平面向量基本定理及其拓展（爪子定理）（高阶拓展）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第03讲平面向量基本定理及其拓展

（“爪子定理”）（高阶拓展）

（3类核心考点精讲精练）

IN.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年全国乙卷文数，第6数量积的运算律

用基底表示向量

题,5分数量积的坐标表示

2022年新I卷，第3题,5分用基底表示向量无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示

3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量

4.会综合应用平面向量基本定理求解

【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易

理解，易得分，需重点复习。

知识点1平面向量基本定悭

知识讲解

1.平面向量基本定理

如果约，02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量处有且只有一

对实数丸1，丸2，使。=丸101+丸202.

其中，不共线的向量约，02叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

(1).基底约，02必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.

(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

应用平面向量基本定理应注意的问题

(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组.

(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、

减运算或数乘运算.

3.形如血=工方+了就条件的应用(“爪子定理”)

“爪，，字型图及性质：A

⑴己知AB,AC为不共线的两个向量,则对于向量7万，必存在xj，使得/\

石赤+则氏C,。三点共线ox+y=1//\

BDC

当0<x+y<l,则。与/位于5c同侧，且。位于Z与8c之间

当x+y〉l,则。与幺位于5c两侧

x+y=l时，当x〉0)〉0,则。在线段5c上；当孙<0,则。在线段8c延长线上

A

(2)己知。在线段5c上，且忸。|:|。。|=机：〃，则屈=」一方+“一%//\

m+nm+n//\

3、40=%45+»4。中工,)/确定方法_Z----

»mDn

(1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定

x,y

(2)若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程彳方=xNZ+yk,可考虑两边对同一向量作数

量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解

(3)若所给图形比较特殊(矩形，特殊梯形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于xj的方程,

再进行求解

考点一、基底的概念及辨析

典例引领

1.（2024高三•全国・专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（）.

A.召=（0,0）,瓦=（1,一2）B.4=（一1,2）,.=（5,7）

C.耳=（3,5）,瓦=（610）D.耳=（2,-3）,当=[，一:

【答案】B

【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底.

【详解】因为4=（-1,2）与瓦=（5,7）不共线，其余选项中耳、瓦均共线，所以B选项中的两向量可以作为基

底.

故选：B

【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.

2.（2024高三・全国•专题练习）如果耳，瓦是平面a内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为

平面内所有向量的一组基底的是（）

A.昌与q+e?B.q—2e2与q+2e?

C.4+及与耳一马D.耳+3瓦与24+6瓦

【答案】D

【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.

【详解】选项A中，设4+瓦=文不，无解,则两向量不共线；

/、[2=1

选项B中，设耳-2无=4耳+2瓦），贝U।/无解，则两向量不共线；

[1=­X

/、[2=1

选项C中，设百+瓦=几（目-瓦），贝I」|,，无解，则两向量不共线；

[1=­X

选项。中，百+3瓦=；（2耳+6瓦），所以两向量是共线向量.

故选:D.

【点睛】本题考查了基底的涵义，考查了两向量是否共线的判定.本题的关键是判断两向量是否共线.

3.（2023高三・福建•阶段练习）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（）

A.a—（1,2）,b=（0,0）B.a—（1,2）,b=（-1,-2）

C.a=（1,2）,b=（5,10）D.a=（1,2）,b=（-1,2）

【答案】D

【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.

【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，

A.向量B是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A错误；

B.a=-b，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B错误；

C.b=5a，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C错误；

D.不存在实数X,使3=而，所以向量用在不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D正确.

故选：D

即0唧（

1.（2023・陕西西安•一模）设左eR,下列向量中，可与向量2=组成基底的向量是（）

A.b=（k,k）B.c=（-k,-k）

C.d=（k2+1,k2+\^D.e=（k2-l,k2-\）

【答案】C

【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决.

【详解】对于AB项，若左=0时，S=（0,0）,）=（0,0）不满足构成基向量的条件，所以AB都错误；

对于D项，若"=±1时，工=（。,0）不满足构成基向量的条件，所以D错误；

对于C项，因为X^eRk+lwO,又因为（42+1卜（-1）-（/+1卜1片0恒成立，说明2与q不共线，复合构

成基向量的条件，所以C正确.

故选:c

2.（2023高三•全国•专题练习）设忖,£｝为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）

A.e1+e2^Ue1-e2B.4,+2g和2q-4,

e

C.Ze】+e2和,+a2D.ex-2e2和4e2+2q

【答案】C

【分析】根据基底的概念确定正确答案.

【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，

C选项中，2et+e2=2l61+-62I,即2q+e2和q+502为共线向量,

所以它们不能作为基底.

其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.

故选:C

考点二、平面向量的基本定理综合

典例引领

■——

1.（2022•全国•高考真题）在“8C中，点。在边上，BD=2DA.记0=应，丽=五，则口=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+35

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边上，BD=2DA,所以丽=2方，即丽-3=2@-丽），

所以池=3而-2瓦=31—2/=-2加+3师.

故选：B.

2.（全国•高考真题）在△ABC中，4。为2c边上的中线，E为/。的中点，则丽=

3—1—1—3—

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3——1一1——3—

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

一1一1一

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得8£=万34+万3。,之后应用向量

的加法运算法则--一三角形法则，得至U比=加+就，之后将其合并，得到=+下一步应

44

一3一1__

用相反向量，求得=从而求得结果.

44

【详解】根据向量的运算法则，可得

—1—1—1——1——1——17—

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA

222424、

1—1--1—3—1一

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC

24444f

一3—1——

所以E3=—AB--AC,故选A.

44

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加

法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

3.（2024・陕西安康•模拟预测）在。中，”是的中点，不=3祀,CM与8N相交于点尸，则后=

()

1—►3—►

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

5555

1—►3—►3―►1—►

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2442

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算、三点共线等知识列方程组，由此求得正确答案.

【详解】设N=X商+4%,由河是45的中点，得益=2五万，

____►4►

由AN=3NC，得/C=]/N,

所以万=24加+〃就，且衣=2万+g〃不,

由CW与8N相交于点P可知，点P在线段CW上，也在线段8N上,

22+〃=1

解得；5，所以—►1―►3—►

由三点共线的条件可得2+1//=1

即时检测

1.（广东•高考真题）在平行四边形/BCD中，NC与AD交于点O,£是线段。。的中点，/£的延长线与

CD交于点尸，若就=心丽=5，则/=

112-1-1-1r1-2-

A.一aH—rbB.一aH—bC.一4H—bD.—<7H—b

42332433

【答案】B

【分析】利用平面几何知识求解

【详解】如图，可知

DF

__2____________»__.2__►__►2__►__►

AFk=AC+CF=AC+-CD=AC--AB=AC--(AO+OB)

=%一21_1%__1而）=1斗匕与=4+匕，选B.

3（22）3（22J33

【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，

2.Q024•山西吕梁•三模）已知等边。3C的边长为1,点分别为4民的中点，若丽=3而，则万=

（）

1―►5—►1—►3—►

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【答案】B

【分析】取｛次，万｝为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.

【详解】在。3c中，取（就，万｝为基底，

则的=画=2,（前,硝=60。,

因为点AE分别为/及BC的中点，DF=3EF,

—,1―►1—►

所以EF=—DE=—AC,

24

所以”=方+丽=；（方+/）+；/=;在+《衣.

故选：B.

3.92-23高一下•河南洛阳•阶段练习）在中，点，是45的中点，N点分/C的比为/N:NC=1:2,BN

与CN相交于E,设方=用元=3,则向量标=（）

A.—a+—bB.—a+—bC.—a+—bD.—a+—b

32235555

【答案】C

【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.

【详解】A

A

______1k____________1k_______]—2______►

由题意民E,N三点共线，所以存在彳eR,使得通=/1次+(1-4)而=/1而—就,

使得在=〃就+(一〃)育=〃就+^^

同理C,E,X三点共线，所以存在〃eR,1

h1-〃

由平面向量基本定理可得1/解得力=>〃=

1—X55,

二----

143

—»21-

所以4£=《万+^6.

故选：C.

考点三、“爪子定理”的综合应用

典例引领

1.（全国,高考真题）设。为△48C所在平面内一点,且灰；=3丽，贝U()

—-1--4—--"1—.4—■

A.A.D——ABH—ACB.AD—-AB——AC

3333

4--1-.

C.AD——ABH—ACD.AD=--AB——AC

3333

答案：A

A

--1—►3--—►1—►4--

解析：由图可想至IJ“爪字形图得：AC=-AB+-AD,解得：AD=——AB+-AC

4433

__ki__kk2__________________________►

2.如图，在△力台。中，AN=-NC,尸是5N上的一点，若彳万=机商+—就，则实数机的值为

311

解：观察到民尸,N三点共线，利用“爪”字型图，可得

AP=mAB+nAN,且机+〃=1,由衣=工而可得彳曾=工彳亍，

34

__»__k1__kk2__►1283

所以4P=机■—nAC,由己知/尸=机4sH—ZC可得：—n=—nn=—,所以机=一

4114111111

答案：C

3.如图，在AZ5c中，AN=-NC,尸是5N上的一点，若刀=机商+—%,则实数机的值为

311

()

9532

A.—B.—C.—D.—

11111111

解：观察到民P,N三点共线，利用“爪”字型图，可得

AP=mAB+nAN,且机+〃=1,由前=工比可得彳犷=工％,

34

__kkkk2__k1283

所以4P=机43HnAC,由已知/尸=7〃4sH----ZC可得：一〃=一=>〃=一，所以m=一

4114111111

答案：C

即时检测

L（2024•云南昆明•一模）在。8C中，点。满足而=4丽，则（）

A.CD^-CA+-CBB.CD^-CA+~CB

4444

C.CD=|G4+|CBD.CD=^CA+^CB

【答案】C

【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果.

【详解】如下图所示：

A

—»—»----»—»4—>-—►4/—»—►\—<•4/—>■—»\1—►4—»

易知CD=G4+/r>=C4+《/B=C/+］（/C+C2）=C4+M（_C/+CB）=《C/+WC8；

—•1—•4—•

即可得CD=1G4+《C8.

故选：C

2.（2024・广东广州•一模）已知在AASC中，点D在边3c上，且前=5反，则赤=（）

A.-AB+-ACB,工就+»标C.-AB+-ACD.-AB+-AC

66665555

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算即可.

【详解】在U8C中，BC^AC-AB＞又点。在边8。上，且诙=5况，

贝1］至=万+而=布+』阮•=方+之证-画:"1■方+工工,

661'66

故选：A.

3.（2023•湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测）如图，在。BC中，点。在BC的延长线上,

\BD\^3\DC\,如果诟=xZ§+.y就，那么（）

A

1313

A.x=—,y=—B.x=——,y=—

2222

1313

C.一D.x=-,y=-

222

【答案】B

【分析】用向量的线性运算把向量通分解成®=x方+'就形式即可得答案.

_____►_______3__►

【详解】vAD=AB+BD,BD=-BC,

2

—,,—-3—----,3/->—►1—►3―►

AD=AB+-BC=AB+-(AC-AB——AB+—AC,

22、22

故选：B.

4.（2023-江苏苏州•模拟预测）（多选）在A48C中，记次三，就=],点。在直线8C上，且2D=3DC.

__M4

若AD=ma+nB，则一的值可能为（）

n

11

A.-2B.——C.-D.2

33

【答案】BC

【分析】分点内分与外分线段5。讨论，再由向量的线性运算求解即可.

【详解】当。点在线段3C上时，如图，

—►―►—►—►3—►—►3/—►-1—►3—►L3f

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-[AC-AB]=-AB+-AC=-a+-b,

44、74444

j_

所”以一加一=今4=』1，

n3

4

当。点在线段的延长线上时，如图,

A

CD

八万+而二方+*=万+|国一期万

1

2

故选：BC.

IN•好题冲关

基础过关

1.（2024・上海浦东新・三模）给定平面上的一组向量［、&,则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的

是（）

A.2,+02和6-？2B.,+36和4+3,

C.3q-%和24-6,D.,和,+e2

【答案】C

【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.

【详解】对A：不存在实数4,使得+£=

故2,+々和不共线，可作基底；

对B：不存在实数X,使得乌+302=/1（4+30），

故q+3e2和e2+3q不共线，可作基底；

对C：对和区-6泉，因为„是不共线的两个非零向量,

且存在实数-2,使得-61=-2（31-最），

故3,-4和24-66共线，不可作基底；

对D：不存在实数彳，使得1=2后+1）,故]和•+最不共线，可作基底.

故选：C.

2.（2024•浙江绍兴•二模）已知四边形48CD是平行四边形，反=2屉，DF=2FC,记方=Z,AD=b>

则丽=（）

1—2y1-27

A.——a+—bB.——ab

3333

2-IT2-]y

C.—a+—bD.-a——b

3333

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.

【详解】在。/BCD中，EC=2BE，DF^2FC，AB=a,AD^b，

所以加=丽-屋=一而一一CB=--a+-b.

3333

3.（2024•全国•模拟预测）在平行四边形N3C。中，EB=2AE,BF=FC,记方=扇疝5=3,则丽=（）

„2,12一1-

A.—a——rbBn.—a+—b

3232

L1-1WC1-

C.—a+—bD.—a+—b

3223

【答案】B

【分析】由向量的线性运算，用方，诟表示访

【详解】因为砺=2次,而=元，则有丽=一益,而=一就=一而，

322

故选：B.

—2—

4.（2024・山东济南•二模）在“8C中，£为边48的中点，BD=-BC,则瓦=（）

1—►2—►5—►1—►

A.——AB+-ACB.-AB+-AC

6363

1—►2—►1—►2―►

C.-AB+-ACD.-AB——AC

6363

【答案】D

【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.

【详解】因为£为边的中点，BD=^BC,

所以反=丽+砺=2通二方=口方-宿-，砺」在二式.

323、7263

5.（2024・全国•模拟预测）已知等边三角形A8C的边长为2,尸为AASC的中心，PELAC,垂足为E,则

PE=（）

1--2—-1—.1—-1--1—2—>1—>

A.——AB+-ACB.——AB+-ACC.——AB+-ACD.——AB+-AC

33366333

【答案】B

【分析】连接/P并延长，交8C于点。，根据尸为的中心，易得。为8c的中点，E为/C的中点，

利用平面向量的线性运算求解.

【详解】解：如图所示：

因为尸为AABC的中心，

所以。为的中点.

又尸£，/。,;.后为/。的中点，

__k1_____________2__.

:.PE=AE-AP=-AC——AD,

23

二元_2'_1（方+宿」方+工，

232、136

故选：B.

6.（2024・陕西安康•模拟预测）在梯形/BCD中，反=3次,E为线段4D的中点，DF=2FC，则而=

（）

--1—►1—►—►1—►1—►—►3—-

A.-BA+-BCB.——BA+BCC.——BA+-BCD.-BA+-BC

22222

【答案】A

【分析】先用向量和三角形减法法则得EF=DF-DE，再对它们进行线性运算转化为EF=-^BA+^BD,

此时继续找到丽=就+3丽，从而可得结果.

【详解】

由图可得：EF=DF-DE，由而=2京,E为线段的中点可得，

-.2__►1—►

EF=-DC--DA,再由方=3万可得，

丽=gx（-3）丽一;回一珂=-|■或+g丽,

又因为丽=就+而=而+3茄，代入得：

£F=-|S3+|（5C+3A4）=-53+15C,

故选：A.

7.（2024・四川•模拟预测）已知平行四边形/BCD中，E为/C中点./为线段/。上靠近点A的四等分点,

设方=&,ll）=b＞则/=（）

1-173.1-

AA.——a——bB.——a——b

4242

八1.17U3-

C.—a—bD.—a—b

2424

【答案】C

【分析】利用向量的线性运算可得答案.

【详解】如图所示，由题意可得就=万+诟=,

EF=EA+AF=-CA+-AD=一一（a+b]+-b=一一a一一b,

242、,424

故选：c.

DC

8.（2024・黑龙江•模拟预测）已知在梯形43C。中，45〃。。且满足酢=2反，/为4C中点，尸为线段45

上靠近点5的三等分点，设方=1,AD=b，则加=（）.

2-3一1]51-1_17*

A.—a——bB.—a——bC.——a——bD.-a一一b

324612226

【答案】C

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.

【详解】如图所示，

_.__._.1__.?—►1(-1、251一

\^EF=EA+AF=-CA+-AB=一一\b+-a\+-a=—a一一b.

23212)3122

故选：C.

9.(2024・广东汕头•三模)已知四边形/5CQ是平行四边形，~BE=2EC，DF=FC,则而=()

A.-—~AB+-~ADB.--~AB--AD

2323

C.--AB+-ADD.--AB--AD

3232

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量求解即得.

【详解】在口中，由屉=2反，DF=FC^

^EF=EC+CF=-BC+-CD=--AB+-AD.

3223

故选:A

10.（2024・广东佛山•模拟预测）在“8C中，AB=a,AC=b,若公=2反航=2灰，线段4D与班交

于点尸，则而=（）

1-2-、1-2-

An.—a+—bB.—a——b

3333

C.--a-bD.--a--b

3+333

【答案】B

【分析】根据中线性质得出万=g而，再由平面向量线性运算即可求得结果.

【详解】如下图所示:

由/C=2EC,BC=2DC可得。,E分别为BC,NC的中点,

2—>

由中线性质可得4尸=§4。,

又通=；(方+%)=g,+B),所以#=gx；(3+B)=g,+B),

因此:而=

G5+M=-B+1a+b=-a--b.

333

故选：B

能力提不二

一、单选题

L(2024•福建漳州•模拟预测)在A/8C中，。是边BC上一点，且BD=2DC,E是/C的中点，记

AC^m,AD=n,贝傣=()

5一一7一一7-一

A.-n-3mB.-n—3mC.-m-3nD.-m-3n

3222

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.

【详解】BE=AE-AB=^AC-(AC+CB)

=-^AC-3CD=-^AC~3(AD-AC)

5—.—•5

=-AC-3AD=-m-3n,

22

故选：D.

A

2.（2024•辽宁・二模）已知平行四边形N8CD,点P在△BCD的内部（不含边界），则下列选项中，N可

能的关系式为（）

A.AP=-AB+-ADB.AP=-AB+-Al5

5544

C.AP=-AB+-AI）D.AP=-AB+-AI）

3433

【答案】C

【分析】根据题意，设：l?=x刀+了1万，结合平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解.

【详解】设/尸=+y£R）,由平面向量的基本定理，可得：

当x+y=l时，此时点P在直线上；

当0<x+y<l时，此时点P在点/和直线之间；

当l<x+y<2时，此时点尸在点C和直线5。之间；

当x+y=2时，此时点尸在过点。且与直线AD平行的直线上，

—►1—►3—►13

对于A中，由向量4尸=,48+14。，满足所以点尸在△48。内部，所以A错误；

对于B中，由—/►尸1—+►=3—►满足1：+3；=1,所以点尸在AD上，所以B错误；

4444

—►2—►3—►23

对于C中，由=+满足1<§+厂2,所以点P可能在△BCD内部，所以C正确；

对于D中，由后方+：而，满足：+。=2,此时点P在过点C且与直线2。平行的直线上，所以D

错误.

故选：C.

3.（2023•湖南•一模）在"8C中，点。满足诟=2丽,E为△BC。重心，^JC=m,AC=n,则荏可表

示为（）

A.-m+-nB.--m+-n

3333

C.--m+-nD.-m+-n

9999

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算、三角形的重心等知识求得正确答案.

【详解】^=7C+CE=AC+-^-^[CD+CB^='AC+-{-CB+-CA\+-CB=n+-+—

323(33)39I79

（一五）+]•（一玩）=一1成+§元

故选：C

4.（22-23高三上•全国•阶段练习）在平行四边形43c。中，砺=2而，AF=AC+2AB,若

__^

EF=AAB+JuAD^,Ju&R),则一=()

A.1B.2C.4D.8

【答案】D

【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得方=^方+（右，从而得解.

【详解】AF=AC+2AB=AB+AD+2AB=3AB+AD,

AE=AB+BE=AB+2ED=AB+2（AD-AE）,

：.AE=-AD+-AB,

33

EF=AF-AE=3AB-^-'AD一一AD――AB=-AB+-AD,

3333

EF=AAB+juAD,

-=£"J,1=8

3"3〃

故选：D.

5.（2024•内蒙古包头•一模）如图，在菱形4BC。中，45=4,NABC=60°,昆尸分别为上的点,

BE=3EA，BF=3FC-若线段E尸上存在一点M,使得万方=；比+工而（xeR）,则方曲.而等于（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】以屁，而为基底可表示出两，由三点共线可构造方程求得x,将所求数量积化为

-;而-:前）（防-前），根据数量积的定义和运算律可求得结果.

【详解】

-----►1—►—►1—►——1—►—►2—►4x—►

:.DM=-DC+xDA=-AB+xCB=——BA-xBC=——BE——BF,

22233

:.BM=BD+1)M=BA+BC+DM=-~BE+-(\-x)BF,

,•,瓦监/三点共线，Aj+1(l-x)=l,解得：x=|,.-.DM=-^BA-^BC,

-----(1--3—/--►\1-21—►—►3—*2

:.DM-CA=\--BA--BC\^BA-BCj=--BA--BABC+-BC=-8-4cos60°+12=2.

故选：A.

6.(2024•河北衡水,模拟预测)在。8C中，。是3C的中点，直线/分别与交于点M,瓦N,且

AB=^AM,AE=2ED,AC=AAN,则X=()

,8575

A.—B.—C.-D.一

5342

【答案】B

【分析】根据向量运算法则，利用而，前表示诟，结合向量三点共线的定理列式运算求解.

【详解】由运=2而，^AE=-AD=-(AB+AC)=-l-AM+AANj=-AM+-AN.

425

因为〃，瓦N共线，所以§+§=1,解得％=

故选：B.

7.（2024•宁夏银川•模拟预测）在中，BD=2DC，过点。的直线分别交直线45、力