第一单元圆的半径直径与周长面积三大关系问题专项练习-2023-2024学年六年级数学上册典型例题北师大版

20232024学年六年级数学上册典型例题系列第一单元：圆的半径直径与周长面积三大关系问题专项练习专项练习一：比例关系问题。1．写出下面各题的最简单的整数比。(1)一个圆的半径和直径的比是()。(2)两个圆的半径分别是2cm和3cm，它们的直径的比是()，周长的比是()，面积的比是()。【答案】(1)1∶2(2)2∶32∶34∶9【分析】（1）同一个圆，直径是半径的2倍，根据比的意义，写出半径和直径的比即可；（2）两个圆的半径比＝直径比＝周长比，圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2，半径比的前后项分别平方以后的比是面积比。【详解】（1）一个圆的半径和直径的比是1∶2。（2）22∶32＝4∶9，两个圆的半径分别是2cm和3cm，它们的直径的比是2∶3，周长的比是2∶3，面积的比是4∶9。【点睛】关键是理解比的意义，熟悉圆的特征，掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。2．两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是()，周长之比是()，面积之比是()，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是()cm。【答案】4∶34∶316∶99.42【分析】由题意可知，两个圆的半径之比是4∶3，则假设两个圆的半径分别为4和3，根据直径＝半径×2，圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，据此求出它们的直径之比、周长之比和面积之比；根据圆的周长公式求出较大的圆的直径，进而求出较小的圆的直径，最后求出较小的圆的周长。【详解】假设两个圆的半径分别为4和3（4×2）∶（3×2）＝8∶6＝（8÷2）∶（6÷2）＝4∶34π∶3π＝4∶342π∶32π＝16π∶9π＝16∶912.56÷3.14＝4（cm）4÷4×3＝1×3＝3（cm）3.14×3＝9.42（cm）则两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是4∶3，周长之比是4∶3，面积之比是16∶9，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是9.42cm。【点睛】本题考查比的意义，结合圆的周长和面积的计算方法是解题的关键。3．甲、乙两个圆的直径比是3∶5，甲、乙两个圆的周长比是()，面积比是()。【答案】3∶59∶25【分析】已知甲、乙两个圆的直径比是3∶5，根据圆的直径d＝2r可知，甲、乙两个圆的半径比也是3∶5；可以设甲圆的半径为3，乙圆的半径为5；然后根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，分别求出两个圆的周长和面积，再根据比的意义写出两个圆的周长之比和面积之比，然后化简比即可。【详解】设甲圆的半径为3，乙圆的半径为5；甲圆的周长：2×π×3＝6π乙圆的周长：2×π×5＝10π6π∶10π＝6∶10＝3∶5甲圆的面积：π×32＝9π乙圆的面积：π×52＝25π9π∶25π＝9∶25甲、乙两个圆的周长比是3∶5，面积比是9∶25。【点睛】明确两个圆的半径之比、周长之比等于它们的直径之比，两个圆的面积之比等于它们的半径的平方比。4．两个圆的周长之比是3：2，它们的面积差是10cm2那么它们的面积之和是cm2．【答案】26【详解】试题分析：因为两个圆的周长之比是3：2，所以半径比也是：3：2，所以面积比是：32：22=9：4，由此分别求出大圆和小圆的面积，进而求出它们的和．解：因为两个圆的周长之比是3：2，所以半径比也是：3：2，所以面积比是：32：22=9：4，即大圆面积是：10÷（9﹣4）×9=18（平方厘米）小圆面积是：10÷（9﹣4）×4=8（平方厘米），面积和是：18+8=26（平方厘米），答：它们的面积之和是26平方厘米；故答案为26．点评：本题主要是灵活利用圆的周长公式和圆的面积公式和按比例分配的方法解决问题．5．一个直角三角形，三边长度分别是3厘米、4厘米、5厘米，这个三角形的面积是()平方厘米；大小两个圆，它们的直径之比是3∶2，那么，周长之比是()，面积之比是()。【答案】63∶29∶4【分析】直角三角形中斜边最长，两条直角边互为彼此的底和高，利用“”求出这个三角形的面积；假设出两个圆的直径，利用“”“”分别表示出这两个圆的周长和面积，最后求出它们的周长比和面积比，据此解答。【详解】3×4÷2＝12÷2＝6（平方厘米）所以，这个三角形的面积是6平方厘米。假设大圆的直径为厘米，小圆的直径为厘米。大圆的周长：＝（厘米）小圆的周长：＝（厘米）大圆的周长∶小圆的周长＝∶＝3∶2大圆的面积：＝＝＝（平方厘米）小圆的面积：＝＝（平方厘米）大圆的面积∶小圆的面积＝∶＝∶1＝（×4）∶（1×4）＝9∶4所以，周长之比是3∶2，面积之比是9∶4。【点睛】掌握三角形的面积以及圆的周长和面积的计算公式是解答题目的关键。6．大小两个圆的半径之比是4∶3，它们的周长之比是()，面积之比是()。【答案】4∶316∶9【分析】根据“大小两个圆的半径之比是4∶3”，可以设大圆的半径是4，则小圆的半径是3；然后根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，分别求出大圆、小圆的周长和面积，再根据比的意义，写出它们的周长之比和面积之比，并化简比。【详解】设大圆的半径是4，则小圆的半径是3。大圆的周长是：2π×4＝8π小圆的周长是：2π×3＝6π大圆与小圆的周长之比是8π∶6π＝4∶3；大圆的面积是：2π×42＝32π小圆的周长是：2π×32＝18π大圆与小圆的面积之比是32π∶18π＝16∶9。大小两个圆的半径之比是4∶3，它们的周长之比是4∶3，面积之比是16∶9。【点睛】明确两个圆的周长之比等于它们的半径之比，两个圆的面积之比等于它们的半径的平方比。7．如图：大圆半径为8厘米，小圆半径为4厘米，则大圆与小圆的直径之比是()，周长之比是()，面积之比是()。现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是()厘米。【答案】2∶12∶14∶175.36【分析】根据圆的直径d＝2r，圆的周长C＝2πr，圆的面积S＝πr2，可知两个圆的直径之比、周长之比等于它们的半径之比，两个圆的面积之比等于它们的半径的平方比。从图中可知，小圆的圆心移动的长度是以（8＋4）厘米为半径的圆的周长，根据圆的周长C＝2πr，代入数据计算即可求解。【详解】大圆与小圆的直径之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；大圆与小圆的周长之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；大圆与小圆的面积之比是82∶42＝64∶16＝（64÷16）∶（16÷16）＝4∶1；2×3.14×（8＋4）＝2×3.14×12＝75.36（厘米）小圆的圆心移动的长度是75.36厘米。【点睛】本题考查圆的直径、周长、面积公式的运用以及比的意义、比的化简。8．大圆的直径是6厘米，小圆的半径是2厘米，大圆和小圆的周长之比是()，大圆和小圆的面积之比是()。【答案】3∶29∶4【分析】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，根据“圆的周长＝2πr”分别求出大圆和小圆的周长，进而求比即可；根据“圆的面积＝πr2”分别求出大圆的面积和小圆的面积，进而根据题意求比即可。【详解】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，2πR∶2πr＝（2πR÷2π）∶（2πr÷2π）＝R∶r＝3∶2πR2∶πr2＝（πR2÷π）∶（πr2÷π）＝R2∶r2＝32∶22＝9∶4大圆周长和小圆周长的比是2∶3，大圆和小圆的面积比是9∶4。【点睛】解答此题应明确：两个圆的半径比，即周长的比，面积比是半径的平方的比。9．已知小圆半径是大圆半径的，则小圆与大圆的周长之比是()，如果小圆面积是，则大圆面积是()。【答案】1∶328.26【分析】已知小圆半径是大圆半径的，利用比与分数之间的关系，可得小圆和大圆的半径之比是1∶3，根据圆的周长＝×2×半径，因此两个圆的周长比等于这两个圆的半径比，即可求出小圆与大圆的周长之比。再根据圆的面积＝，因此两个圆的面积比等于这两个圆的半径的平方比，可求得小圆和大圆的面积之比是1∶9，把小圆的面积看作1份，大圆的面积看作9份，用小圆的面积除以1，求出1份量是多少，再乘9即可求出大圆的面积。【详解】根据分析得，小圆和大圆的半径之比是1∶3，所以小圆与大圆的周长之比是1∶3。小圆与大圆的面积之比是12∶32＝1∶9。3.14÷1×9＝28.26（cm2）即大圆面积是28.26cm2。【点睛】此题主要考查比的应用以及圆的周长、面积公式的熟练运用。10．数学课上，小明用边长8cm的正方形纸，小华用边长10cm的正方形纸，各剪了一个最大的圆，小明和小华所剪的圆的周长之比是()，面积之比是()。【答案】4∶516∶25【分析】正方形的边长为圆的直径，根据圆的周长公式：可知，圆的周长之比等于半径之比；根据圆的面积公式：可知，圆的面积之比等于半径的平方之比。【详解】小明剪的圆的半径为：8÷2＝4（cm），小华剪的圆的半径为：10÷2＝5（cm）；所以小明和小华所剪的圆的周长之比为：4∶5；小明和小华所剪的圆的面积之比为：＝16∶25【点睛】此题考查的是圆的面积公式和圆的周长公式。专项练习二：倍数关系问题。11．如图大圆的半径等于小圆的直径，那么，大圆的周长是小圆的(

)倍，而小圆的面积又是大圆的．【答案】2；【解析】略12．小圆直径为6厘米，大圆半径为6厘米，大圆面积是小圆面积的()倍。【答案】4【解析】略13．一个圆的周长扩大5倍，直径扩大()倍，面积扩大()。【答案】525【详解】略14．下图中，大圆周长是小圆周长的（

）倍，小圆面积是大圆面积的。【答案】2；【分析】假设小圆的直径为2d，则大圆的直径为4d，再根据“C＝πd”、“S＝πr²”分别求出两个圆的周长和面积，进而解答即可。【详解】假设小圆的直径为2d，则大圆的直径为4d；小圆周长：2dπ；大圆周长：4dπ；4dπ÷2dπ＝2；小圆面积：π（2d÷2）2＝πd2；大圆面积：π（4d÷2）2＝4πd2；πd2÷4πd2＝【点睛】本题采用了假设法，假设法使题目变得具体化，简单化。一定要熟练掌握圆的周长和面积公式。15．一个圆的直径是16厘米，如果把它的直径扩大到原来的3倍，面积会扩大到原来的()倍。【答案】9【分析】依据S＝πr2，分别求出原来圆的面积和扩大后圆的面积，再相除即可解答。【详解】原来圆的面积π×2＝64π扩大后圆的面积π×2＝576π576π÷64π＝9面积会扩大到原来的9倍。【点睛】一个圆，如果把它的直径（半径）扩大到原来的a倍，面积会扩大到原来的a2倍。16．圆的周长是直径的()倍．一个圆的半径扩大2倍，周长扩大()倍，面积扩大()倍．【答案】π24【解析】略17．甲圆的半径是乙圆半径的，那么甲圆的周长是乙圆的，乙圆面积是甲圆的________倍。【答案】

16【详解】根据圆的周长和面积公式可知，圆的周长公式：C=2πr，圆的面积公式：S=πr2

，甲、乙两个圆的半径之比是x：y，则甲、乙两个圆周长的最简整数比是x：y，甲、乙两个圆的面积的最简整数比是x2：y2

，据此解答。18．如果大圆的半径等于小圆的直径，则大圆半径是小圆半径的倍。小圆的面积是大圆面积的。【答案】2；【详解】设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r，2r÷r＝2小圆面积：大圆面积＝πr2∶[π×（2r）2]＝πr2∶[4πr2]＝1∶4；如果大圆的半径等于小圆的直径，则大圆半径是小圆半径的2倍，小圆的面积是大圆面积的。故答案为2、。19．一个圆的直径扩大到原来的4倍，它的周长扩大到原来的()倍，它的面积扩大到原来的()倍。【答案】416【分析】假设出原来圆的直径，利用“”表示出原来和现在圆的周长，利用“”表示出原来和现在圆的面积，最后求出圆的周长和面积扩大的倍数，据此解答。【详解】假设原来圆的直径是4厘米。4×4＝16（厘米）周长：＝4面积：＝＝＝16所以，一个圆的直径扩大到原来的4倍，它的周长扩大到原来的4倍，它的面积扩大到原来的16倍。【点睛】掌握圆的周长和面积计算公式是解答题目的关键。20．用圆规画一个周长31.4厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离是()厘米。如果这个圆的半径扩大到原来的2倍，那么它的周长扩大到原来的()倍，面积扩大到原来的()倍。【答案】524【分析】半径决定圆的大小，根据圆的周长公式：C＝2，那么r＝C÷÷2，据此求出半径，因为圆周率一定，所以圆的周长与半径成正比例，圆的半径扩大到原来的几倍，圆的周长就扩大到原来的几倍；圆的面积的比等于半径平方的比。据此解答。【详解】31.4÷3.14÷2＝10÷2＝5（厘米）根据分析得，如果这个圆的半径扩大到原来的2倍，那么它的周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的2×2＝4倍。【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。专项练习三：增减变化关系问题。21．用篱笆围一块半径4m的圆形地，这块地的面积是()m2；如果把这块地的半径增加1m，需要增加篱笆长()m。【答案】50.246.28【分析】由题可知，篱笆围了一块圆形地，根据圆的面积＝πr2，代入数据，求出面积即可；再根据圆的周长＝2πd，计算半径增加1m后圆的周长，求出大圆和小圆的周长之差即可。【详解】3.14×4×4＝12.56×4＝50.24（m2）这块地的面积是50.24m2；3.14×4×2＝12.56×2＝25.12（m）3.14×（4＋1）×2＝3.14×5×2＝15.7×2＝31.4（m）31.4－25.12＝6.28（m）需要增加篱笆长6.28m。【点睛】熟练掌握圆的面积和周长计算公式是解题的关键。22．一个圆形游乐园的直径是12米。后来对游乐园进行扩建，半径增加1米，面积增加了()平方米。【答案】40.82【分析】先用直径12米，根据公式：S＝（d÷2）2π，计算出原来面积；再求出扩建后的半径长度，再根据面积积公式：S＝πr2，计算出新的面积，最后用两个面积相减即可求出增加的面积；据此解答。【详解】12÷2＝6（米）62×3.14＝36×3.14＝113.04（平方米）6＋1＝7（米）72×3.14－113.04＝153.86－113.04＝40.82（平方米）所以，面积增加了40.82平方米。【点睛】此题考查了圆的面积计算，关键熟记计算公式。23．一个圆的半径是6厘米，它的周长增加18.84厘米后，面积增加了()平方厘米。【答案】141.3【分析】根据圆的半径计算出原来圆的周长，现在圆的周长＝原来圆的周长＋18.84厘米，求出现在圆的半径，最后利用求出增加部分的面积，据此解答。【详解】（3.14×6×2＋18.84）÷3.14÷2＝（18.84×2＋18.84）÷3.14÷2＝（37.68＋18.84）÷3.14÷2＝56.52÷3.14÷2＝18÷2＝9（厘米）3.14×（92－62）＝3.14×（81－36）＝3.14×45＝141.3（平方厘米）所以，面积增加了141.3平方厘米。【点睛】掌握圆的周长和环形的面积计算公式是解答题目的关键。24．一个圆形花圃周长是18.84米，现在要扩建，将半径增加2米，花圃的面积增加()m2。【答案】50.24【分析】先求出内圆的半径，加上环宽，就是外圆的半径，再利用圆环的面积公式：即可得解。【详解】（米），3＋2＝5（米）（平方米）【点睛】此题的解题关键是掌握圆环的面积计算方法。25．一个半径是3m的圆形花坛，改造后半径增加1m，那么花坛面积增加()。【答案】21.98【分析】圆的面积计算公式：S＝。改造后半径为4m，改造后的面积减去原面积就是增加的面积。【详解】3＋1＝4（m）3.14×42－3.14×32＝3.14×16－3.14×9＝50.24－28.26＝21.98（m2）【点睛】本题关键要掌握外圆的面积减去内圆的就是圆环的面积，也就是增加的面积。26．一个圆的半径由2cm增加到3cm，周长增加()cm，面积增加()cm2。【答案】6.2815.7【分析】圆的面积＝，圆的周长＝，据此解答即可。【详解】周长增加：2×3.14×（3－2）＝6.28×1＝6.28（厘米）面积增加：3.14×（32－22）＝3.14×5＝15.7（平方厘米）【点睛】本题考查圆的周长、面积，解答本题的关键是掌握圆的面积和周长计算公式。27．一个圆形花坛的周长是18.84米，现在把它的半径增加1倍，这个花坛面积增加()平方米。【答案】84.78【分析】根据“r＝c÷π÷2”求出原来的半径，进而求出增加1倍后的半径，再根据“s＝πr²”求出圆的前后面积，再相减。【详解】18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（米）3.14×（3＋3）²－3.14×3²＝3.14×36－3.14×9＝84.78（平方米）【点睛】熟练掌握圆的周长和面积公式是解答本题的关键。28．两个大小不一的圆，直径都增加1，他们周长和面积的比始终不变。()【答案】×【分析】假设两个圆的直径分别为2和3，变化