)]=1(|-4^5^

所以一表)="x|=看.

故选：A.

第8页（共20页）

7.（5分）如图，圆台的上、下底面半径分别为尸1，尸2,且2/1+以=12,半径为4的球与圆台的上、下底面

及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（）

A.36nB.64nC.72KD.IOOTT

【解答】解：如图所示，作出轴截面，

01，。2分别为上下底面圆的圆心，M为侧面切点，。为内切球球心,

则。为。1。2的中点，

OMLAB,OO\=OM=4,0102=8,O\A=MA=nfChB=MB=r2,

因为2打+尸2=12,所以井2=12-2尸1,

则AB=MA+MB=ri+ri=12-r\

过点力作4GLO25,垂足为G,

贝I」BG=n-n=12-3尸i,

在RtA^^G中，由勾股定理得NG2+5G2=/B2,

即82+（12-3q）2=（12-q）2,解得尸1=2或n=4,

因为尸1<井2,所以尸1=2,r2=8,故45=10,

所以圆台的侧面积为nXIOX（2+8）=100K.

故选：D.

%2+4%+5/%<0

8.（5分）已知函数/（%）=若存在实数XI，XI，X3且X1<X2〈X3，使得/（xi）=f（X2）

Inx,x>0

=f（%3），则（XI）+X2f（X2）+X3f（X3）的最大值为（）

A.3e3-12B.3/-20C.5e5-12D.5e5-20

【解答】解：作出/（x）的函数图象如图所示：

第9页（共20页）

若存在实数XI，X2,X3，且％1<X2〈X3，使得/（X1）=/（X2）=/（%3），

因为y=/+4x+5的图象关于直线I=-2对称，

所以X1+X2=-4,

所以（xi）+x^f（X2）+x矿（X3）=（X1+X2+X3）f（X3）=（X3-4）f（X3）=（X3-4）blX3,

由图可知，IV/（X3）W5,所以eV%34e5.

设g（x）=（x-4）Inx,xE（e,e5］,所以g（x）=Inx+1

易知g'（x）在（e,e5］上单调递增,

4一一.

又9（6）=2—己〉0,所以当（e,e5r］时，g'（x）>0,

所以g（x）在（e,e5］上单调递增，

所以gOOma久=^（e5）=（e5-4）/ne5=5e5-20.

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

—>—>

（多选）9.（6分）已知抛物线。：/=匕的焦点为产，直线>=而+2与抛物线。交于两点，且MF=4FN,

\MN\=9,则入的取值可以为（）

11

A.-B.-C.2D.3

32

【解答】解：根据题意，抛物线C：f=8y的焦点为（0,2）,可得直线>=履+2过抛物线C，=匕

的焦点，

因为|MV|=9,即|MF|+|印=9,

1121

又由抛物线焦点弦的性质，可得+■=-=

\MF\|FN|p2

联立方程组,可得喘后或喘肾,

第10页（共20页）

TT1

又因为MF=1FN,所以入=*或2.

故选：BC.

（多选）10.（6分）某校计划安排五位老师（包含甲、乙）担任周一至周四的值班工作，每天都有老师值

班，且每人最多值班一天，则下列说法正确的是（）

A.若周一必须安排两位老师，则不同的安排方法共有60种

B.若甲、乙均值班且必须排在同一天值班，则不同的安排方法共有48种

C.若五位老师都值班一天，则不同的安排方法共有240种

D.若每天恰有一位老师值班，且如果甲乙均值班，则甲必须在乙之前值班的不同的安排方法共有84

【解答】解：对于/,周一必须安排两位老师，从5位老师中取两位周一值班，余下3位全排列，不同

的安排方法有髭质=60种,故N正确；

对于3,甲、乙均值班且在同一天，与余下3位一起的4个元素全排列，不同的安排方法共有用=24

种，故8错误；

对于C,五位老师都值班一天，则有两位老师在同一天值班，不同的安排方法有心用=240种，故C

正确；

对于。，显然甲乙至少有一位值班，如果甲乙都值班，除甲乙外还有两位老师各值班一天，

1

甲必须在乙之前值班的不同安排方法有；或力：=36种，

甲乙之一值班，不同的安排方法有禺用=48,所以不同的安排方法共有36+48=84种，故。正确.

故选：ACD.

（多选）11.（6分）如图，在棱长为1的正方体/BCD-481cl。中，M,N,尸分别是CiDi,CiC,AiA

的中点，则（）

A.MN//AiB

B.平面/iMN截正方体所得的截面为等腰梯形

第11页（共20页）

C.异面直线血W与。I尸所成角的余弦值为一丁

D.A\DLBM

【解答】解：对于/,在正方体中，因为N分别为CLDI,CIC中点,

所以aW〃AC,在正方体中，A\B//D\C,所以MN〃/1，因此/正确;

对于8,因为|Ma|=|NB|=字，MN//A1B,MN=%B,所以四边形//MW为等腰梯形,

即平面小儿W截正方体所得截面为等腰梯形，因此8正确；

对于C,因为“N〃0C,所以异面直线"N与。1尸所成角即为直线DC与。1P所成角,

设所成角为e,则cose瑞常yP=（劣2徐,陟=需因此c不正确;

对于。，由NLD_L/DI,A1DLAB,ADiP\AB=A,AD\,A8u平面因止匕4D_L平面NBCYDi,

又BAfc平面48clDi，所以/bD_L3M,因此。正确.

第12页（共20页）

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

cos(2%+/)—cos(2x—$

12.(5分)已知sin(x+看)=冬则

-6V3_.

cos(2x+^)sinxcosx

..Tt

cos(2x-{~)—cos(2x-)—2sin2xsin^—4sinxcosxsin^

【解答】解:

cos(2x+^)sinxcosxcos(2x+^)sinxcosxcos(2x+^)sinxcosx

—4sin5—4sin5-4义堂广

=___2_=____2_=__L.=_反

cos(2%+奇)1—2s讥2(%+卷)|0

故答案为：-68.

13.(5分)若复数z满足|2-3|+卜+3|=10,则|z|的最小值为4.

【解答】解：设z=x4”且％,昨R,又匕-3出z+3]=10,

所以J(%—3)2+y2-|_+3)2+y2=10,

即点(x,y)到两定点(3,0),(-3,0)的距离之和为10,

所以点(x,>)在以(3,0),(-3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，

由|z|二J%2+y2表示椭圆上点到原点距离,故其最小值为短半轴力=Va2-c2=V52-32=4.

故答案为：4.

14.(5分)已知/G),g(x)是定义域为R的函数，且/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足/(x)

+g(x)=ax2+x+2,若对任意的1<犯<&<2,都有正立迎步〉-3成立,则实数。的取值范围是—[—

Xi-%2

3,、

4'+°°)一•

【解答】解：因为/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足/(x)+g(x)=ax2+x+2,

可得/(-x)+g(-%)=~f(x)+g(%)=ax2-x+2,

口/口+9(%)=。必+%+25,日/、,c

联乂万程组八/、八J、2一解得g(%)=〃f+2,

(—/(%)+g(x)—a%—%+2

又因为对任意的1<XI<X2<2,都有9(")一。°2)>_3成立，

Xi-%2

第13页(共20页)

所以g(xi)-g(X2)<-3%1+3X2,所以g(xi)+3x1<g(X2)+3x2成立，

构造〃(x)=g(x)+3X=QX2+3X+2,

所以由上述过程可得〃(x)=af+3x+2在在(1,2)单调递增，

(力右。<0,则对称轴％o=-之2,解得一五工。<0；

(而)若q=0,h(x)=3x+2在(1,2)单调递增，满足题意；

(应)若〃>0,则对称轴&=一五41恒成立；

综上可得，a2-会即实数。的取值范围为+oo).

故答案为：［寸，+8).

三、填空题：本题共5小题，每小题13分，共15分。

15.(13分)记△NBC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知c—b=2cs讥2今

(I)试判断△NBC的形状；

(II)若c=l,求△/BC周长的最大值.

【解答】解：(I)因为c—=2cs讥21得s讥2决爰，

1—cosAc—bh

可得---；---=——，即cos/=

22cc

i<2ir2_/72卜

由余弦定理得丁=即。2+y=02,

2bcc

可得c=£,所以是直角三角形；

(II)由(I)知，直角三角形45。中，6z=siiU,b=cosA,

所以周长为1+sinA+cosA=1+V2sin(7l+4),XG(0/

所以当A=寸，即△NBC为等腰直角三角形，周长有最大值为迎+1.

16.(15分)篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》SFSN全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将

于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.

(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调

查，得到2义2列联表如下：

喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计

男性6040100

第14页(共20页)

女性2080100

合计80120200

依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？

（2）某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球

者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲

第〃次触球的概率为丹，则P=l.

（力证明：数列入-芬是等比数列；

（/7）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.

2

2_n(ad—be)

X—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【解答】解：（1）假设Ho：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.

2200x（60x80-20x40）2100

X=100x1前装0X120—=—>10828=%o.ooi，

依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断为不成立，

故能认为喜爱篮球运动与性别有关，从此推断犯错误的概率不超过0.001.

（2）证明：（力第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一

人，

111

则P"=Pn_i-0+（1-P吁1）•3=-3^-1+3，

所以Pn=一号（尸71T_.）；

一1?

又匕

131

所以｛Pn-/｝是以I为首项，-寺为公比的等比数列.

211

（"）由⑺,P"=*（=/t+?

2324

所以P24=X•（—1）+|<|>P25=1-（-1）+|>1-

所以甲是第25次触球者的概率大.

17.（15分）如图，在四棱锥尸-ABCD中，BDLPC,ZABC=60°,四边形N5CD是菱形,PB=6AB=立PA,

—>—>

E是棱尸。上的动点，且PE="D.

第15页（共20页）

(1)证明：B4_L平面48CZX

2V19

⑵是否存在实数入，使得平面研与平面这所成锐二面角的余弦值是若存在，求出入的值;

【解答】解：(1)证明：因为四边形/8C。是菱形，所以

因为BD_LPC,AC,PCu平面F4C,且/CAPC=C,

所以8O_L平面为C.因为au平面aC,所以

因为PB=&4B=V2PX,所以PB2=AB2+PA2,所以

因为45,8£>u平面/8C。，且4BCBD=B,所以为，平面/BCD

(2)取棱CD的中点尸，连接/尸,易证48,AF,/P两两垂直，故以《为原点，建立如图所示的空间

直角坐标系.

设/3=2,则/(0,0,0),C(l,V3,0),D(-1,V3,0),P(0,0,2),

—»

故力C=(1,V3,0),PD=(-1,V3,-2),4P=(0,0,2).

—>—>—>

因为PE=4PD,所以PE=(—;I,V3A,一2/1),则余=兄+玲=(一九V3A,2—24).

n-AC=%+V3y=0

设平面/CE的法向量为£=0，y,z),则

n•AE=—Ax+V3Ay+(2—2A)z=0

令光=遍，得n=(B,—1/

第16页(共20页)

平面的一个法向量为茄=（0,1,0）.

设平面以3与平面/CE所成的锐二面角为仇则cos»=|cos而，茄）|=卫雪=1.=尊，

\n\\m\3超19

整理得3人之+2入-1=0,解得2=■或入=-1（舍去）.

12V19

故存在实数4=最使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是一二〕.

319

18.（17分）已知点9（2,0）,直线/：x=],动圆尸与直线/相切，交线段尸打于点M,且1Pp=鱼|耽.

（I）求圆心P的轨迹方程，并说明是什么曲线；

37r——

（II）过点歹且倾斜角大于7的直线/'与y轴交于点M,与尸的轨迹相交于两点M1，跖,且FM=4FM1=

T11

11FM（入，neR）,求入+u的值及；+一的取值范围.

2A«

【解答】解：（I）设点尸（x,y）,圆尸的半径为％4为P到直线/的距离，贝ljd=r,

根据题意，动点尸的轨迹就是点的集合，

A={\PF\=V2\PM]}={|PF|=V2d},

J(x-2尸+y2=V2|x-1|,

比2y2

整理得(x-2)2+y2=2(x-1)2,即万——=1»

所以，点P的轨迹是焦点在x轴上，实轴长、虚轴长均为2或的等轴双曲线.

(II)设直线I'：x=my+2,

3TT

..,倾斜角大于下，・••冽E(-8,-1),

4

2

设A/1(XI，>1),M2(X2，J2)，M(0,——),

_zi-1

联立’22一工得Cm2-1)y2+4my+2=0(m2-1>0),

(x=my+2

第17页（共20页）

A=16冽2-8（冽2-i）=8（m2+l）>0

2.—4m

y/2=乃+丫2=E'

丽=（比1-2,yj,京2=3-2,y2）,嬴=（一2,一）

•/FM=AFMr=fiFM2,

"~m==〃、2，

_Q—4m

c22-22-2（%+丫2）v藤=

A=-----，林=-----，A+jtz=------------=----------=---------=4,4

my1^mymy771yly2'm

22m2-l

—4m2c

.1,1_M（yi+y2）__2M2_2

A/z—2—2m2—1m2—1

1

由加E（-8,-1）,得6（0,+oo）,

mz-l

11

・・・；+一的取值范围是（2,+8）.

A[1

19.（17分）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,

为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数/（久）=/（久＞0）,/（X）在区间［。，切上的图像

连续不断，从几何上看，定积分C便是由直线x=a,x=6,y=0和曲线y所围成的区域（称为

曲边梯形尸）的面积，根据微积分基本定理可得《^dx=lnb-Ina,因为曲边梯形NBQP的面积小

于梯形N3QP的面积，即S曲边梯形/2。尸＜5梯形/20P,代入数据，进一步可以推导出不等式:产二