2025年高考数学复习之解答题：统计（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：统计（10题）

—.解答题（共10小题）

1.（2024•回忆版）某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中

随机抽取150件进行检验，数据如下:

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

（1）填写如下列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间

产品的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设方为升级改造后抽取的〃件产品的优级品率.如

果万＞P+L65旧》,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认

为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（底U=12.247）

2

喝n（ad-bc）______

叩：八_（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）'

P(心2%)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.（2024•惠农区校级三模）“一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共赢之路.为了了解

我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量（单

位：亿人民币/天）得下表：

进口[0,50](50,100](100,150]

出口

[0,50]32184

(50,100]6812

(100,150]3710

(1)估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿人民币”的概率;

(2)根据所给数据，完成下面的2X2列联表:

进口[0,100](100,150]

出口

[0,100]

(100,150]

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为“我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口

贸易量”有关?

附：K2=(a+b)及戕?c)(b+d”n=a+b+c+d.

P(蜉》/)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

3.(2024•青海二模)某企业近年来的广告费用x(百万元)与所获得的利润y(千万元)的数据如下表所

示，已知y与x之间具有线性相关关系.

年份20182019202020212022

广告费用X/百1.51.61.71.81.9

万元

利润V千万元1.622.42.53

(1)求y关于x的线性回归方程:

(2)若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据(1)中所得的线性

回归方程，预测2025年该企业可获得的利润.

参考公式：b=金0------------2—,a=y-bx.

必(生「元)

4.(2024•故城县校级模拟)某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽

样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30),[30,40),

[80,90],并整理得到频率分布直方图如图所示.

(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率;

(2)估计测评成绩的75%分位数;

(3)已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男

生.从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男

生”这两个事件是否独立？请证明你的结论.

频率

5.(2024•顺义区校级模拟)习近平总书记高度重视体育运动的发展，将体育与国家发展、民族振兴紧密

联系在一起，多次强调体育“是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为了响

应总书记的号召，某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情

况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间(单位：分钟)，得到下表：

时间人数类别[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

性别男51213898

女69101064

学段初中10

高中41312754

(I)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在［60,70)

的概率；

(II)从该校参加体育实践活动时间在［80,90)学生中随机抽取2人，在［90,100)的学生中随机抽

取1人，求供中至少有1名初中学生的概率；

(III)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均

数记为卬，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为因，内，试比较卬与出产的大

小关系.(结论不要求证明)

6.(2024•大武口区校级三模)为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在

全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参

与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：［50,60),［60,70),［70,

3

80),［80,90),［90,100］,得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占

(1)求抽取的200名学生的平均成绩无(同一组数据用该组区间的中点值代替)；

(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣

讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；

(3)若比赛成绩元+s(s为样本数据的标准差)，则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩

优秀的人数.

7.(2024•衡水一模)《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持

电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、

高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部

件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略,

为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一

条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所

生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到

频率直方图(如图)：

(1)从质量指标值在［55,75)的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随

机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.

(2)经估计知这组样本的平均数为元=61,方差为$2=241.检验标准中即=5x｛七声｝,bn=5x

［争］,"6N*,其中印表示不大于无的最大整数，口｝表示不小于x的最小整数，s值四舍五入精确到

个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在［小，内，则可以判断技术改造后

的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在［破，历］内，则可以判断技术改造后的产

品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成

功？

8.(2024•上海)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580

人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

学业成绩

优秀5444231

不优秀1341471374027

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？

(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1).

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？

9.(2024•莲湖区校级四模)某工厂的工人生产内径为28.50m"2的一种零件，为了了解零件的生产质量，

在某次抽检中，从该厂的1000个零件中抽出60个，测得其内径尺寸(单位：mm)如下：

28.51X1328.52X628.50X428.48X11

28.49Xp28.54XI28.53X728.47Xq

这里用xX”表示有"个尺寸为的零件，p,q均为正整数.若从这60个零件中随机抽取1个，则

4

这个零件的内径尺寸小于28.49mm的概率为-7.

15

(1)求p,q的值.

(2)已知这60个零件内径尺寸的平均数为方nrn,标准差为且s=0.02,在某次抽检中，若抽取

的零件中至少有80%的零件内径尺寸在回-s,元+s］内，则称本次抽检的零件合格.试问这次抽检的

零件是否合格？说明你的理由.

10.(2024•长沙模拟)2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病.为了彻底击败病毒，人们更加讲究

卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的

首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数；

(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；

(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生人围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩(记

为k).

频率

2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：统计（10题）

参考答案与试题解析

一.解答题（共10小题）

1.（2024•回忆版）某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中

随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

（1）填写如下列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间

产品的优级品率存在差异？

（2）己知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设步为升级改造后抽取的"件产品的优级品率.如

果万＞p+1.65秒m，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认

为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（VI丽=12.247）

2

W4.r2_______rt（ad-bc）_______

阳:八一（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）'

P（产2左）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【考点】独立性检验.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据题目所给的数据填写2X2列联表，计算产，对照题目中的表格，得出统计结论;

（2）由题意求得力比较力和p+1.65眄即可得出结论.

【解答】解：（1）根据题目所给数据得到如下2又2的列联表：

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

零假设”0：根据a=0.05的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异,

7

150x(70x24-26x30)

=4.6875>3,841,

-96x54x50x100-

有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异;

零假设"0：根据a=0.01的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异,

4.6875<6.635,没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.

(2)由题意得万=盖=0.64,0+1.65坦言6=0.5+1.65X鉴M).57,

所以»>p+L65秒守，故有优化提升.

【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题.

2.(2024•惠农区校级三模)“一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共赢之路.为了了解

我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量(单

位：亿人民币/天)得下表：

进口[0,50](50,100](100,150]

出口

[0,50]32184

(50,100]6812

(100,150]3710

(1)估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿人民币”的概率;

(2)根据所给数据，完成下面的2X2列联表：

进口[0,100](100,150]

出口

[0,100]

(100,150]

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为“我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口

贸易量”有关？

附：Y=(a+b)及瑟?c)(b+d)，n=a+b+c+d.

P（产2）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【考点】独立性检验.

【专题】对应思想；综合法；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）进口贸易与出口贸易均不超过100的天数为64,利用古典概型概率公式即可求解；

（2）根据100天进口贸易量与出口贸易量，计算各段的频数即可；

（3）把表中数据代入公式K2=".八,n=a+h+c+d,即可.

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

【解答】解：（1）由表中的信息可知，在100天中，进口贸易与出口贸易均不超过100的天数为32+18+6+8

=64,

用频率估计概率，可得所求概率为P=益=弱;

（2）根据所给数据，列出2义2列联表如下:

进口[0,100](100,150]

出口

[0,100]6416

(100,150]1010

(3)把(2)中数据代入产=g+b)图黑?c)(b+d)，n=a+b+c+d，K2=

100x(64x10—16x10)2

x7,484>6.635.

80x20x74x26

所以有99%的把握认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关.

【点评】本题考查独立性检验，属于中档题.

3.（2024•青海二模）某企业近年来的广告费用无（百万元）与所获得的利润y（千万元）的数据如下表所

示，已知y与x之间具有线性相关关系.

年份20182019202020212022

广告费用X/百1.51.61.71.81.9

万元

利润w千万元1.622.42.53

(1)求y关于x的线性回归方程：

(2)若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据(1)中所得的线性

回归方程，预测2025年该企业可获得的利润.

\,71__

至孝八十,2i=i(x「均⑶「》).-

参考公式：b=——--------------，a=y—bx.

Xki(%一元/

【考点】经验回归方程与经验回归直线.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】(1)y=3.3%-3.31；

(2)3.95千万元.

【分析】(1)根据题意求出元，歹，Ei=i%2,刈%,代入公式求出6,a的值，进而得到y关

于x的线性回归方程；

(2)利用(1)得到的线性回归方程进行预测即可.

»*73/1\i+tBrs^-TTrin-1.5+1.6+1.7+1.8+1.9—1.6+2+2.4+2.5+3_„52

【解答】斛：(1)由题忌可知，x=-------------g-------------=1.7,y=------------g-----------=2.3,XV;=iXi=

1.52+1.62+1.72+1.82+1.92=14.55,£乙々%=1.5X1.6+1.6X2+1.7X2.4+1.8X2.5+

1.9x3=19.88,

所以b=隐要一”=19.88-5X1.7X尸=3.3,

£之1xf-5xz14.55—5x1.7’

所以a=y-bx=2.3-3.3x1.7=-3.31,

故所求的线性回归方程为y=3.3%-3.31；

(2)由题可知,到2025年时广告费用为2.2百万元，

故可预测该公司所获得的利润约为3.3X2.2-3.31=3.95(千万元).

【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解和应用，属于中档题.

4.(2024•故城县校级模拟)某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽

样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30),[30,40),

[80,90],并整理得到频率分布直方图如图所示.

(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；

(2)估计测评成绩的75%分位数；

(3)已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男

生.从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男

生”这两个事件是否独立？请证明你的结论.

频率

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】（1）0.2；（2）78.75；（3）不独立.

【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图，即可求出分数小于60的频率，则可得出总体的500名

学生中随机抽取1人，其分数小于60的概率估计值.（2）先得出从前到后的频率之和为0.75是在哪个

区间，再通过频率求出测评成绩的75%分位数.（3）验证独立性公式是否成立.

【解答】（1）解：由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：

（0.02+0.04+0.02）X10=0.8,则分数小于60的频率为1-0.8=0.2,

•••从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率为0.2；

（2）解：由频率分布直方图可得分数在区间［70,80）的频率最高，

则随机抽取的100名学生的众数的估计值为75,

由频率分布直方图可得分数小于70的频率为0.4,分数小于80的频率为0.8,

则测试成绩的75%分位数落在区间［70,80）上，

估计测评成绩的75%分位数为：70+10X螳=78.75；

（3）“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件不独立.

证明：由已知可得分数小于30的学生有2人，其中1名男生，1名女生，

30分到40分的学生有3人，其中2名男生，1名女生，

设“抽到的学生分数小于30”为事件A,“抽到的学生是男生”为事件8,

则从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，“抽到的学生分数小于30”的概率为M

3

从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，“抽到的学生是男生”的概率为g,

则从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人,

“抽到的学生分数小于30”且“抽到的学生是男生”的概率为g

则有P(A8)WP(A)P(B),

则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件不独立.

【点评】本题考查概率、频数、众数、分位数、频率分布直方图等基础知识，属于基础题.

5.(2024•顺义区校级模拟)习近平总书记高度重视体育运动的发展，将体育与国家发展、民族振兴紧密

联系在一起，多次强调体育”是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为了响

应总书记的号召，某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情

况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间(单位：分钟)，得到下表：

时间人数类别[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

性别男51213898

女69101064

学段初中10

高中41312754

(I)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在［60,70)

的概率；

(II)从该校参加体育实践活动时间在［80,90)学生中随机抽取2人，在［90,100)的学生中随机抽

取1人，求供中至少有1名初中学生的概率；

(III)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均

数记为卬，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为因，山，试比较卬与七性的大

小关系.(结论不要求证明)

【考点】用样本估计总体的集中趋势参数.

【专题】整体思想；分析法；概率与统计；数学运算.

【答案】⑴

2

(2)——.

63

(3)〃。〉”笺

【分析】(1)根据条件概率公式求解即可；

(2)根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；

(3)补全初中段的人数表格，再分别计算四，因，因，即可得解.

【解答】解：(1)女生共有6+9+10+10+6+4=45人，

记事件A为“从所有调查学生中随机抽取1人，

女生被抽到”，事件8为“从所有调查学生中随机抽取1人，

参加体育活动时间在［60,70)”，

由题意可知，P(a)=襦=券P(4B)=播

1

因此P(B|4)=半祟=空量

I'20

所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在［60,70)的概

率为I-

(2)时间在［80,90)的学生有10+5=15人，

活动时间在［90,100］的初中学生有8+4-4=8人，

记事件C为“从参加体育活动时间在［80,90)的学生中随机抽取2人，

抽到初中学生”，事件。为“从参加体育活动时间在［90,100］的学生中随机抽取1人，抽到的是初

中学生”，

_心2->41

由题意知，事件CJD相互独立，且P(C)=—=尢，P(D)==于

所以至少有1名初中学生的概率P=1-P(CD)=1-P(C)P(万)=/X==卷.

(3)根据男女生人数先补全初中学生各区间人数:

时间人数类别[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

性别男51213898

女69101064

学段初中781111108

高中41312754

初中生的总运动时间n=25X7+8X55+11X65+11X75+10X85+8X95=3765.

高中生的总运动时间f2=4X25+13X55+12X65+7X75+5X85+4X95=2925,

-T71,QOQr\z-z-o3765Ar2925-

乂=JQQ(3765+2925)=66.9,%=—^―七68.45,[i2=45=65,

可得由〃0>虫#.

【点评】本题考查了关于众数，中位数，平均数的相关的知识，应注意古典概型概率计算相关的知识,

属于中档题.

6.(2024•大武口区校级三模)为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在

全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参

与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：[50,60),[60,70),[70,

3

80),[80,90),[90,100],得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占

7

(1)求抽取的200名学生的平均成绩](同一组数据用该组区间的中点值代替)；

(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣

讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；

(3)若比赛成绩完+s(s为样本数据的标准差)，则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩

优秀的人数.

【考点】频率分布直方图的应用.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算.

1

【答案】(1)75；(2)-；(3)273.

7

【分析】(1)利用频率分布直方图中的平均数计算方法计算即可；

(2)先由题意求得抽到的高三学生人数，再利用古典概型与组合数即可求得所求概率；

(3)先利用题目所求标准差公式求得s,再求得优秀成绩所在区间的频率，从而可估算得成绩优秀的

人数.

【解答】解：(1)根据题意可得元=(55X0.011+65x0.02+75x0.034+85x0.028+95x0.007)x

10=75,

所以抽取的200名学生的平均成绩元=75；

3Q

(2)由于第五组总共要抽取7人，高三学生占所以抽到的高三学生应该有7x3=3人，

C43i

所以由古典概型可得这2人都是高三学生的概率为另=—=-；

(3)根据题意可得s=

7(55-75)2X0.11+(65-75)2x0.2+(75-75)2x0.34+(85-75)2X0.28+(95-75)2x0.07

=,44+20+0+28+28=V120=2同«11,

所以优秀的比赛成绩应该%＞元+s=75+11=86,

而比赛成绩在［86,100］的频率为：(90-86)X0.028+0.007X10=0.182,

而1500X0.182=273,

故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为273人.

【点评】本题考查频率分布直方图，平均数的概念，分层抽样的概念，标准差的概念，属中档题.

7.(2024•衡水一模)《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持

电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、

高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部

件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略,

为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一

条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所

生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到

频率直方图(如图)：

(1)从质量指标值在［55,75)的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随

机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.

(2)经估计知这组样本的平均数为元=61,方差为$2=241.检验标准中an=5x｛号｝bn=5x

［学］,”6N*,其中国表示不大于x的最大整数，｛尤｝表示不小于x的最小整数，s值四舍五入精确到

个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在［m,内，则可以判断技术改造后

的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在［及，历］内，则可以判断技术改造后的产

品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成

功？

频率/组距

0.03

0.02

535455565758595质量

指标值

【考点】频率分布直方图.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】(1)|；

(2)详见解析.

【分析】(1)根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；

(2)根据题中公式，计算出区间并判断数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.

P

【解答】解：⑴由题意可知5)=£!=?,

[65,75)

所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：P=里笠=小=*

C5

(2)因为S2=241,知s~因,

该抽样数据落在[45,75]内的频率约为0.16+0.3+0.2=66%>65%,

该抽样数据落在[30,90]内的频率约为1-0.03-0.04=0.93=93%<95%,

所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功.

【点评】本题考查频率直方图的运用，古典概率和离散型随机变量的期望和方差，考查转化思想和运算

能力，属于中档题.

8.(2024•上海)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580

人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

学业成绩

优秀5444231

不优秀1341471374027

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？

(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1).

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?

【考点】独立性检验.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】(1)12500人；

(2)0.9A；

(3)学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关

【分析】(1)由已知结合频率与概率关系即可求解；

(2)先求出样本平均数，然后用样本平均数估计总体平均数即可;

(3)结合独立性检验即可判断.

【解答】解：⑴580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比P=42+3+竺焦7+40+27=25

3oU30；

该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为29000x=12500；

(2)该地区初中学生锻炼平均时长约为

111+0S1+1S1升22+2S

—x[-X0.5X(5+134)+上要x(4+147)+三产x(42+137)+斗口x(3+40)/x(1+27)]=

58022222

27

为”0.9/7；

(3)由题意可得2X2列联表,

[1,2)其他总数

优秀455095

不优秀177308485

①提出零假设Ho：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关,

②确定显著性水平a=0.05,P(x2^3.841)处0.05,

580x(45x308—177x50)2

③f=«3.976>3.841,

(45+50)x(177+308)x(45+177)x(50+308)

④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.

【点评】本题主要考查了用样本估计总体，由频率分布表求平均数及独立性检验的应用，属于中档题.

9.(2024•莲湖区校级四模)某工厂的工人生产内径为28.50枷〃的一种零件，为了了解零件的生产质量，

在某次抽检中，从该厂的1000个零件中抽出60个，测得其内径尺寸(单位：机机)如下：

28.51X1328.52X628.50X428.48X11

28.49Xp28.54X128.53X728.47

这里用尤Xw表示有w个尺寸为Mww的零件，p,q均为正整数.若从这60个零件中随机抽取1个，则

.4

这个零件的内径尺寸小于28.49;77771的概率为一.

15

(1)求p,q的值.

(2)已知这60个零件内径尺寸的平均数为方rwn,标准差为且s=0.02,在某次抽检中，若抽取

的零件中至少有80%的零件内径尺寸在氏-s,元+s］内，则称本次抽检的零件合格.试问这次抽检的

零件是否合格？说明你的理由.

【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数.

【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据零件个数与对应的概率，建立方程组，解之可得答案；

(2)求出平均数，然后求出零件内径尺寸在区-S,元+s］内的个数，即可作出判断.

【解答】解：(1)依题意可得｛11+q_4,解得p=13,q=5；

t-60-=15

(2)将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为

1

—x［0.01X13+0.02X6+0X4+(-0.02)X11+(-0.01)X13+0.04X1+0.03X7+(-0.03)X5］=0,

可得元=0+28.50=28.50,所以元—s=28.48,x+s=28.52,这60个零件内径尺寸在［元—S,元+s］内

的个数为60-1-7-5=47,

4748

因为77<77=0-8,所以这次抽检的零件不合格.

6060

【点评】本题主要考查平均数公式、随机事件的概率公式等知识，考查了计算能力，属于基础题.

10.(2024•长沙模拟)2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病.为了彻底击败病毒，人们更加讲究

卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的

首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数；

(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；

(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生人围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩(记

为k).

频率

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】⑴2人；

(2)71分；

(3)88分.

【分析】(1)先根据各矩形的面积之和为1,求得。，再根据各层的人数比例抽取；

(2)利用平均数和中位数公式求解；

(3)根据百分位数的定义求解.

【解答】解：(1)由(0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a)X10=l,得。=0.03,

因为0.01X10X200=20(人)，0.015X10X200=30(人)，

所以不高于50分的抽5x=2(人)；

(2)平均数元=45X0.1+55X0.15+65X0.15+75X0.3+85X0.25+95X0.05=71(分)；

(3)因为成绩位于［90,100］的频率为0.005X10=0.05,成绩位于［80,90)的频率为0.025X10=0.25,

所以蛇［80,90),

则0.05+(90-k)X0.025=0.1,

解得左=88,

即入围复赛的成绩为88分.

【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的估计，考查了百分位数的定义，属于

基础题.

考点卡片

1.频率分布直方图

【知识点的认识】

1.频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表

中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图.

2.频率分布直方