2024-2025学年广东省汕头市潮南区九年级（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省汕头市潮南区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是(

)A.B.C.D.2.抛物线y=3(x+4)2+2的对称轴是A.直线x=4 B.直线x=−4 C.直线x=2 D.直线x=−23.若关于x的一元二次方程x2−4x+c=0有实数根，则c的值不可能是(

)A.2 B.3 C.4 D.54.已知点P(m−n,1)与点Q(3,m+n)关于原点对称，则mn的值为(

)A.2 B.1 C.−2 D.−15.如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转43°得△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于(

)A.43°

B.45°

C.47°

D.50°6.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c=0的一个根为A.x=−1

B.x=0

C.x=1

D.x=27.如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙(图中阴影部分)，另外三边用25m长的篱笆围成.为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为x m，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是(

)A.x(26−2x)=80 B.x(24−2x)=80

C.(x−1)(26−2x)=80 D.(x−1)(25−2x)=808.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为(参考数据：2≈1.414)(

)A.20.3% B.25.2% C.29.3% D.50%9.已知m，n是方程x2−5x+1=0的两个根．记S1=11+m+11+n，S2=A.7 B.8 C.9 D.1010.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：

①abc<0；

②2a+b=0；

③m为任意实数时，a+b≤m(am+b)；

④a−b+c>0；

⑤若ax12+bx1A.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.点A(12,b)是抛物线y=x2上的一点，则12.一个矩形的两邻边长分别是方程(x−2)(x−3)=0的两根，则矩形的面积等于______．13.若m，n是方程x2+2x−2024=0的两个实数根，则m214.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(−2,0)，且顶点在直线则bc的值为______．15.如图，矩形ABCD中，顶点A(0,4)，B(−2,0)，C(−4,1)，将矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为______．

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题7分)

已知A=(m+4m+4m)÷m+2m2．

(1)化简A；

(2)若点(m,0)是抛物线17.(本小题7分)

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=50°.将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得△DBE，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求∠ADE的度数．18.(本小题7分)

已知实数x，y满足x2+3x+y−5=0，若t=x+y，求t的最大值．19.(本小题9分)

如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点上．

(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；

(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点B2、C220.(本小题9分)

已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2+3=0．

(1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围；

(2)若该方程的两个实数根x1，x221.(本小题9分)

2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．

(1)求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．

(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？22.(本小题13分)

如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ，PB，PC．

(1)求证CP=BQ；

(2)若PA=6，PB=8，PC=10.求四边形APBQ的面积．23.(本小题14分)

如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(−2,0)、B(4,0)、C(0,−8)，与直线y=x−4交于B，D两点

(1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；

(2)点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．

参考答案1.C

2.B

3.D

4.C

5.C

6.A

7.A

8.C

9.B

10.D

11.1412.6

13.2022

14.1315.(2,−5)

16.解：(1)A=(m+4m+4m)÷m+2m2

=m2+4m+4m÷m+2m2

=(m+2)2m⋅m2m+2

17.解：∵∠ABC=90°，∠ABC=50°，

∴∠CAB=40°．

∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，点E恰好在AB上，

∴BA=BD，∠ABC=∠DBA=50°，

∴∠BAD=∠ADB=12(180°−50°)=65°，

∵∠BED=∠ACB=90°，

18.解：由x2+3x+y−5=0得，

y=−x2−3x+5．

由t=x+y，

则t=x+(−x2−3x+5)

=−x2−2x+5

=−(x+1)2+6

因为−(x+1)2≤0，

所以19.20.解：(1)根据题意得

Δ=(2k−2)2−4(k2+3)≥0，

解得k≤−1；

(2)根据题意得：x1+x2=2k−2,x1x2=k2+3，

∵(x1−1)(x2−1)=14，

∴x121.解：(1)设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，

根据题意得：256(1+x)2=400，

解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不符合题意，舍去)，

答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为25%；

(2)设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为(68−45−m)元，月销售量为(400+20m)件，

根据题意得：(68−45−m)(400+20m)=8400，

整理得：m2−3m−40=0，

解得：m1=8，22.(1)证明：连接PQ，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，

∴AP=AQ，∠PAQ=60°，

∴△APQ为等边三角形，

∴PQ=AP，

∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，

∴∠CAP=∠BAQ，

在△APC和△ABQ中，

AC=AB∠CAP=∠BAQAP=AQ，

∴△APC≌△ABQ(SAS)，

∴PC=QB；

(2)解：∵PA=6，PB=8，PC=10，

∴PA=6=PQ，BQ=PC=10，

在△BPQ中，

∵PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=10223.解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标是A(−2,0)、B(4,0)，

∴设该抛物线解析式为y=a(x+2)(x−4)，

将点C(0,−8)代入函数解析式代入，得a(0+2)(0−4)=−8，

解得a=1，

∴该抛物线的解析式为：y=(x+2)(x−4)或y=x2−2x−8．

联立方程组：y=x2−2x−8y=x−4，

解得x=4y=0(舍去)或x=−1y=−5，

即点D的坐标是(−1,−5)；

(2)如图所示：

过点P作PE/​/y轴，交直线AB与点E，设P(x,x2−2x−8)，则E(x,x−4)．

∴PE=x−4−