2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高二（上）期中数学模拟试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高二（上）期中数学模拟试卷一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列命题是假命题的是(

)A.棱柱的所有侧面都是平行四边形

B.将矩形ABCD绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱

C.正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心

D.将直角三角形AOB绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆锥2.设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB/​/CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=(

)A.8 B.9 C.10 D.114.空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线l与这三条直线所成角均为θ，则θ的值为(

)A.π3 B.arcsin13 C.arcsin二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。5.正四棱柱的底面边长为2，高为3，则它的体积为______．6.如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1棱BC的距离是______cm．7.已知m//α，n⊂α，则直线m、n的位置关系为______(填平行、相交、异面)．8.直三棱柱ABC−A1B1C1

中，若CA=a，CB9.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的斜二测直观图，若O′A′=3，OB′=4，则△OAB的面积为______．10.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是______．11.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，P为AA1中点，记三棱锥P−ABC的体积为V1，三棱柱12.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点13.在正方体ABCD−A1B1C1D1各个表面的对角线所在直线中，与直线A14.如图为一几何体的展开图，其中ABCD是正方形，SD=PD，CR=CS，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合于点M，在该几何体的侧面和底面中，与平面MAD垂直的平面的个数为______．15.正四棱锥S−ABCD的底面边长为4，高为3，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为______．16.如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是SA上一点，且AB=5公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为______公里．三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成.其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米．

(1)这种“浮球”的体积是多少立方米(精确到1m3)？

(2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元.求该浮球的建造费用(精确到1元)．18.(本小题12分)

如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体，O1、O2、O′2分别为AB、BC、DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点．

(1)求直线GO′2与平面BCDE所成角的大小．

(2)19.(本小题12分)

如图，三棱锥ABCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD．

(1)求证：AC⊥CD．

(2)若三棱锥A−BCD的体积为16，BC=CD=1，有一根彩带经过面ABC与面ACD，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带长度的最小值．20.(本小题12分)

一组空间向量a1,a2,a3,⋯,an(n∈N∗)，记Sn=a1+a2+a3+⋯+an，如果存在ap(p∈{1,2,3,⋯,n}，使得|ap|≥|Sn−ap|，那么称ap是该向量组的“ℎ向量”．

(1)21.(本小题12分)

如图所示，已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，动点P在直线A1B1上，且满足A1P=λA1B1．

(1)指出直线MN与平面BC1P的位置关系(不需说明理由)．

参考答案1.D

2.A

3.A

4.D

5.12

6.5

7.异面或平行

8.−a9.12

10.311.1612.313.5

14.3

15.216.9

17.解：(1)由题意得，“浮球“可看成是由一个圆柱体和一个球体组成，

圆柱体底面半径为1，高为4，故体积为V1=πr2l=4πm3，

球体体积V2=43πr3=43πm3，

所以“浮球“的体积V=V118.解：(1)连接GO2，O′2O2，

因为G为弧BC的中点，

所以GO2⊥BC，

由圆柱的性质知，平面BCDE⊥平面BCG，

而平面BCDE∩平面BCG=BC，且GO2⊂平面BCG，

所以GO2⊥平面BCDE，

所以∠GO′2O2即为直线GO′2与平面BCDE所成角，

在Rt△GO′2O2中，GO2=1，O′2O2=2，

所以tan∠GO′2O2=GO2O2′O2=12，即∠GO′2O2=arctan12，

故直线GO′219.解：(1)证明：∵AB⊥面BCD，又CD⊂面BCD，

∴AB⊥CD，又BC⊥CD，且AB⊥∩BC=B，

∴CD⊥面ABC，又AC⊂面ABC，

∴AC⊥CD；

(2)∵三棱锥A−BCD的体积为16，BC=CD=1，

∴根据题意可得三棱锥A−BCD的体积为13×12×BC×CD×AB=16AB=16，∴AB=1，

∴结合(1)可知三角形ABC为等腰直角三角形，三角形ACD为直角三角形，

且AB=BC=CD=1，AC=2，∴AD=320.解：(1)由题意得S3=(6,t+5,7)，S3−a3=(1,5,7)，

又因为a3是向量组a1,a2,a3的“ℎ向量”，

所以|a3|≥|S3−a3|，

即52+t2≥12+52+72⇔t2≥50，

解得t≤−52或t≥52，

故t的取值范围为(−∞,−52)∪(52,+∞)；

(2)(i)由题意得，因为四面体PABC内接于球O，

所以|a1|=|a2|=|a3|=1，

因为3a1+4a2+5a3=0，

所以3a1+4a2=−5a3，

两边同时平方得9(a1)2+16(a2)2+24a1⋅a2=25(a3)2，

因为(a1)2=|a1|2，(a2)2=|a2|2，(a3)2=|a3|2，

所以可得a1⋅a21.解：(1)当点P与B1重合时，MN与平面BC1P共面，

当点P不与B1重合时，因为M，N分别是CC1，BC的中点，

所以MN/​/BC1，又因为MN⊄平面BC1P，BC1⊂平面BC1P，

所以MN/​/平面BC1P；

(2)如图，以A为原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，N(12,12,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，A1B1=(1,0,0)，

设P(a,b,c)，由A1P=λA1