高考数学一轮复习：平面向量及其应用、复数【导学案】

第五章I平面向量及其应用、复数

第一节平面向量的概念及其线性运算

课程标准

1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.

2.理解平面向量的几何表示和基本要素.

3.掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.

4.掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含

义.

5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.

基础扎牢基础不牢•地动山摇

［由教材回扣基础］

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有太小又有包包的量叫做向量；向平面向量是自由向量，可在平

向量

量的大小叫做向量的长度（或称模）面内自由平移

零向量长度为小的向量记作0,其方向是任意的

单位向量长度等于L个单位的向量非零向量a的单位向量为土高

方向相同或相反的非零向量（又叫做共

平行向量0与任一向量平行或共线

线向量）

两向量只有相等或不相等，不

相等向量长度相等且方向相同的向量

能比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

(1)交换律：

求两个向量和的运算21a1ba+b=b+a；

加法三角形法则

叫做向量的加法3(2)结合律：(a+b)+c=@

平行曲边形法则+(b+c)

求a与6的相反向量XV

减法-b的和的运算叫做a—b=a+(—b)

a与b的差三角形法则

|ia|=R||a|,当拉0时，2a的方

2(〃a)=

求实数4与向量a的向与a的方向相同；当2<0时，

数乘(7+〃)a=ia+jua；

积的运算4a的方向与a的方向相反;当2

2(a+b)=2a+ib

=0时，7a=0

3.共线向量定理

向量a(arO)与b共线，当且仅当有唯一一个实数7,使得bma.

澄清微点•熟记结论

(1)设尸为线段A3的中点，。为平面内任一点，则/=)(示+苏).

(2)若G是△△3c的重心，。是边的中点，贝V

®GA+GB+GC=O;

②就当前+就)；

③而=1(GB+GC)=1(AB+AC).

/o

(3)在四边形ABC。中，若E为AO的中点，歹为5c的中点，则成+方万=2石方.

(4)~OA=fOB+fT5c(7,"为实数)，若点A,B,C三点共线，则2+〃=l.

(5)解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向

量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.栗特别注意零向量的特殊性.

［练小题巩固基础］

一'准确理解概念(判断正误)

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()

(2)若向量其与向量方是共线向量，则A,B,C,。四点在一条直线上.()

⑶当两个非零向量a,b共线时，一定有b=2a,反之成立.（）

答案：（1）X（2）X（3）J

二、练牢教材小题

1.（湘教版必修②P11T3）化简：~AB+~DA+^D~^C~~CA=.

答案：AB

2.（人教B版必修②P143例2改编）已知|a|=L|b|=2,则|3a+2bl的最大值和最小值分

别为.

答案：7,1

3.（人教A版必修②P14例6改编）已知%的对角线AC和BD相交于点0,且工？

—a,OB=b,则。C=,BC—.（用a,b表示）

答案：b-a—a—b

4.（人教A版必修②Pl5T2）点C在线段A3上，且普=|，则就=______'AB,BC

________~AB.

答案：|

三、练清易错易混

1.（忽视零向量）下列命题中，正确的是（）

A.a与b共线，b与c共线，则a与c共线

B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

C.两个共同起点且相等的向量，其终点必相同

D.零向量与任意数的乘积都为零

答案：C

2.（忽视向量相等的条件）若四边形ABC。满足而〃就且区咨|=|万方则四边形ABC。

的形状是.

解析：当|而|=|就|时，四边形ABCD是平行四边形；当|说同西寺|时，四边形A3CD

是等腰梯形.

答案：平行四边形或等腰梯形

1考法研透--方向不对，努力白费

命题视角一平面向量的基本概念（自主练通）

1.设a是非零向量，4是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.a与2a的方向相反

B.a与〃a的方向相同

C.|-2a|^|a|

D.|-7a|，D|a

解析：选B对于A,当；l>0时，a与九i的方向相同，当；IVO时，a与;la的方向相反;

B正确；对于C,|一瓶|=|一川|a|,由于|一用的大小不确定，故|一瓶|与|a的大小关系不确

定；对于D,园a是向量，而|一布|表示长度，两者不能比较大小.

2.(多选)下列命题为真命题的是()

A.若a与b为非零向量，且2〃1),则a+b必与a或b平行

B.若e为单位向量，且2〃6,则a=|a|e

C.两个非零向量a,b,若|a—b|=|a|+|b|,则a与b共线且反向

D.“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件

答案：ACD

3.如图，等腰梯形ABC。中，对角线AC与80交于点P,点E,尸分别V—

在两腰AO,5c上，E尸过点P,且EF〃AB,则下列等式成立的是()2/^\\

A.AD=BCB.AC=BD。°

C.PE=-PFD.EP=PF

解析：选D根据相等向量的定义，A中，而与就的方向不同，故A错误；B中，就

与正的方向不同，故B错误；C中，无与不芹的方向相反，故C错误；D中，窗与¥7

的方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故D正确.

［一“点”就过］

解决向量问题的关键点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一■定是平行向量，但平行向量

未必是相等向量.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的

平移混为一谈.

(4)y-是非零向量a方向上的单位向量，因此单位向量7^~；与a方向相同.

IaIIaI

命题视角二平面向量的线性运算

考法(一)平面向量的线性运算

［例1］(1)(2020•新高考II卷)若。为△45C的边A5的中点，则=()

A.2CD-CAB.2CA-CD

C.2CD+CAD.2CA+~CD

(2)在四边形ABCD中，AB//CD,AB=3DC9£为5。的中点，则府等于()

2—>1—>

A.TAB+^AD?——c

一一：1

“A^—------

C.1AB+；AD

I--—>.5~~—>

D.TAB+TA£>

Jo

［解析］(1)：O为△ABC的边A5的中点，.•.员=；(市+,),，,=2员一方L

故选A.

(2)由就=~BA+AD+DC=~^AB+~AD,^AE=~AB+~BE=~AB+^BC=~AB+

•J/

苴4£)—1AB^=|AB+#力.故选A.

［答案］(DA(2)A

［方法技巧］

向量线性运算的解题策略

(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法

则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则.

(2)用基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角

形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.

考法(二)利用向量的线性运算求参数

［例2］(2022•韶关模拟)在△ABC中，点M为AC上的点，KAM=^MC,^~BM=XBA

+4BC,则2—〃的值是()

A.1B.JC.lD.T

乙SS

［解析］由AW=JM\,得AC；所以=5A'+ZW=5A>+?AC’=+1

/sst

______)___［____________)_11

(BC—BA)=TBA+TBC,又因为KA/=2+"B(^,所以2=、，"=Q,故义一4=Q.故

选c.

［答案］C

［方法技巧］

利用向量的线性运算求参数的方法

与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量线性运算的三角形法

则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数.

［针对训练］

1.在△ABC中，。为AB的中点，点E满足而'=4^,则说=()

5—»4—4—>5—)

A.TAB-TACB.TAB-TAC

6336

5—>4—>4—>5—>

C.TAB+TACD.TAB+TAC

oJJo

解析：选A为A5的中点，点E满足说=4厉不，

/.BD=|sA,~EB=^CB,

:JED=EB+BD=^CB-^AB

J乙

4z____>、1—>5—>4—>

=3(AB>-AC)-2AB—§AC.

2.设M是△ABC所在平面上的一点，。是AC的中点，标=

而，则实数f的值为（）

A.1B.|C.2D.1

解析：选B因为。是AC的中点，所以标t+忒=2应方，又因为黄+淑t+与就

=0,所以争而+/菽X+求）=争而+诟=0,即市祸=而，又因为£不布=而，所以

1

t=3-

3.在正六边形A3C0EF中，对角线3。，C歹相交于点P,^AP=xAB+yAF,则x

+y=•

解析：如图，记正六边形4BCDEF的中心为点0,连接。3,OD,

易证四边形05。为菱形且尸恰为其中心.

BC

/.F?=|FO=|AB,AAP=AF+FP=AF+|AB,'：~AP=xAB+y~AF,：.x=

答案：f

命题视角三共线向量定理的应用

［典例］(1)已知a,b是不共线的向量，AB=>la+b,AC=a+//bU，//GR),若A,B,

C三点共线，则3/,的关系一定成立的是()

A.2"=1B・—1

C.2—4=-1D.幺+"=2

(2)设ei与e2是两个不共线向量，AB=3ei+2e2,CB=kei+e2fCD=3ei—2ke2^若

A,B,。三点共线，则上的值为.

［解析］(1)・・•黄与就有公共点A,・••若A,B,。三点共线，则存在一个实数，使苗

—>X=t,—>1

=tAC,即ia+b=£a+wb,贝邛消去参数，得加=1;反之，当加=1时，AB=~

5=1,4

a+b,此时存在实数!使7方=,就，故前和就共线.•.,71与就有公共点A,：.A,B,

。三点共线.故选A.

⑵由题意，A,B,。三点共线，故必存在一个实数九使得京=4彷.又焉=3ei+

162,CB=kei+e2,CD=3ei~2ke2,所以=CD—C5=3ei—2公2一(左ei+e2)=(3—A)ei

-(2k+l)e2,所以3ei+2e2=7(3—fc)ei-M2k+l)e2,又ei与e2不共线，所以

-3A=2(3+—01),解得口o

9

［答案］(DA⑵-［

［方法技巧］平面向量共线定理的3个应用

证明向量共线若存在实数；1,使a=2b,则a与非零向量b共线

若存在实数九使瓦百=4就，瓦1与就有公共点A,则A,B,

证明三点共线

C三点共线

求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值

［针对训练］

1.已知两个非零向量a,b互相垂直，若向量m=4a+5b与n=2a+北共线，则实数4

的值为()

A.5B.3C.1D.2

解析：选CVa,b是非零向量，且互相垂直,

.•.4a+5bW0,mWO.

Vm,n共线,/.n=/zm,艮I72a+ib="(4a+5b),

〃

2=4,解得7=搭.

4=5〃.

2.在△ABC中，E,F分别为AC,A3上的点，BE与CF交于点Q,且索=2成，AF

=3FB,A。交3c于点O,'AQ=AQD,则4的值为（）

A.3B.4C.5D.6

解析：选C因为8,Q,E三点共线，所以可设北=xl9+（l—x）泰=xN9+：（l

----A----A----A----A----A3----»

一x)AC.因为C,Q,厂三点共线，所以可设A0=yAC+(l-y)A^=yAC+w(l-y)A5,

C3

LJD，

一2'—>1—>1—>2—>—>1+2

所以《解得«所以40=彳45+.AC=73二AO,所以

2X/5I।A乙人

d=§(lr)，b=3-

瓦苏+下"就.因为B,D,C三点共线，所以一才+二1=1,解得4=5.

3A人人3A

3.已知。为△A5C内一点，且21方=前十/，~AD^tAC,若5,O,。三点共线,

则f的值为.

解析：设线段5c的中点为M,则万涛+员=2宿1

因为2前=前+员，所以窥=万成，

则41A咨+宫+yAD）=；A宫+^AD.

由3,0,。三点共线，得:+j=l,解得/=；.

答案：［

思维激活-灵活不足•难得高分

巧用性质•练转化思维——三点共线定理的妙用

已知。，A,5是不共线的三点，且加=机员+〃加（7","CR）,则A,P,3三点共

线的充要条件是m+n=l.

1.（求参数值）如图，在△△5c中，~AN=^AC,

P是5N上的一点,

若刀=机K+常充，则实数机的值为（）

AuB11

解析：选B注意到N,P,3三点共线，

—»—»2—>—»6—»

因此AP=mAB+~^AC=mAB+~^AN9

从而帆+*=1,所以帆=亮

2.（求参数范围）在△A3C中，点。是线段5a不包括端点）上的动点.若就'=xl才+

yAD，则（）

A.x>lB.J>1C.X+J>1D.XJ>1

解析：选B设说=7就（0<1<1）,所以诟一就=4就一力焉，所以（1一7）成=

—>—>—»1—>X—>211-7+4

AD-AAC,所以A3=;~~；AD~-~~~AC,所以x=-;r<0,y=~~~r=—~—=1+

1-X1——x1-X1―/1——入

4,1~22.,,

不;>1,x+y=mj=l,个=一正万产0.故选LB.

3.（与数列结合求值）已知等差数列｛斯｝的公差为d,前〃项和为Sn,~OA^a^OB+a2

02JOC，且方'=4就，则S2022=（）

A.0B.1011C.2020D.2022

解析：选B由工咨=/芯可知，A,B,C三点共线，故由亩=的肉+政020万乙可

尸手口c2022（41+”2（）22）2022（“3+。2（）20）1n”,,

彳寸。3+。2020—1,于是§2022—2—2—1011,故选B.

4.（与基本不等式结合求最值）在△ABC中，点P满足/=2/，过点P的直线与A3,

AC所在直线分别交于点M,N,^AM=mAB,~AN=nAC(m>Q,n>0),则帆+2〃的最

小值为()

A.3B.4C・gD・¥

解析：选A如图，易知4户=4-+M=我+，一41）=当

M,

C

BP

■N

AB+^AC=J^AM+^1AN.,：M,P,N三点共线'...诟+五=1,"=3〃一2,则'"+

252

3(3〃-2)2+§(3“-2)+§

n6〃2-3〃1—5、2、〜5

2n=3n~2+2n=3/i-2：3n-2干(3n-2)4而3"声？2+十

3,当且仅当(3〃-2)=/」1e、,即m=n=l时等号成立.

(3/1-2)

［课时跟踪检测］

一、基础练——练手感熟练度

ak

1.设a,b是非零向量，记a与b所成的角为仇下列四个条件中，使询=由成立的

充要条件是()

7J

A.a〃bB.夕=7C.a=2bD.0=n

ah

解析：选C--等价于非零向量a与b同向共线，即8=0,故B、D错误.对

IaIID|

于选项C,a=2b,则a与b同向共线，故C正确.

2.设O,E,F分别为△ABC的三边8C,CA,A3的中点，则说+宣=()

A.~ADB.|ADC^BCD.BC

解析：选A由题意得$+*=辅3+苕)+T(就+就)=辅9+就)=茄.

3.设平面向量a,b不共线，若方'=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),贝!J()

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

解析：选AVAB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),/.AD=AB+BC+CD

=(a+5b)+(-2a+8b)+3(a-b)=2(a+5b)=2AB,；.而与前共线，即A,B,。三点共

线.

4.如图，在正六边形A3CDE尸中，BA+CD+EF=()

A.0B.BE

C.ADD.~CF

解析：选D由题图知京+而+/=京+/+,=苕+而=宣.

5.已知点。，A,5不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2'苏=2万1+京,

则()

A.点P在线段A3上

B.点P在线段AB的反向延长线上

C.点P在线段A5的延长线上

D.点P不在直线A8上

解析：选B因为2'苏=2亩+五？，所以五？，所以点P在线段A8的反向

延长线上.

二、综合练——练思维敏锐度

1.设向量a,b不共线，AB=2a+pb,~BC=a+b,CD=a-2b,若4,B,O三点共

线，则实数p的值为()

A.—2B.—1C.1D.2

解析：选B因为万万=a+b,CD=a-2b,

所以说=员+而=2a-b.

又因为A,B,。三点共线，所以成，下方共线.

设7^=2诟，所以2a+pb=2(2a-b),

所以2=2%p=~A,即；1=1,p=~l.

2.矩形A5CZ>的对角线相交于点0,E为A0的中点，若笳=4方'+"7方(3/，为

实数)，则〃+*=()

515

A,豆BqC.1D.^

解析：选A'DE=AE-AD=|AC-AD=1(AB+AD)-AD=|AB~^AD,：.A

3.在△ABC中，点E,尸分别是边BC和AC的中点，尸是AE与3尸的交点，则有()

A.~AE=|AB+|ACB.~AB=2EF

—1—>X—>—>2—»2—>

C.CPCA+3CBD.CP=3CA+3CB

解析：选C如图，根据三角形中线性质和平行四边形法则知，c

…+…+…+…/就+—

--->--->4GB

AB),A错误；因为Eb是中位线，所以A5=2尸E—>,B错误；设45

的中点为G,则根据三角形重心性质知，CP=2PG,所以p苛员号尺(a+,)=

\(^CA+CB),所以c正确，D错误.

4.已知向量示=(1,-3),OB=(-2,1),0C=(/+3,t~8),若点A,B,C能构成

三角形，则实数f不可能为()

A.-2B.1C.1D.-1

解析：选C若点A,B,C能构成三角形，则A,B,C三点不共线，故向量工咨，~BC

不共线.由于向量亩=(1,-3),~OB=(~2,1),=(f+3,，-8),故方'=加一市=(一

3,4),~BC=~OC~~0B=(t+5,t-9),若A,B,C三点不共线，则一3«—9)-4«+5)。0,

所以rWl.

5.如图，在平行四边形A5CO中，M,N分别为A3,A。上的点，/———

连接AC,MN交于点P,若工？=(■就，则点N在404乙仄/

上的位置为()

A.40中点

B.AO上靠近点。的三等分点

C.AO上靠近点。的四等分点

D.AO上靠近点。的五等分点

解析：选BT§iAD=XAN,因为A户［"(4符+4方)=(64•+24疗)=1

AM+^TAN,又Af,N,尸三点共线，所以卷■+率=1,解得7=白，所以+疗,所以

J.J.JL_1,乙«3

点N在A。上靠近点D的三等分点.

6.已知点。为△A5C的外接圆的圆心，且京+加+员=0,则△ABC的内角A等

于()

A.30°B.45°C.60°D,90°

解析：选A由亩+万济+员=0,#04+=0C,由。是△A5C外接圆的圆

心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且NC4O=60。，故NC4B=30。，

故选A.

7.已知向量a,b不共线，且c=2a+b,d=a+(2A—l)b,若c与d共线反向，则实数

2的值为()

A.1B.一；

C.1或一5D.-1或一5

解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数左＞ftc=A;d优＜0),于是2a+b=A[a+(22

2,=k

-1)6],整理得，；la+b=4a+(助A—6b.由于a,b不共线，所以有J9整理得，2〃

2Ak—k=l,

—2—1=0,解得7=1或2=—又因为k0,所以NvO,故7=-

8.在平面直角坐标系中，。为坐标原点,4,3,C三点满足万方声，则震」

________•

解析：因为=0不一。百='+；。百一。点=,5、,AC=OC—OA=^OA

~OB-~OA=^AB9

所以图=3.

\AC\

答案：3

9.如图，在△A3C中，点。，E是线段3c上两个动点，且说+衣=

xAB+yAC,贝4+9的最小值为_______./八\

xyBDEC

解析：易知x,j均为正数，设罚=-I^+"就，~AE=AAB+JUAC9YB,C,D

共线，/.m+n=l,同理，^+//=1.VAD+AE=xAB+yAC=(m+2,)AB+(n+/z)AC,

Ax+j=,n+n+2+Z/=2./.J+j=|g+£)(x+j)=j(5+J+y)^5+2^|^)=|,当且

14Q

仅当产2x时等号成立，则已+?的最小值为*

xy/

答案：I

10.已知向量市=a,~OB=b,Pi，P2,P„-i(nGN,”>1)是线段AB上依次从A

到B排列的n等分点，若旗=xa+yb,则x+y=,南+用+”・+西久=

________(a+b)・

解析：由三点共线定理知x+y=1.由题知0百+O属2+…++B[i=[a+：(b—a)+

2nXn~~Xn—1

a+~(b-a)+•••+a+〃(b—a)=(〃—l)a+-~(b-a)=~-(a+b).

..n—1

答A案f：1一厂

11.在直角梯形ABC。中，ZA=90°,ZB=30°,AB=2小,BC=2,点E在线段CO

上，若AE=AO+/A5,则〃的取值范围是.

解析：由题意，得40=1,。0=小，：JAB=2DC―

•.•点E在线段C。上，：JDE=fDC(0W2W1).

----A---->----A----A----A---->----»----A----A2〃----»2"

AE=AD+DEf又AE=AD+"A6=AD+2"DC=AD+%DE,.*.-^=1,即"

=幺

=2,

VO^^l,.•.0O«W即〃的取值范围是0,\.

答案：［o,\

第二节平面向量基本定理及坐标表示

课程标准

1.了解平面向量基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

基础扎牢基础不牢•地动山摇

[由教材回扣基础】

1.平面向量基本定理

如果ei，e2是同一平面内的两个丕共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且

只有一对实数九,七，使a=4iei+%2e2.其中,不共线的向量ei，e?叫做表示这一平面内所有

向量的一组基底.

2.平面向量的坐标运算

⑴向量加法、减法、数乘及向量的模

设a=(xi,ji),b=(*2,72),则

a+b=(处+也,yi+y2),a—b=(――也,yi—y2),

2a=(2xi,Avi),\a\=\[xl+yi.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(X1,Ji),6(X2,丁2),则Ab=(切一处，力一W),\AB|=yj(xz—Xi)2+(yz—Ji)2.

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,ji),b=(“2，72),贝!]a〃bOx,2—X29=0・

澄清微点•熟记结论

(1)若a与b不共线，且2a+/b=0,则2="=0.

(2)已知尸为线段的中点，若A(xi,ji),3(X2,竺)，则尸点坐标为第也，咛山).

(3)已知△ABC的顶点A(xi,ji),3(X2,J2),C(x3,y3),其重心G的坐标为

^Xi+X2+X3力+力+⑶

V3'3/

(4)a〃b的充要条件不能表示为§■=?,因为必，)2有可能为0.

Myi

(5)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，

无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

[练小题巩固基础]

一、准确理解概念(判断正误)

(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.()

(2)若a,b不共线，且九a+"ib=22a+〃2b,则2I=%2,〃i=〃2.()

(3)若a=(xi，ji),b=(X2，j2)，则a〃b的充要条件可表示成§=也)

xiyi

(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变.()

答案：⑴X(2)V⑶X(4)7

二、练牢教材小题

1.(新教版必修②P25例1改编)已知平行四边形A5CD,点E,尸分别是45,5c的中

点，设4%=a,AD=b,则=()

A.1(a+b)B.l(a—b)

C.l(b—a)D.la+b

答案：A

2.(新教A版必修②P29例4改编)已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,贝1]b=()

A.(1,2)B.(-1,-2)

C.(-1,2)D.(1,-2)

答案：B

3.(新教B版必修②Pl66T4改编)已知向量亩=(1,-2),~OB=(2,-3),OC=(3,

t),若A,B,C三点共线，则实数f=.

答案：一4

三、练清易错易混

1.(混淆基底的选择)在正方形ABC。中，E为OC的中点，若衣=2京+〃就，贝!U

+"的值为()

A,2—2

C.1D.-1

解析：选A因为E为OC的中点，所以就=3+诟芹+茄=豪而+

DE+AD=\AB+AE,即4、=—14]++1,所以7=—〃=1,所以)+"=：.

2.(混淆单位向量的方向)已知4(一5,8),3(7,3),则与向量入市反向的单位向量为

解析：由已知得1=(12,-5),所以以咨|=13,因此与瓦市反向的单位向量为一百蠡

XT，

答案：T，S

3.(忽视基向量不共线)给出下列三个向量：a=(—2,3),b=(l,—y，c=(—1,1),在

这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为.

解析：易知a〃b,a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.

答案：2

--方向不对，努力白费

命题视角一平面向量的坐标运算(自主练通)

1.(2022•福州模拟)已知在平行四边形ABCD中，赤=(3,7),~AB=(-2,3),对角线

AC与交于点O,则前的坐标为()

解析：选C因为在平行四边形A3C。中，茄=(3,7),AB=(-2,3),对角线AC与

5。交于点0,所以CO~2,一5）故选C.

2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=ia+"b(2,"

CR)，则)=()

a

A.1B.2C.3D.4

解析：选D以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角y

坐标系(设每个小正方形边长为1),则A(l,-1),5(6,2),C(5,-1),

/.a=AO=(-l,l),b=OB=(6,2),c=BC=(-l,-3).Vc=^a+//b,

T+6M=-1,i2—2

.,.(-1,-3)=A(-l,l)+//(6,2),则,，解得7=-2,H=~^,.---=­7=4.

2+2//=—3,/M_A

2

3.(2019•全国口卷)已知向量a=(2,3),b=(3,2),贝！||a—b|=()

A.^2B.2

C.5^2D.50

解析：选AVa-b=(2,3)-(3,2)=(-l,D,

|a-b|=^/(-l)2+l2=V2.

4.已知A(7,l),8(1,4),直线y=5x与线段A3交于C,且衣=2苕，则实数。=.

解析：设C(x,y),则就=(*-7,y~l),~CB=(l~x,4~y)."：~AC=2CB,:.

x—7=2(1—x),|x=3,/.C(3,3).又在直线y=&x上，.'.3=|aX3,：.a=2.

解得

Ly-l=2(4-j),b=3,

答案：2

5.已知A(—2,4),8(3,-1),C(-3,-4).设方'=a,'BC=b,~CA=c,且而=

3c,~CN=~2b.

⑴求3a+b—3c；

(2)求满足a=mb+nc的实数m,n；

(3)求M,N的坐标及向量而的坐标.

解：由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(l,8).(l)3a+b-3c=3(5,—5)+(—6,

一3)—3(1,8)=(15—6—3,-15-3-24)=(6,-42).

=:

〃5,m19

(2)因为机b+〃c=(—6机+〃，—3m+8/i),所以“解得，