北京市大兴区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

高一数学本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合，则不正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，再根据元素与集合、集合与集合的关系及子集的性质逐一判断.【详解】，显然A正确；B不正确；因为是任何集合的子集；任何集合都是它本身的子集，故C、D正确；故选：B.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定结构直接判断即可【详解】命题“”的否定为：.故选：D3.下列函数中，是奇函数且值域为的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断定义域，再判断函数奇偶性，最后再根据定义域得到值域即可求出结果.【详解】对于A，定义域为，定义域不关于原点对称，所以该函数不是奇函数，该选项不符合题意；对于B，定义域为，，所以该函数不为奇函数，该选项不符合题意；对于C，定义域为，，则该函数为奇函数，又值域为，该选项符合题意；对于D，定义域为，，则该函数为奇函数，但值域为，该选项不符合题意；故选：C.4.已知，且，则的最小值为（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】对条件变形，结合基本不等式计算即可.【详解】因为，所以，，所以，当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为.故选：C.5.设a，b，c，d为实数，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的可加性可得成立；反之不成立，例如取，，a=2，．【详解】根据不等式的可加性可得成立；反之不成立，例如取，，a=2，，满足，但是不成立，∴是的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.6.设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式求解函数在上的单调区间，再结合题给的区间求解参数的范围，最后得出答案.【详解】根据题意，.设，且，，.时，，此时，在上单调递增；时，，此时，在上单调递减.根据题意，函数在区间上单调递增，所以，解得，.故选：B.7.下列四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，a2>b2⇔对于B选项，，两者互为充要条件，故不成立；对于C选项，，反之，不然，故满足条件；对于D选项，，故是的必要不充分条件，不满足；综上，只有C正确.故选：C【点睛】本题考查充分不必要条件，是基础题.8.若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，将问题转化为，分类讨论与两种情况讨论，得到关于的不等式，解之即可得解.【详解】令，的对称轴为，当，即时，，所以，则，故；当，即时，，所以，则，故；综上，，即实数的取值范围是.故选：D.9.定义在上的偶函数满足：，且对任意的，都有，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断单调性，结合奇偶性，分和讨论即可得解.【详解】因为对任意的，都有，所以在上单调递减，因为为偶函数，所以在上单调递增，又，所以，当时，，可得0<x<2；当时，，可得.综上，不等式的解集为.故选：C10.已知函数，集合，则（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根据已知判断二次函数的开口方向和的范围，利用韦达定理求的根，然后可得的解集，利用二次函数单调性即可得解.【详解】因为，所以，又，所以，又，所以，所以，因为，所以，所以的一个根为1，由韦达定理可得，的另一个根为，所以的解集为，所以，由单调性可知恒成立.故选：A【点睛】关键点睛：关键在于利用韦达定理求解不等式的解集，然后结合单调性即可得解.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是___________.【答案】【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得，即函数的定义域为故答案为：12.设，则与的大小关系是______．【答案】【解析】【分析】用作差法比较大小即可．【详解】，所以．故答案为：．13.函数则______；不等式的解集为______．【答案】①.0②.【解析】【分析】根据给定条件求出的值，即可求得的值；根据分段函数的解析式，对自变量进行讨论，解不等式即可得到答案.【详解】因为，所以，即；依题意，不等式等价于：或，解，得：；解，得：；综上可得：或，故原不等式的解集为.故答案为：0，14.定义域相同，值域相同，但对应关系不同的两个函数可以是______，______．【答案】①.（不唯一）②.（不唯一）【解析】【分析】根据定义域、值域相同即可得解.【详解】根据定义域、值域相同，可取，两个函数的定义域、值域都为.故答案为：；（答案不唯一）15.已知函数定义域为，若满足：对任意的，当时，总有成立，则称为单函数．给出下列四个结论：（1）不是单函数；（2）是单函数；（3）若为单函数，则在定义域上一定是单调函数；（4）若为单函数，则对任意的，当时，总有成立．其中所有正确结论的序号是______．【答案】（1）（2）（4）【解析】【分析】取特殊值，根据新定义判断（1），根据新定义推理可判断（2），举反例判断（3），反证法判断（4）.【详解】对（1），因为，，不满足单函数定义，所以不是单函数，故（1）正确；对（2），，当时，可得，即，所以是单函数，故（2）正确；对（3），为单函数，可取，但是在定义域上不单调，故（3）错误；对（4），当时，假设，则由单函数定义，可得，矛盾，故，故（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）求在区间上的最大值与最小值；（3）设，求证：．【答案】（1）（2）最大值为5，最小值为（3）证明见解析【解析】【分析】（1），即，解一元二次不等式即可；（2）求出二次函数的对称轴，利用单调性及二次函数的性质即可求解；（3）利用作差法即可得证.【小问1详解】由，可知，即，解得或，所以的解集为.【小问2详解】因为的对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，.【小问3详解】因为，，所以，即.17.已知集合．（1）当时，求；（2）再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求取值范围．条件（1）：；条件（2）：“”是“”的充分条件．注：如果选择条件（1）和条件（2）分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）答案见解析；【解析】【分析】（1）由集合的交并补运算得到结果即可；（2）选条件（1）时由补集和集合间的包含关系计算即可；选条件（2），先由充分条件得到，再计算即可；【小问1详解】当时，，所以，或，所以，【小问2详解】选条件（1），或，，因为，所以，即；选条件（2），因为“”是“”的充分条件，所以，所以，即.18.已知函数．（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）用单调性定义证明在区间上单调递减；（3）若的图象与轴交于两点，且，求的取值范围．【答案】（1）是偶函数，理由见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）求出定义域，找出的关系；（2）利用四步证明，取值，作差变形，定号，下结论；（3）根据偶函数及在上单调递减，要使，与轴交于正半轴且将代入函数值小于．【小问1详解】解：的定义域为R，，是偶函数；【小问2详解】解：且，且，，，，，则，即，在区间上单调递减；【小问3详解】解：的图象与轴交于两点，且，则，解得：．19.已知经过年某汽车的总花费由购车费、维修费和其他费用组成，其中购车费用是22.5万元，使用年的维修费为万元，且每年的其他费用为0.8万元．（1）求经过2年该车的总花费为多少万元；（2）设经过年该车的年平均花费为万元，写出关于的函数解析式，并求的最小值．【答案】（1）经过2年该车的总花费为万元；（2），的最小值为万元【解析】【分析】（1）设总花费为万元，根据题意列出总费用的表达式，再将代入计算即可；（2）利用，再利用基本不等式求最值．【小问1详解】解：设总花费为万元，则，当，（万元），答：经过2年该车总花费为万元；【小问2详解】解：由题意得：，，，当且仅当：，即，等号成立，故的最小值为万元．20.已知函数．令函数（1）若，求的值；（2）若函数的图象关于点成中心对称图形，当时，．（i）直接写出当时，的解析式；（ii）对任意的恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根据条件得到分段函数，根据函数值求得的值；（2）（i）根据对称求出解析式；（ii）根据函数的单调性，以及函数值所对应的点可求出取值.【小问1详解】当，即，解得或，当，即，解得，所以，当或，若，即，解得，矛盾，当，若，即，解得，（舍），所以当时，；【小问2详解】（i）设，则，因为函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，所以，当，即时，，则，当，即时，，则，所以；（ii）根据以上条件可得当时，，当时，，所以该函数在和1,+∞上为增函数，在−1,1上为减函数，又，由（1）可知当时，时，求得，不存在的值，当时，，令，求得，因为对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以当时，，即，解得，所以的取值范围为.21.若含有4个元素的数集能满足，则称数集具有性质．给定集合.（1）写出一个具有性质的集合，并说明理由；（2）若，证明：集合和不可能都具有性质；（3）若集合有4个元素，，且，，证明：这个集合不可能同时都具有性质．【答案】（1）（2）答案见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）需要根据性质的定义，在给定集合中找出满足条件的四个元素组成集合，并验证.（2）需要假设它们都具有性质，然后推出矛盾.这里要用到性质的定义以及集合的相关性质.（3）可以采用反证法，假设这个集合都具有性质，然后根据集合的并集、交集性质以及性质的定义推出矛盾.【小问1详解】取，满足，所以是具有性质的集合.【小问2详解】因为，所以和中一个为奇数，一个为偶数.所以中至多