集合（5大压轴考法）原卷版 -2024-2025学年人教版高一数学压轴题攻略

专题01集合

目录

解题知识必备......................................

压轴题型讲练........................................................2

题型一、集合的子集、真子集及参数问题......................................2

题型二、集合的交、并、补运算及参数问题....................................3

题型三、韦恩图及容斥原理的应用.............................................4

题型四、集合中的结构不良问题................................................5

题型五、集合中的新定义问题..................................................6

压轴能力测评（12题）...............................................8

说明：试题或者解析中区间的概念说明：设。，6是两个实数，而且我们规定:

定义名称符号

\^x\a<x<b^闭区间[a,b]

{x[a<x<b^开区间

半闭半开区间[a,b)

{X[Q<x<b^半开半闭区间(a,可

8解题知识必备♦♦

一、集合的有关概念

1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.

2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

3.元素与集合的两种关系：属于，记为e；不属于，记为C.

4.五个特定的集合及其关系图：N*或N+表示正整数集，N表示非负整数集（或自然数集），Z表示整数集,

Q表示有理数集，R表示实数集.

NQN

二、集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A

为集合B的子集.记作AU8(或B2A).

⑵真子集：如果集合但存在元素xdg,且尤仁A,就称集合A是集合2的真子集，记作A堂区

(3)相等：若AU8,且8UA,则A=B.

(4)空集的性质：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集合

符号表示AUBAAB

A的补集为CuA

S3

图形表示

AUBJ©

集合表示{x\x^Af或1£团{小且工£3}[x\x^U,B-X^A]

四、集合中的新定义问题

1.集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加

以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题.

2.集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则.按照新的运算规则，结合数学中原

有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的.

3.集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的.我们通过可以结合相应的集合

概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题.

4.集合新定义问题处理步骤

①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦;

然后找出要素分别是什么

②看：看所求是什么？

③代：将己知条件代入新定义的要素

④解：结合数学知识进行解答

常用结论

(1)若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有2'-1个，非空真子

集有2'—2个.

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集.

⑶AcB-»AnB=A<=>AU5=B<=>CVBcCVA.

X压轴题型讲练2

【题型一集合的子集、真子集及参数问题】

一、单选题

1.(2024高一上•全国・专题练习)已知集合M=*|x=幺詈±451kez1,「=卜|》=幺^±90。,丘Z

则集合M,P之间的关系为()

A.M=PB.MPC.P=MD.McP=0

二、填空题

2.(23-24高一下•湖南长沙•阶段练习)设集合A=h，々…“,}a{2,3,…,37},(n>2,”eN)且A中任意

两数之和不能被5整除，则”的最大值为.

3.(23-24高一上.上海•期中)。是有理数集，集合M=卜卜=。+&瓦。,6€。,工*。},在下列集合中：

①卜卜=eA/}；@^x\x=t2,t&；

③{x|x=%+x,,eM,X2eM}；④{x[x=玉马，玉^M,x2eA/j.

与集合M相等的集合序号是.

4.(23-24高一上•吉林四平•阶段练习)已知集合M={x|14尤410,尤wZ},对它的非空子集A,将A中的每

个元素上都乘以(-D*再求和，如人={2,3,6},可求得和为(-1)2X2+(-1)3X3+(-1)6X6=5,试对M的所有

非空子集，求这些和的总和=.

5.(22-23高二下•北京•期中)已知全集[;={。,训工€及丫€2},非空集合S=U.若在平面直角坐标系x0y

中，对s中的任意点p,与p关于x轴、y轴以及直线y=无对称的点也均在s中，则以下命题：

①若(l,3)eS,则(T-3)eS；

②若(0,4)eS,则S中至少有8个元素；

③若(0,0)eS,则S中元素的个数可以为奇数；

④若{(羽y)4+y=4}=S,则{(x,y)||x|+|y|=4|cS.

其中正确命题的序号为.

【题型二集合的交、并、补运算及参数问题】

一、单选题

1.（23-24高一上•上海嘉定•期中）已知集合P,。中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P,Q

中的元素都为正数；②对于任意都有feP；③对于任意eP（awb）,都有MeQ；则

b

下列说法正确的是（）

A.若尸有2个元素，则。有3个元素

B.若尸有2个元素，则PUQ有4个元素

C.若尸有2个元素，则2n。有1个元素

D.存在满足条件且有3个元素的集合P

2.（23-24高一下.安徽安庆・开学考试）已知实数集A满足条件:若awA,则手eA,则集合A中所有元素

1一〃

的乘积为（）

A.1B.-1C.±1D.与。的取值有关

二、填空题

3.（23-24高一上•上海•期中）设集合A={1,2,3,4},B={1,2},若CqA且BnCw0,则所有满足条件的集

合C的个数为.

4.（24-25高一上•上海•课后作业）若4={1,3,4，2={/』},则实数x的值所组成的集合

C为______

三、解答题

5.（24-25高一上•上海•课后作业）设集合尸={讨-2（尤<3},Q^{x\3a<x<a+1］；

（1）若。口尸，求实数。的取值范围；

（2）若PcQ=0,求实数。的取值范围.

12

6.（24-25IWJ-'上,上海,课后作业）设集合SuN,且满足xwS,贝！J1H-------ES.

x-1

（1）求出只含2个元素的集合S；

⑵满足题设条件的集合S共有几个？列举出来.

【题型三韦恩图及容斥原理的应用】

一、单选题

1.（23-24高一上.河南郑州•阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲

座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，记

A=｛x|x是听了数学讲座的学生｝,8=｛刈尤是听了历史讲座的学生｝,C=｛x|x是听了音乐讲座的学生｝.

用card（M）来表示有限集合M中元素的个数，若card（AcB）=17,card（AcC）=12,card（BcC）=9,

Ac3cC=0,贝U（）

A.card（Au3）=143B.card（AuBuC）=166

C.card（BuC）=129D.card（AnBnC）=38

2.（23-24高一上•陕西•阶段练习）下列表示集合〃=[xeN19eN]和N=卜|（尤2=36）关系的Venn

3.（23-24高一上•辽宁•阶段练习）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚

运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱.小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游

泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20

人没观看过田径类比赛,16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为俄，

则由上述可推断出加=（）

A.16B.17C.18D.19

4.（23-24高一上•湖南长沙•期末）已知全集为U,集合N满足MNU,则下列运算结果为U的是

（）.

A.MuNB.（蹲N）u（⑼

c.D,N5dM

二、填空题

5.(23-24高一上•陕西•阶段练习)某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班

课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名

声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论：

①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；

②只报名舞蹈的有36人；

③只报名声乐的有20人；

④报名两门课程的有14人.

其中，所有正确结论的序号是.

【题型四集合中的结构不良问题】

一、解答题

1.(23-24高一上.湖北孝感.阶段练习)在①人=卜--3%+2=0｝,②二｛尤|2丁-3x-2=0｝这二个条件中

任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.设集合,集合8=卜k2+26+1.+"-5=。｝.

(1)若集合8的子集有2个，求实数。的值；

(2)若AnB=B，求实数。的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.

2.(23-24高一上•广东汕头•阶段练习)已知A=｛x|2a-l<xWa+l｝,3=｛；d-l〈尤43｝.

(1)若a=-g，求AU3,An(43);

(2)在①“xeA”是“xeB”的充分不必要条件；②Au3=B；③Ac3=0；这三个条件中任选一个，补充

在下面问题中，并进行解答.

问题：若，求实数。的取值范围构成的集合尸.

注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分.

3.(22-23高一上.重庆沙坪坝.期中)已知A=｛尤k2-6》+5=0｝,3=｛可"-1=。｝.

(1)若4=1,求Ac(23)；

⑵从①AU(\3)=R；②=③3c(\A)=0这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行

解答.

问题：若，求实数。的所有取值构成的集合C.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【题型五集合中的新定义问题】

一、单选题

1.（24-25高一上・上海・单元测试）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足:

（1）X&M,0GM；（2）对于X的任意子集A,B,当AeM且时，有AuBcM；（3）对于X

的任意子集A,B,当Ac"且Be"时，有AcBeM,则称又是集合X的一个——集合类”，例如：

/={0,抄},{0},{瓦0},{0,。,0}}是集合*={4,瓦0}的一个“M-----集合类”.已知X={a,b,c},则所有含{b,

c}的——集合类”的个数为（）.

A.9B.10C.11D.12

2.（23-24高一上•上海•期末）已知集合S是由某些正整数组成的集合，且满足：若aeS,则当且仅当。=相+”

（其中正整数机、〃eS且〃件〃）或。=。+4（其中正整数P、qeS且pwg）.现有如下两个命题：①5eS；

②集合{Hx=3"?eN*}uS.则下列判断正确的是（）

A.①对②对B.①对②错C.①错②对D.①错②错

二、填空题

3.（23-24高一上.北京•期中）定义集合「={尤|a<x4加的“长度”是其中°,bwR.已如集合

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M={x\m<x<m+-},N=[x\n--<x<n],且M,N都是集合{x|1VxV2}的子集，则集合McN的“长度”

的最小值是—；若根=[,集合MuN的“长度”大于g,则〃的取值范围是.

三、解答题

4.（23-24高一上•北京•阶段练习）设整数集合&={01M…,%oo}，其中1V%…V205,且对于

任意力,J（l±WjW100）,若i+/eA,则6+%”.

⑴请写出一个满足条件的集合4

（2）证明：任意尤w{101,102,…,200},xiA.

5.（23-24高一上•上海杨浦•开学考试）已知数集4={q,生…凡}。46<生<一<见,“22）具有性质产：对任

意的ij（1<?<；）,咐与%两数中至少有一个属于A.

%

⑴分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6）是否具有性质P,并说明理由；

（2）证明：4=1且对任意都是巴的因数；

（3）当〃=5时，若。2=2,求集合A.

6.（23-24高一上.北京顺义.期中）已知S”={1,2,…,〃}（"N3）,A={4%L,殁}（人2）是S“的子集,定义

集合＜="-为%吗€4且4，%},若A*U{〃}=S“，则称集合A是S,,的恰当子集.用因表示有限集合X

的元素个数.

⑴若〃=5,A={1,2,3,5},求A*并判断集合A是否为》的恰当子集；

⑵己知A={l,a,d7}（°＜。）是S?的恰当子集，求a,6的值并说明理由；

⑶若存在A是S,的恰当子集，并且闷=5,求〃的最大值.

7.（23-24高一下•北京顺义・阶段练习）对于正整数集合4=口生,…0}（〃eN*,”23）,如果任意去掉其

中一个元素%（，=1,2广.,〃）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集

合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；

⑴判断集合{2,4,6,8,10}和{3,5,7,9,11,13,15}是否是“可分集合”（不必写过程）；

（2）求证：四个元素的集合A={a1M2，%%}一定不是"可分集合”；

⑶若集合人={%,%,…q}（〃eN*,〃23）是“可分集合”，证明：〃为奇数.

8.（23-24高一上.北京延庆.期末）已知集合A为非空数集.定义：

S={Rx=a+6,a力eA},T={x\x^a-b\,a,b&A}

⑴若集合A={1,3},直接写出集合S,T；

⑵若集合A={%,无2，W，4},芯＜Xj＜龙4，且7=4.求证：芯4=39；

（3）若集合A屋{ROWxW2024,xeN},ScT=0,记何为集合A中元素的个数，求闺的最大值.

♦♦压轴能力测评♦♦

一、单选题

1.（24-25高一上・上海・单元测试）若集合A={x|2a+lW尤W3a-5},3={x|3WxW22},则能使AaAflB

成立的所有。的集合是（）.

A.{a|lWaW9}B.{a|6WaW9}

C.{a|aW9}D.0

2.（2024•浙江杭州•三模）设集合M={x|x=2笈+l#eZ},N={尤|x=34-1,左eZ},则McN=（）

A.{尤|x=24+1,左eZ）B.{x|x=34一l,AeZ}

C.{x[x=6左+1,左eZ}D.{x|x=6左一1,左eZ}

3.（23-24高一上.江苏盐城.阶段练习）设集合A={1,2,3},B={0,l,2,4},定义集合

S^{（a,b）\aeA,beB,a+b>ab},则集合S中元素的个数是（）

A.5B.6C.8D.9

4.（22-23高一上•上海浦东新•开学考试）定义集合运算A-3={x|xeA且工任身称为集合A与集合B的差

集；定义集合运算位=（A-8）^（3-A）称为集合A与集合8的对称差，有以下4个等式：①的=必4；

®（/lAB）AC=AA（BAC）；③AI（BAC）=（AIB）A（AIC）；@AU（BAC）=（AUB）A（AUC）,则4个等式

中恒成立的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二、多选题

5.（23-24高一上•安徽蚌埠•期末）对于集合"={4。=/-/"€2。€2},给出以下结论，其中正确的结

论是（）

A.如果3={,6=2"+l,weN},那么8aM

B.如果C={dc=2〃,"eN},那么C=M

C.如果qw/RwAf,那么01a2

D.eM,a2,那么6+的eM

三、填空题

6.（2024•辽宁丹东•一模）若V-80为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为.

7.（2023高一•全国・专题练习）设A是非空数集，若对任意％yeA,都有无+yeA、xyeA,则称A具有

性质尸，给出以下命题：

①若A具有性质P,则A可以是有限集；

②若A具有性质P,且AwR,则4A具有性质P；

③若A、4具有性质p,且AC&W0,则AC4具有性质p；

④若A、4具有性质P,则AU4具有性质P.

其中所有真命题的序号是.

四、解答题

8.(24-25高一上•上海•单元测试)已知U=R为一个数集，集合4=4+3/|s,reU}.

⑴设U={1,3,5},求集合A的元素个数；

(2)设。=2,证明：若xeA,则7xeA.

9.设全集为R,A={x[x<-1或x>3},3={x|l-a<x<2a+3}.

(1)若。=1,求Ac3,(