【课件】双曲线及其标准方程课件-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章

圆锥曲线的方程3.2双曲线

3.2.1

双曲线及其标准方程一二三学习目标了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.提升逻辑推理、数学运算的数学素养掌握双曲线的标准方程及其求法,提升数学运算的核心素养能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题,提升数学建模的核心素养.学习目标复习回顾椭圆的定义:平面内与两个定点|F1F2|的距离的

等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.椭圆的标准方程:和思考

如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？差

？下面，我们分别用数学实验和信息技术探究一下。如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内,取定点F1,F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆lABPF1F2新知探究

①当点

P在线段AB上运动时，如果|F1F2|<|AB|，那么两圆相交ABPF1F2所以，其交点M的轨迹是椭圆;两圆相交，设交点为M、M'MM'新知探究如果|F1F2|>|AB|,两圆不相交，不存在交点轨迹.新知探究问题1

如图，在|AB|<|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下,让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的轨迹是什么形状?F1F2MM'ABPF1F2MM'ABP新知探究当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|;总之，点M与两个定点F1，F2距离的差的绝对值|AB|是一个常数(|AB|<|F1F2|)，这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.新知探究数学试验演示[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3]拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？（要求：请认真观察图中动画，对比椭圆第一定义的生成，思考点M在运动过程中那些量没有发生变化？在试验中能否找到一种等量关系？）概念生成双曲线定义

我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．符号表述：||MF1|-|MF2||=2a＜|F1F2|=2c一般用2a表示一般用2c表示2FF1M概念辨析辨析1

定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？若不强调轨迹是什么？如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支.①若2a=2c,即||MF1|-|MF2||=|F1F2|，则轨迹是什么？②若2a>2c,即||MF1|-|MF2||>|F1F2|，则轨迹是什么？③若2a=0,即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线此时轨迹不存在此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线分3种情况来看：

辨析2

定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制，动点的轨迹会是什么？F1F2MF1F2M概念辨析辨析3定义中为什么要加绝对值？如果不加绝对值，动点的轨迹会是什么？①如图(A)，当|MF1|>|MF2|时∵|MF1|=|MF|=|MF2|+|F2F|∴|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a此时，点M的轨迹是双曲线的右支②如图(B)，当|MF1|<|MF2|时∵|MF2|=|MF|=|MF1|+|F1F|∴|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a此时，点M的轨迹是双曲线的左支新知探究问题2

类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？

设M(x,y)

是双曲线上任意一点，

双曲线的焦距为2c(c>0)，则有F1(-c,0)

,F2(c,0).

又设||MF1|-|MF2||=2a(a为大于0的常数,a<c)．F1F2MxyO

观察我们画出的双曲线，可以发现它也具有对称性，直线F1F2是它的一条对称轴.

我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图).由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：建系设点列式代换①新知探究①追问

类比椭圆标准方程的化简，怎样化简上面的方程呢？化简由双曲线定义知，2c＞2a，

c＞a，所以c2-a2＞0

令b2=c2-a2,其中b＞0,代入上式得：新知探究

我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.F1F2MxyO问题3

类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？F2F1MxyO

这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0,-c),F2(0,c)的双曲线，这里c2=a2+b2.追问如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？看x2，y2前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴上------焦点跟着正项走.巩固练习课本P121变式典例解析例1

已知双曲线的焦点

F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.解：巩固练习课本P1211.求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)焦点在轴x上，a=4，b=3；

(2)焦点在轴x上，经过点

(3)焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5).(2)∵焦点在x轴上，故可设双曲线的标准方程为巩固练习课本P1211.求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(3)焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5).(3)解1:∵焦点在y轴上，故可设双曲线的标准方程为(3)解2:(定义法)巩固练习课本P121解:典例解析∴爆炸点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线靠近点B的一支.

例2

已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

解：如图示建立直角坐标系xOy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB的中点重合，设爆炸点为P，

则∴炮弹爆炸点的轨迹方程为xyoBAP•••思考

如果A,B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？爆炸点应在线段AB的中垂线上.由例2可知，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差,就可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但是不能确定爆炸点的准确位置.要想确定爆炸点的准确位置，还需增设一个观测点C，利用A,C(或B,C)两处测得的爆炸声的时间差,求爆炸点所在的另一个双曲线的方程.解这两个双曲线方程组成的方程组,就能确定爆炸点的准确位置.

这是双曲线的一个重要应用.反思

如何准确测出爆炸点的位置？

xyoBAP••••C典例解析新知探究探究

如图,点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,试求点M的轨迹方程,并由点M的轨迹方程判断轨迹的形式,与3.1例3比较,你有什么发现?ABMOxy•解：由方程可知，点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的双曲线.追问

通过比较能得到什么结论？ABMOxy•xyBMOA•点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的椭圆.点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的双曲线.追问

通过比较能得到什么结论？新知探究新知探究追问

通过比较能得到什么结论？结论1：新知探究追问

通过比较能得到什么结论？

已知△ABC的两个顶点B(-a,0),C(a,0),直线AB,AC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),则顶点A的轨迹与m有如下关系：结论2：设A(x,y),则化简整理得①当m=－1时,顶点A的轨迹是以原点为圆心,半径为1的圆,去掉(±a,0)；②当－1<m<0时,顶点A的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，去掉(±a,0)；③当m<－1时,顶点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，去掉(±a,0).④当m>0时,顶点A的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，去掉(±a,0).巩固练习课本P121证明:课堂小结椭圆双曲线定义方程焦点在x轴上焦点在y轴上焦点a,b,c的关系F1(－c,0),F2(c,0)a>0,b>0,c2=a2+b2