权方和不等式（含柯西不等式的应用）（高阶拓展、竞赛适用）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第06讲权方和不等式（含柯西不等式的应用）

（高阶拓展、竞赛适用）

12.考情探究

本节内容为基本不等式的高阶拓展，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题，常在高考及竞

赛中做到类型题的秒解！

知识讲解

一、柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

(a2+62)(c2+d2)>(ac+bd)2(a,b,c,dGR,当且仅当ad=be时,等号成立.)

2.二维形式的柯西不等式的变式

(1)Va2+b2-Vc2+d.2>\ac+bd\{a,b,c,deR,当且仅当ad=bc时，等号成立.)

(2)Va2+b2-7c2+d2>\ac\+\bd\(ia,b,c,deR,当且仅当ad=be时，等号成立.)

(3)(a+/))(c+cT)>(Vac+Vbd)2Qa,b,c,d>0,当且仅当ad=be时，等号成立.)

2

3.扩展：(山+期+送H-----1-端)(国+必+国+…+/>„)>(a/i+a2b2+a3b3+…+anb,l)

二、权方和不等式：

若a,b,x,y>0则—+—>（a+Z?）2当且仅当-=-时取等.

xyx+yxy

（注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀）

广义上更为一般的权方和不等式：

设X],9,…,X"外

若…或…'则『『…+宗

m+1m+1/\w+l

占I9V(X1+X2+…+%)

若-1<m<0,则

y"'(必+了2

上述两个不等式中的等号当且仅当土=三=恐=-=区时取等

%%为y,,

注意观察这个不等式的结构特征，分子分母均为正数，且始终要求分子的次数比分母的次数多1,出现定值

是解题的关键，特别的，高考题中以777=1最为常见，此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.

考点一、权方和不等式全解析

典例引领

例1：若正数x,y满足工+工=1,则x+2y的最小值为

11_12_12（④）（1+3）

解:

xyx2yxl（23；）1（x+2v）'

1+V2「1J2「6

即^------+2y23+20，当且仅当一=J时取等号，即》=亚+1，y=注+1时取等号

（X+2V）1-x2y-2

所以x+2y的最小值为3+2行

13

例2：若x〉0,y>0,-----+-----=2,贝U6x+5y的最小值为_______________

2x+yx+y

13112I2（2码（1+26）13+473

解:

2x+yx+y2x+y4（x+y）2x+y4（x+y）6x+5y6x+5y

即2>"+4百则用5了吟+2忖当且仅当一=合时取等号

6x+5y

4949

例3：已知正数满足一+—=1,则小一+--的最小值为___________

xy2x+xy+y

494292

解:1

—?--------1—5X2X+J

2%+%y+歹4（2+）9（/+^）18

xyxy

491

—+—=1

49_X

y17

9

=T■时取等号.由•4x=——

当且仅当3T-，解得2,

8+-9+-X一）j=17

XV49

8+-9+-

Xy

12

例4：若a〉l,Z?>0,Q+Z?=2,则----+—的最小值为_______________

a-1b

212

解：1+.+(、b)〉(1+拒).3+2立，当且仅当工=也时取等号

a-\ba-\ba+b-l"1°

一入2

例5：若a〉l,b>l,则二」的最小值为______

b-1a-1

岳刀a2b1(a+b)2(/+2)24

解：+>A-----L=1——L=%+：+4>8

b—1a—1Q+b—2tt

ab

二a2b-

当且仅当b—1a—1时取等号，即a=b=2,所以出—+工一的最小值为8

Q+6-2=2b~-1a-1

222

例6:已知正数x,y,2满足x+y+2=l,则---x----卜上「的最小值为

>+22z+2xx+2y

解：上+上—(f+Z了一

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y-3

XVz

当且仅当~~--\-c时取等号

y+2zz+2xx+2y

149

例7：已知正数x,y,z满足x+y+2=l,则一+一+一的最小值为______________

XyZ

铲149_122232^(l+2+3)2_123

角牛：++—++2——：36，当且仅当一=一=一时取等号

xyzxyzx+y+zxyz

例8：已知正数1,V满足x+y=l,则4+8

■—的最小值为______________

Xy

33

A18I2(1+2)3M

角垄•------〉--------------

用牛•21---2-=---2-1---2-—/\2=27'

xyxy(x+j?)

12

当且仅当一二一时取等号

%y

14

例9：求一+一二的最小值为________

sin0cos0

14I222:(1+2)2「9

解・o19—,11W

sin2^cos2^卜i/dj(cos2^)1(sin28+cos?8)i

当且仅当一4/==式时取等号

sin6cos0

例10：求/(x)=———+——3——的最小值为______________

2sin-x+35cosx+6

解

“、585242(5+4)281

2sin2x+35cos2x+65(2sin2x+3)2(^5cos2x+6)10(sin2x+cos2xj+2737

54

2

当且仅当河…=2(5COSX+6)时取等号

例11：权方和不等式"是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的.其具体内容为：设

/\m+l

(%++〃3+°,,+J

工+―+工+…+二2

an>0,">0,〃GN*,m>0,,当且仅当

坪螳隙b：((+4+4+…+4)"

a>2^^3a迪+」一取得最小值时，X的

=片时,等号成立.根据权方和不等式,若当

b

入b2b3nsinxcosx

值为（）

71Tt715兀

A.——B.C.一D.—

126312

解：由题意得,sinx>0,cosx>0,

322

373137(3+1尸2

F7

贝！一十----T+1T=4=8,

sinxcosx

sin2xJcos2x2sin2x+cos2x2

当且仅当3=」，即cosx=1时等号成立，所以X=g.

sinxcosx23

49149

例12：已知正数X,V满足一+—=1,则；^一+——的最小值为______

xy2x+xy+y

4292(49?

解：」-+」-=/4292工+上〉打》

1

22

2厂+xy+y4(2X+X)9(/+J)8+19+--+-+1718

xyxy

49

当且仅当」彳=一%时取等号

8+-9+-

xJ

例13：已知x+2y+3?+4M+5V=30,求x?+2y2+3z?+4/+5/的最小值为

解：

2222

X+2/+3Z+4M+5V=二+住£+色上+把t+包

12345

（x+2y+3z+4"+5z『302

>-----------------=—=60

1+2+3+4+515

当且仅当％=y=z=u=v时取等号

例14：已知Q>0,b>0,。+6=5,求Ja+l+"+3的最大值为

解:G+所=^±^+^4£/"1+"3）5=。=30

1~2f2（1+1户21

当且仅当a+l=b+3时取等号

2

例15：求/（x）=7X-3X+2+，2+3x-/的最大值为

解：

当且仅当3》+2=2+3》一》2时取等号

例16：已知正数。，b,。满足。+6+。=1,求J3a+1+J36+1+J3c+1的最大值为

解：

_1__1__1_

I---------/———I-----（3tz+l）2（3Z?+1）2（3c+1）2

73a+1+J36+1+73c+1=

1

l-「5「

（3Q+1+3b+1+3c+1）2

=30

-21

（1+1+1户

当且仅当。=b=c='时取等号

3

考点二、柯西不等式全解析

典例引领

例1：用柯西不等式求函数》=岳二1+岳+万方的最大值为

A.722B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】配凑目标函数，再利用柯西不等式即可求得结果.

【详解】由柯西不等式可得，

函数尸j2x-3+岳+j7-3xM而+(冈

I+12xd（2x-3）+x+（7-3x）=4

当且仅当外时,

即x=2时等号成立,

故该的最大值为4.

故选：C.

例2：由柯西不等式，当x+2y+z=4时，求正+6+G的最大值为()

A.10B.4C.2D.V10

【答案】D

【分析】利用柯西不等式可得(x+2y+z)(4+2+4)2(24+2万+2正了,即求.

【详解】解：由柯西不等式，得(X+2J，+Z)(4+2+4)N(26+277+2G)2,

当且仅当广当=(,即x=2=时，等号成立.

因为x+2y+z=4,所以(«+6+正)2V10,

贝！+6+,故4+77+正的最大值为.

故选：D

例3：已知x/e(0,y),若4+33〈4历工恒成立，利用柯西不等式可求得实数上的取值范围

是.

【答案】k>屈

【详解】试题分析：由柯西不等式得(4+3/)24(l+32)(x+J)，所以4+3774VJ万7^工7,即左〉

考点：柯西不等式

例4：已知2无+3y+6z=12,求x?+必+丫的最小值.(利用柯西不等式)

144

【答案】访

【分析】利用柯西不等式进行求解.

144

【详解】由柯西不等式可知：(X2+/+Z2)(4+9+36)>(2x+3y+6z)2>——,

x_y_z

.一+1+八%当且仅当,243672

2~7~6，即x=—?y=—,z=—

494949

2x+3y+6z=12

【点睛】本题考查的是函数最值的求法，主要通过消元和配方解决问题，也可以是利用柯西不等式进行求

解.考查学生的转化能力.

例5：已知正实数。，b,c,。满足a+6+c+d=l,则一J—+-~~]--+—；—+,1，的最小值

a+b+cb+c+ac+a+aa+a+b

是.

【答案】y/51

【分析】

利用配凑法及柯西不等式即可求解.

【详解】

由题意可知，一j—+,1+—；—+,1〃

a+b+cb+c+ac+a+aa+a+b

=—[3(a+b+c+d)]xf----1---------1---------1--------]

3L」\a+b+cb+c+dc+d+ad+a+b)

=—「(q+6+c)+(6+c+d)+(c+d+a)+(d+a+6)]x[--------1--------1---------1--------|

3L」(a+b+cb+c+dc+d+ad+a+bj

>|(l+l+l+l)2=y,当且仅当a=6=c=d=；时取"=〃号.

所以原式的最小值为号.

故答案为：—.

例6：已知非负实数a、b、c、d满足ab+bc+cd+da=1,求证:

/+〃+d+d'J.

b+c+dc+d+ad+a+ba+b+c3

【答案】证明见解析

【分析】利用切比雪夫不等式的推论、柯西不等式及均值不等式即可求解.

【详解】不妨设OWaVbVcWd,贝IJOw/w/vc2Vd2.

，己a+6+c+,=S,贝iJS-a2s-6NS-cNS-d>0,—

S—ciS—bS—cS—d

依次运用切比雪夫不等式的推论1、柯西不等式、均值不等式得到

a3b3c3d3

--------1---------1---------1--------

b+c+dc+d+ad+a+ba+b+c

a2-ab2-bc1-cd2-c1/?

-----1------1------1-----2-~Ici+b7?+c?+屋)•(a+6+c+<7)

S-aS-bS-cS-d42v

2222x

>-L(a+b+c+d]-4

48v)

=、(/+62)+伍2+02)+卜2+/)+(/+/)]

>—(2ab+2bc+2cd+2da)

=g(ab+be+cd+da)=g,

故原不等式正确.

12.好题冲关

能力提

一、单选题

12

1.（2024•山西临汾•三模）若0<无<1,则一+；—的最小值是（）

xl-x

A.1B.4C.2+2后D.3+2也

【答案】D

【分析】根据基本不等式及"1"的妙用计算即可.

【详解】因为。<无<1,所以l-x>0,

贝让+二-=仕+[-].|\+（1_*=3+4+■23+2收，

Xl-xyXl-x）LJxl-x

1—Y0Y

当且仅当」=卢，即》=血-1时，等号成立，取得最小值3+2行，

XL-x

故选：D.

2.（2024•江苏扬州•模拟预测）已知x>0,y>0,且2x+y=l,则廿上的最小值为（）

xy

A.4B.4及C.6D.272+3

【答案】D

【分析】利用乘“甘法及基本不等式计算可得.

【详解】因为x>0,y>0,且2x+y=l,

2xy__2xy

所以—+—+3>2J----—+3=2拒+3,

中yy%yx

当且仅当在=2,即工=生变，y=1时取等号.

Vx2

故选：D

3.（2024•江苏南通二模）设％>0,y>0,-+2y=2则％+,的最小值为

f）

%y

3/—3rz

A.-B.2-\/2C.—+V2D.3

【答案】c

【分析】由不等式"1"的代换求解即可.

【详解】因为'+2y=2,所以）+y=l,

x2x

因为％>0,V>°,所以=|XH—||-y\=—+xy+-F1

yIV八2x；22xy

△+2x也

22

xy=-----1+V2

2xyx=--------

当且仅当＜即2时取等.

—+y^\y=2-返

［2x

故选：C.

4.（2024・四川成都•模拟预测）若6是正实数，且+=贝普+方的最小值为）

3a+b2a+46

42

A.-B.-C.1D.2

53

【答案】A

【分析】观察等式分母可知（3q+b）+（2q+4b）=5（q+b）,利用基本不等式中〃1〃的妙用可得结果.

［详解］因为a+6=；（5a+5b）=:［（3a+6）+（2a+4b）］=y［（3a+b）+（2a+

1（.2a+4b3a+by1f_12a+4b""3a+b）4

=-2+---------+---------->-2+2J---------------------=-

513a+b2a+4bJ5（N3a+b2a+46J5

当且仅当3=：1时取等号，

4

所以a+6的最小值为

故选：A

14

5.（2024・河南•模拟预测）己知点P（无/）在以原点。为圆心，半径r=J7的圆上，则-；---1；的最小值

x+1y+1

为（）

45+2直7

A.-nC.D.1

999

【答案】D

【分析】由题可得点P满足的圆方程#+/=7,进而(公+1)+(/+1)=9,然后利用基本不等式结合条件

即得.

所以，[2+1)+(/+1)=

【详解】由题意可得点尸的坐标满足f+/=7,9.

/+1]+/+4]=§[(“2+1)+(/+1)]14

因此,—；17

x2+1y2+1

2

5+24(X+11

>—5+2,1.

-9X+1V+19x2+\/+1

2

「+14(X+1

当且仅当时，即x=±0,y=±八时取等号.

x2+l-y2+l

故选:D.

设正实数小满足2=2,则匚+击的最小值为（）

6.（2024.全国.模拟预测）

34

AB.C.一D

-t45-1

【答案】C

【分析】由已知可得。+1+"2=5,根据《的代换化简得出土+为=蛆+b+2。+1

-----1-----.进而根据基

a+1b+2

本不等式，即可求得答案.

【详角星】因为〃+b=2,所以〃+1+6+2=5,

(。+1+6+2)=12+6+2a+1

所以-----1-----——.-----1-----

6Z+1b+251。+1b+2tz+16+2

%+2_4

>-2+2.

-5

5、a+lb+27

31

当且仅当Q+1=6+2,Q+6=2,即Q=/=时，等号成立,

22

114

所以力+E的最小值为十

故选：C.

2

7.(2021・浙江•模拟预测)已知x>0,yeR,S.x+xy-x+5y=30f则万工+,30-3y的最大值为

A.V3B.-\/6C.2A/6D.3y2

【答案】C

【分析】依题意得x+P=6,则万工+J30-3/=万1+6进而由柯西不等式可得最大值.

【详解】由一+孙一x+5y=30可得f一工一30+盯+5》=0,即(％+5)(x+y—6)=0.

由x>0可知x+y=6,以J2-x+J30-3y-J2-x+J12+3x=-x+-x/3,J4+x.

由x>0,2-x20可得0<x«2,

由柯西不等式得

(yll-x+V3-V4+X)2<[l2+(V3)2]­[(A/2-x)2+(V4+I)2]=24,

所以y/2-x+V3-j4+x<2娓,当中*=必三即x=1时，取等号.

A/312

所以j2-x+,30-3y的最大值为2指■

故选：C.

【点睛】关键点点睛：在得出万匚+937=拒金+6•百行之后，关键在于根据题目特点应用柯西

不等式求最大值.

8.(高三上•浙江宁波・期中)设q,b为正实数，且。+26+上1+：2=?13,则上1+2：的最大值和最小值之和为

ab2ab

9

2U9

-13一

A.B.22D.

【答案】C

2「(112

【分析】根据题意可得77。+26+—+工=1，再由〃1〃与上+：相乘利用基本不等式转化为

131_\ab)\ab

2「(12Y]12

-9+-+-4―+=，解不等式即可求解.

13\abJab

i?la2

【详解】由〃+26+-+工==,则百

ab213

所以

当且仅当学=也时，即或］时，等号成立,

ba23

即19+1+|[+]解得+

所以上1+：2的最大值为9;；最小值为2；

ab2

所以最大值和最小值之和为彳.

2

故选：C

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值需验证等号成立的条件，属于中档

题.

ryim

9.（2024•辽宁•一模）已知加>2〃〉0,则-----H—的最小值为（）

m-2nn

A.3+2亚B.3-2V2C.2+3后D.372-2

【答案】A

【分析】根据题意，加=（加-2〃）+2〃，将所求式子变形，利用基本不等式求解.

【详解】由机>2〃>0,

:.m-2n>0fm=（m_2n）+2n,

m+加_（冽-2〃）+2〃+（冽一2〃）+2〃_3+2n^m-2n>^+242

m-2nnm-2nnm-2nn

当且仅当上）=竺二女，即机=（2+亚）〃时等号成立.

m—2nn'7

故选：A.

1Y24V之

10.（23-24高一上•甘肃兰州•期末）对任意实数不等式---^+~2~r—恒成立，则实数

。的最大值（）

A.2B.4C.D.2V2

2

【答案】D

【分析】

首先不等式变形为/4^^+三恒成立，再利用两次基本不等式求t=+工的最小值，即可求解。

2y—1x—12y—1x—1

的取值.

Y4v

【详解】不等式F―n+2Jn21恒成立,可转化为

aa(x-lj

4J21

/vd+三恒成立，其中

2y-lx-12

令t=X?+4/_=(x-l)-+2(x7)+[*(2j]]+2(2jl)+l

2)—1x—12y—1x—1

第二次使用基本不等式，等号成立的条件是x-l=—1且2y-1=7」，

x-12y-1

得x=2且y=l,此时第一次使用基本不等式(A1+2(xT)+l=(2y(+2(2)，-1)+1,说明两次基本不

2》—1x—1

等式能同时取得，

所以7-1■-J的最小值为8,

27-1x-1

即/W8,则一2后Wa42后，

所以实数。的最大值为2VL

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求f二或7+今二的最值时，需变形为

2y-lx-1

x24y2(x—1)+2(x—1)+1(2y—1)+2(2y—1)+1壬、田一亦、为甘*/卒一卡目/古

t=-------+二一=——----———+」~----」——一，再通过两次基本不等式求最值.

2y—lx-12y—1x-1

二、填空题

10

11.(2024•宁夏石嘴山•模拟预测)已知孙〃e(0,+(»),一+〃=4,则加+一的最小值为.

mn

【答案】4

【分析】利用乘"1"法及基本不等式计算可得.

【详解】因为加,"e(0,+<»),—+«=4,

m

b,,9If9Y1If9

所以加+—=—m+———\-n=—mn-\-------FlO

n4vn)\mJ4(mn

9

当且仅当加〃=—，即加=1,〃=3时取等号.

mn

故答案为：4

12.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）已知实数]>0,6>2,且--+--=4,则2。+6的最小值是

a+1b-23

【答案】24

【分析】变形后，利用基本不等式“1〃的妙用求出最小值

191

【详解】因为。>01>2,且--+

a+1b-23

所以言+占f

厂/、/、i363（6-2）12（（2+1）

所以2〃+b=「2（Q+l）+（b-2）］——+——=6+6+己————L

L'7v〃|_a+lb-2\a+1b-2

30-2）12（a+l）

>12+2J——L•———=24，

VQ+lb-2

当且仅当3伍—2）J2（a+l）,即b_2=2（a+l）,a=5,6=14时等号成立，

。+1b—2

故答案为：24

41

13.（2024・河南•三模）在“3C中，角4瓦。的对边分别为6,c,若a+6+c=2,则一7+―的最小值

a+bc

为.

【答案】|

【分析】a,6,c是。8C的边长，所以它们是正数，利用乘"工"法结合基本不等式即可求解.

【详解】因为a+b+c=2,

所以」^+'=；（-y+9]（a+6）+c]

a+bc2\a+bc」

1（.4ca+b}1（__I4ca+b\9

2Ia+bcJ2[\a+bc）2

4cab41Q

当且仅当三=即a+6=2c时等号成立，故」7+士的最小值为;.

a+bca+bc2

9

故答案为：—.

14.（2024・广西河池•模拟预测）若实数。>1>6>0,且/+26=/+2a,则工+?的最小值为____.

a-1b

【答案】4

【分析】根据。>1>6>0,将/+26=62+20化简可得。+6-2=0,再根据基本不等式"1"的巧用求解最值

即可.

【详解】由/+26=/+2a可得("9(。+6-2)=0,

因为q>l>b>0,所以a-bwO,即a+b-2=0,贝！Ja-1+6=1,

则」：

-7+==4,

a-1b

当且仅当一<即”=!时等号成立，故一1+。的最小值为4.

a-1b22a-\b

故答案为：4.

21

15.（2024•全国•模拟预测）已知x>l,y>0,且x+—=2,则—>的最小值是________,

yx-1

【答案】3+20/2及+3.

【分析】利用"1"的巧用及基本不等式即可求解.

22

【详解】由'+—=2,得%—1+—=1,

yy

因为x>l,>>o,

所以x—1>0/>0,

所以7+〉=j1-1+—-+J|=3+(x-l)^+--->3+2(x-l)y--——=3+272,

x—ll歹八xT)(xTRV(xT)歹

2

当且仅当a-1)歹=T——,即％=血，尸2+五时，等号成立，

所以占+y的最小值是3+2日

故答案为：3+272.

62

16.（2024・全国•模拟预测）已知x>y>0,------+-------=1,则2x-y的最小值为_____.

x+yx—y

【答案】12

【分析】令°=/一，b=—,从而可得》=工+；,y=--1,再根据2x_y=j，+：］（3a+6）,结合基

x+yx-yababyab）

本不等式求解即可.

2222

【详角军】令。=，b=,贝！］%+>=—，x~y=~且a〉0,b〉0,

x+yx-yab

所以％=—+—,y=-------

abab

又3〃+6=l,所以2%—y=20+口一仕一口」+；=0+：］(34+6)

\ab)\abJab\abJ

_b9a八__b

3H----1------1-326+2,%=12,

abab

当且仅当a=J,b=1,即x=8,>=4时，等号成立.

62

故答案为：12

17.（21-22高三上•天津南开•期中）己知正实数a,6满足。+6=1,则,+三的最小值为________.

ab+\

【答案】1/2.5

1414

【分析】将目标式转化为一+--2,应用柯西不等式求—+「的取值范围，进而可得目标式的最小值,

aP+1ab+\

注意等号成立条件.

【详解】由题设，a=l-b,贝lj^+工='+^^=L+工一2,

aP+1aP+1a/7+1

X（«+^+l）（-+7^7）=[Va--^+V^+l--7==]2=9,

ab+\yjaJb+1

1+49当且仅当。=A号+i时等号成立，

ab+\22

+=当且仅当a=[时等号成立.

ab+12223

.J+二的最小值为:

故答案为：—.

22

18.（2024•江西•一模）已知正数无，y满足x+y=6,若不等式+J恒成立，则实数0的取值范