2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：导数的概念及运算（学生版+解析）

第01讲导数的概念及运算

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................4

第三部分：高频考点一遍过...........................................4

高频考点一：导数的概念..........................................4

高频考点二：导数的运算..........................................5

高频考点三：求切线方程（在型）..................................6

高频考点四：求切线方程（过型）..................................6

高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数........................7

高频考点六：导数与函数图象......................................8

高频考点七：公切线问题.........................................32

高频考点八：与切线有关的转化问题...............................10

高频考点九：已知切线条数求参数.................................11

第四部分：典型易错题型.............................................12

备注：［肃］'=，w's求导时分子公式记错...............12

备注：复合函数求导容易误用求导法则.............................12

备注：求切线时“过型”容易误把已知点直接当切点.................12

第一部分：基础知识

1、平均变化率

(1)变化率

事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.

(2)平均变化率

一般地，函数/(X)在区间上,%］上的平均变化率为：:二.

(3)如何求函数的平均变化率

求函数的平均变化率通常用“两步”法：

①作差：求出与二八々)―/(玉)和心=々—玉

Ay/(x)-/(x.)

②作商：对所求得的差作商，即丁二2，2八L

Axx2

2、导数的概念

(1)定义：函数/(X)在x=4处瞬时变化率是lim电=lim/(X。+=)一(%),我们称它为函数

心一0Ax。Ax

V=/(只在1=/处的导数,记作/储)或y'J即/(x0)=lim包=lim/a+一)--㈤

°Ax-。Ax

(2)定义法求导数步骤：

①求函数的增量：AJ=/(X0+A%)-/(X0)；

②求平均变化率："=；

AxAx

③求极限，得导数：/Go)=lim电=limA/+板)-/(X。)

—一°Ax。Ax

3、导数的几何意义

函数y=/O)在点％=%处的导数的几何意义，就是曲线y=/(x)在点q(后,%)处的切线的斜率左，即

k=

4、基本初等函数的导数公式

基本初等函数导数

/(x)=c(c为常数)r(x)=o

f(x)=xn(neR)rax”上

/(x)=sinxfr(x)=COSX

/(x)=cosXf\x)=-sinx

/(x)=/fd

/(x)=a(a>0)fr(x)-ax\na

/(x)=lnxru)=-

/(x)=log：(a>0,awl)

rax4xina

/(x)=Vx

八x)=-4

/(x)=-

XX

5、导数的运算法则

若/'(x),g'(x)存在，则有

(1)"(%)土g(x)T=r(x)土g'(x)

(2)[/(X)-g(x)]'=f'(x)-g(x)+/(%)-g'(x)

⑶E=---J¥)---

6、复合函数求导

复合函数y=/(g(%))的导数和函数y=于(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'uu'x,即y对x的导数等

于》对“的导数与“对尤的导数的乘积.

7、曲线的切线问题

(1)在型求切线方程

己知：函数/(X)的解析式.计算：函数/(X)在x=x0或者(4,/■(%))处的切线方程.

步骤：第一步：计算切点的纵坐标了(4)(方法：把X=4代入原函数/(X)中),切点(4,/(%)).

第二步：计算切线斜率左=尸(幻.

第三步：计算切线方程.切线过切点(%,7(/)),切线斜率左=r(%)。

根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-f(x0)=f\x0\x-x0).

(2)过型求切线方程

己知：函数/(X)的解析式.计算：过点耳(%,％)(无论该点是否在y=/(x)上)的切线方程.

步骤：第一步：设切点片(%,%)

第二步：计算切线斜率上=/'(%);计算切线斜率左='%;

X]一%

第三步：令：k=/'(%)=一_%,解出后,代入左=/'(%)求斜率

须一X。

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-y0=f'Wx-x0).

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•全国•甲卷文）曲线y=£在点［1,；］处的切线方程为（）

x+112）

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—x+——

424424

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：导数的概念

典型例题

例题1.(23-24高二下•江苏常州•阶段练习)设函数“X)在》=%处存在导数为2,则

/(%0+2Ax)-/(%0)_

11111—\/

以3°Ax

A.2B.1C.：D.4

例题2.(23-24高二下•山东荷泽•阶段练习)已知函数/a)=L，则lim41土上四等于()

A.1B.-1

C.-2D.0

练透核心考点

L(23-24高二上•浙江金华•期末)如果函数丫=(尤)在x=2处的导数为1,那么lim3t生()

20Ax

111

A.1B.-C.-D.-

234

2.(23-24高二上•云南昭通・期末)设函数/(x)在尤=无。处存在导数为2,则lim盘包二庄J=()

Axf02Ax

A.2B.1C.]D.6

3

高频考点二：导数的运算

典型例题

例题1.（23-24高二下•江苏苏州•阶段练习）函数＞=cosx-ln尤的导函数为（)

,.1cosx,.1cosx,-siwc,sinx

A.y=sinx-lux+------B.y=-sinx-lnx+-----C.yD•y=—

xxX

例题2.（多选）（23-24高二下•河南•开学考试）下列求导数运算正确的是（

A.(d+sin2)=3x2+cos2B.(2X)=2」n2

llLX1-lnx

C.(xsinx)'=sinx+xcosxD.

Xx2

例题3.（23-24高二下•湖北黄冈•阶段练习）求下列函数的导数:

,、xlnxi“八

(1)'=^1Tn(x+l)；

ix—1

⑵x

(3)y=sin43x•cos34%；

练透核心考点

1.（多选）（23-24高二下•四川遂宁•阶段练习）下列结论中正确的是（）

若〉=，贝！

A.85'|y'=±sinL

XXX

•++*x+1„.f—2

B.右y=-r则”许

C.若"斤L则y，二万篇

D.若y=ln(2x+l),则

2x+l

2.（多选）（23-24高二下.河北.开学考试）下列求导运算正确的是（）

A.若y=(x+l)lnx,贝!Jy'=lnx+』+l

B.(cos/r)=—sin7i

x

」^-

C.--------T21n2D.(ln2x)=(

x+1x+1)

高频考点三：求切线方程（在型）

典型例题

例题1.（23-24高二下•广西•开学考试）曲线）=-f+7%+11K在点（1,6）处的切线的斜率为（）

A.5B.6C.7D.8

例题2.（23-24高二下•重庆九龙坡•阶段练习）函数/（同=吓+21!«的图象在点（1,，。））处的切线方程的

斜率为.

例题3.（2024•陕西商洛•模拟预测）已知函数〃力=犬+4%—/4，若曲线y=/（x）在点（0,〃。））处的切

线与直线4x+2y-3=。平行，贝lj〃?=.

练透核心考点

1.（23-24高二下•上海•阶段练习）己知。、b为实数，函数＞=lnx+3在x=l处的切线方程为4尤-y+6=0,

X

则ab的值_____.

2.（23-24高二上•福建南平・期末）已知函数〃x）=lnx-2x+l在x=l处的切线为/,则直线/的方程

为.

3.（23-24高二上•浙江杭州•期末）已知函数〃x）=cosx-e，，则函数在点（0,〃0））处切线方程

为.

高频考点四：求切线方程（过型）

典型例题

例题1.（2024高二下•全国•专题练习）已知曲线方程为y=V,则过点A（2,4）且与曲线相切的直线方程

为.

例题2.（23-24高二下•江西•阶段练习）已知函数〃x）=d+a,点A（0,0）在曲线y=f（x）上.

（1）求曲线y=在点（1,1）处的切线方程；

（2）求曲线y=/（x）过点（LO）的切线方程.

例题3.(23-24高二下•河北邢台•阶段练习)己知函数/(力=产-23的图像在点(0,〃0))处的切线与直线

/:y+3=0平行.

⑴求在［T2］上的最值;

(2)求经过点并与曲线y=F(x)相切的直线的方程.

练透核心考点

1.(2024高二下•全国・专题练习)曲线(尤)=x+g过点A］|,OJ的切线方程为.

2.(2024高二下•上海•专题练习)己知函数/(x)=gx2,g(x)=lnA-.

(1)求函数/?(x)=/(x)-g(x)的最小值；

⑵求函数y=过点(1,T)的切线；

3.(23-24高二下•四川成都•阶段练习)已知曲线〃x)=d-x,求

(1)曲线过点(-1,0)的切线方程；

(2)曲线平行于直线1卜->+1=0的切线方程.

高频考点五：已知切线方程(或斜率)求参数

典型例题

例题1.(2024•福建漳州•一模)若曲线y=ae'-2+x在点(2,2+。)处的切线方程为y=4x+6,则a+b=()

A.3B.-3C.0D.1

例题2.（22-23高三上•全国•阶段练习）若函数/（x）=alnx-3m＞0力＞0）在点处的切线的斜率

为1,则log2（比6）的最大值为（）

11

A.-B.——C.-2D.1

24

练透核心考点

1.（23-24高三下•广东•阶段练习）已知函数〃x）=gax2+Zu+l（aR0）在点（L〃l））处的切线与直线

/:尤+2＞-1=0垂直，则曲的最大值为（）

11

A.1B.-C.-D.2

24

2.（2024•陕西西安•模拟预测）若直线y=x+%与曲线丁=一+/-5》相切，则切点的横坐标为.

高频考点六：导数与函数图象

典型例题

例题1.（23-24高二下•湖北黄冈•期中）函数/（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）

A.0＜/（2）＜r（3）＜/（3）-/（2）B.0＜/（3）＜/（3）-/（2）＜r（2）

C.0＜八3）（广⑵＜〃3）-〃2）D.0＜/（3）-/（2）＜/（2）＜r（3）

例题2.（23-24高二下•北京怀柔•期中）如图，函数y=的图象在点P（2,y）处的切线是/,方程为

例题3.（多选）（23-24高二下•全国•课时练习）如图显示物体甲、乙在时间。到"范围内路程的变化情况,

A.在0到1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

B.在0到1范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度

C.在好到和范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

D.在册到和范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度

练透核心考点

1.（23-24高二下•湖北,阶段练习）函数/（X）的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）

A.尸(1)</(2)<〃2)-/⑴<0B.((2)<〃2)-

C.尸(1)<42)-〃1)<八2)<0D./(2)-f(l)<r(l)<r(2)<0

练透核心考点

1.（23-24高二下•湖南,期中）已知函数〃力=xlnx,g^x）^ajc-x.若经过点A（1,O）存在一条直线/与

曲线y=f（x）和y=g（x）都相切，贝！1。=（）

A.-1B.1C.2D.3

2.（23-24高二下•河南洛阳•阶段练习）若曲线y=lnx与曲线：,=君-k有公切线，则实数上的最大值为

（）

A.-+-ln2B.---In2C.-+-ln2D.---ln2

82822222

3.（2023•重庆•模拟预测）已知函数f（x）=e*-ax+6（a,6eR）,g（x）=x2+x,若这两个函数的图象在公共点

A（l,2）处有相同的切线，则.

高频考点八：与切线有关的转化问题

典型例题

例题1.（23-24高二下・江苏扬州•阶段练习）已知实数〃，b,c,^^（G-/?+1）2+（^-lnc）2=0,贝|

（a-cf+他一I）?的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

例题2.（2024・陕西西安•二模）若21nxi-占-%+3=。，x2-y2+5=Q,贝！J（西一%）~+（y-%）'"的最小值为

（）

A.2A/2B.6C.8D.12

例题3.（2024•安徽合肥一模）已知点人（占,%）,8优,%）,定义九=1（占--乃『为A8的"镜像

距离”.若点在曲线y=ln（x-a）+2上，且九的最小值为2,则实数。的值为.

练透核心考点

1.（23-24高三下•四川巴中•阶段练习）实数满足:+a2=31n4+b+l,ceR,（a-c）2+（6+。『的

最小值是（）

A.4B.0C.2D.10

2.（2023高三•全国•专题练习）已知点P为函数/（无）="的图象上任意一点，点Q为圆5-1）2+y=1上任

意一点，则线段尸。长度的最小值为（）

A.72-1B.1C.0D.百-1

Inx

3.（23-24高三上•贵州黔东南•阶段练习）已知点P在函数/（司=比*+1的图象上，点Q在函数g（无）=——

X

的图象上，则户。的最小值为.

高频考点九：已知切线条数求参数

典型例题

例题1.（23-24高三下•重庆,阶段练习）若过点6）可以作曲线>的两条切线，则（）

A.b>]naB.b<lnaC.a<0D.b>ea

例题2.（23-24高二上•广东深圳•期末）过点（La）可以做三条直线与曲线>=苫/相切，则实数”的取值范

围是（）

例题3.（多选）（2024高三•全国•专题练习）已知。>0,若过点》可以作曲线y=d的三条切线，则下

列结论错误的是（）

A.b>a3B.b（b-a3）=0C.D.0<b<a3

练透核心考点

1.（23-24高三上•内蒙古锡林郭勒盟•期末）若过点尸（L〃z）可以作三条直线与曲线C:y=?相切，则机的

e

取值范围是（）

A.心）B.C.（-1,0）0口

2.（23-24高三上•辽宁•期末）若过点P（r,o）可以作曲线y=（l-x）e”的两条切线，贝Ijr的取值范围是（）

A.（-3,1）B.（1,+s）

C.（-00,-3）D.（HO,—3）D（1,+OO）

3.（2024高二下•全国•专题练习）若过点尸。,0）可以作曲线>=（l-x）e'的两条切线，则/的取值范围为.

第四部分：典型易错题型

备注：［弋了=生）.g（2:（⑴•g'⑴求导时分子公式记错

g（町81%）

1.（22-23高二•全国•随堂练习）求下列函数的导数:

sinxInX

⑴产-------⑵丫二

Xx+lnxx\nx

备注：复合函数求导容易误用求导法则

1.（23-24高二上•全国•课时练习）函数y=xln（2x+5）的导数为（）

x

A.In（2x+5）—

2x4-5

2x

B.ln（2x+5）+

2x+5

C.2xln（2x+5）

2x+5

2.（22-23高二下•宁夏银川•阶段练习）下列求导运算正确的是（）

A.口心一川二乙

备注：求切线时“过型”容易误把已知点直接当切点

1.（23-24高二下・重庆渝北•阶段练习）已知函数〃x）=xlnx,过点（0,-1）作该函数曲线的切线，则该切

线方程为（）.

A.2%一,-1=0B.尤+y+l=O

C.x+2y+2=0D.x-y-l=O

2.（23-24高三下•山东德州•开学考试）过点（O,e）与曲线y=?相切的直线与x轴的交点坐标

为.

第01讲导数的概念及运算

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................4

第三部分：高频考点一遍过...........................................4

高频考点一：导数的概念..........................................4

高频考点二：导数的运算..........................................5

高频考点三：求切线方程（在型）..................................6

高频考点四：求切线方程（过型）..................................6

高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数........................7

高频考点六：导数与函数图象......................................8

高频考点七：公切线问题.........................................32

高频考点八：与切线有关的转化问题...............................10

高频考点九：已知切线条数求参数.................................11

第四部分：典型易错题型.............................................12

备注：［肃］'=，w's求导时分子公式记错...............12

备注：复合函数求导容易误用求导法则.............................12

备注：求切线时“过型”容易误把已知点直接当切点.................12

第一部分：基础知识

1、平均变化率

(1)变化率

事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.

(2)平均变化率

一般地，函数/(X)在区间上,%］上的平均变化率为：:二.

(3)如何求函数的平均变化率

求函数的平均变化率通常用“两步”法：

①作差：求出与二八々)―/(玉)和心=々—玉

Ay/(x)-/(x.)

②作商：对所求得的差作商，即丁二2，2八L

Axx2

2、导数的概念

(1)定义：函数/(X)在x=4处瞬时变化率是lim电=lim/(X。+=)一(%),我们称它为函数

心一0Ax。Ax

V=/(只在1=/处的导数,记作/储)或y'J即/(x0)=lim包=lim/a+一)--㈤

°Ax-。Ax

(2)定义法求导数步骤：

④求函数的增量：AJ=/(X0+A%)-/(X0)；

⑤求平均变化率："=；

AxAx

/(xo+Ax)-/(x)

©求极限，得导数：f'(x0)=lim=limo

—一°Ax。Ax

3、导数的几何意义

函数y=/O)在点％=%处的导数的几何意义，就是曲线y=/(x)在点q(后,%)处的切线的斜率左，即

k=

4、基本初等函数的导数公式

基本初等函数导数

/(x)=c(c为常数)r(x)=o

f(x)=xn(neR)rax”上

/(x)=sinxfr(x)=COSX

/(x)=cosXf\x)=-sinx

/(x)=/fd

/(x)=a(a>0)fr(x)-ax\na

/(x)=lnxru)=-

/(x)=log：(a>0,awl)

rax4xina

/(x)=Vx

八x)=-4

/(x)=-

XX

5、导数的运算法则

若/'(x),g'(x)存在，则有

(1)"(%)土g(x)T=r(x)土g'(x)

(2)[/(X)-g(x)]'=f'(x)-g(x)+/(%)-g'(x)

⑶E=---J¥)---

6、复合函数求导

复合函数y=/(g(%))的导数和函数y=于(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'uu'x,即y对x的导数等

于》对“的导数与“对尤的导数的乘积.

7、曲线的切线问题

(1)在型求切线方程

己知：函数/(X)的解析式.计算：函数/(X)在x=x0或者(4,/■(%))处的切线方程.

步骤：第一步：计算切点的纵坐标了(4)(方法：把X=4代入原函数/(X)中),切点(4,/(%)).

第二步：计算切线斜率左=尸(幻.

第三步：计算切线方程.切线过切点(%,7(/)),切线斜率左=r(%)。

根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-f(x0)=f\x0\x-x0).

(2)过型求切线方程

己知：函数/(X)的解析式.计算：过点耳(%,％)(无论该点是否在y=/(x)上)的切线方程.

步骤：第一步：设切点片(%,%)

第二步：计算切线斜率上=/'（%）;计算切线斜率左='%;

X］一%

第三步：令：k=/'（%）=一_%,解出后,代入左=/'（%）求斜率

须一X。

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-y0=f'Wx-x0）.

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•全国•甲卷文）曲线y=£在点［1,；］处的切线方程为（）

x+112）

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—x+——

424424

【答案】c

【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方

程即可求解.

【详解】设曲线＞=鼻在点］B处的切线方程为y-=

因为y=---，

X+1

xex

所以炉=

(x+以

所以左=y'L=i=?

pp

所以y_］=W（xT）

所以曲线尸鼻在点臼处的切线方程为yJ喈.

故选：c

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：导数的概念

典型例题

例题1.（23-24高二下•江苏常州•阶段练习）设函数“X）在x=/处存在导数为2,则

以f°Ax

A.2B.1C.'D.4

【答案】D

【分析】

利用导数的极限定义计算可得.

【详解】由导数的定义可知，lim〃。+2词-"％）=2Um小。+2词-/伉）=2/（％）=4.

―一。Ax2Ax

故选：D.

例题2.（23-24高二下•山东荷泽•阶段练习）已知函数/（司=工，则等于（）

Xx->0X

A.1B.-1

C.-2D.0

【答案】B

【分析】

利用求导法则结合导数定义求解即可.

【详解】由〃X）T导尸（无）=一十,所以解⑴=一.=一1,

所以+=-0）=一1

故选：B

练透核心考点

1.（23-24高二上•浙江金华・期末）如果函数，=（尤）在x=2处的导数为1,那么lim出史上®=（）

Ax

111

A.1B.-C.-D.-

234

【答案】A

【分析】

根据导数的定义可直接得到答案.

【详解】因为函数y=（x）在尤=2处的导数为1,

根据导数的定义可知lim〃-+2）-"2）=],

―。Ax+2-2

故选：A.

2.（23-24高二上•云南昭通•期末）设函数〃尤）在犬=无。处存在导数为2,则lim庄必上庄J=（）

2

A.2B.1C.D.6

3

【答案】B

【分析】

由导数的概念求解.

【详解】由已知有/（%）=2,

则Hm/（々+5*）-小。）

Ax->02Ax2-。Ax

故选：B

高频考点二：导数的运算

典型例题

例题1.（23-24高二下•江苏苏州•阶段练习）函数y=cos/ln尤的导函数为（）

,.[cosx,.[cosx,—sinx,sinx

A.y=sinx-Inx+----B.y=-sinx-lnxH-----C.y=-----D--•--y=—

xxxX

【答案】B

【分析】

借助导数的运算法则计算即可得.

COS%

【详解】V=-sinxlnJ;+COSX--=-sinx-ln+

xX

故选：B.

例题2.（多选）（23-24高二下•河南•开学考试）下列求导数运算正确的是（）

A.(x^+sinZ)=3x2+cos2B.(2X)=2xln2

inx1-lnx

C.(xsinx)'=sinx+xcosxD.

x

【答案】BCD

【分析】

根据导数的运算法则依次判断即可.

【详解】

对于A,+sin2)=3x2>故A错误;

对于B,由指数函数求导公式可得（2、）=2/2,故B正确;

对于C,(xsinx)'=sinx+xcosx,故C正确;

对于D/L竺］=上坐，故D正确.

\x）x

故选：BCD.

例题3.（23-24高二下•湖北黄冈•阶段练习）求下列函数的导数:

⑴-缶。+1）；

X+1

（2）y=ln『^

Vx+1

（3）j=sin43x-cos34x；

Inx

【答案】⑴

(X+l>

(3)12sin33x-cos24x-cos7x

【分析】

（1）（2）（3）根据复合函数的导数公式和导数运算法则运算即可.

(1+lnx)(x+1)-xlwc1Inx

【详解】

(1)(x+1)2-ITl=(x+l)2

y14

（2）因为产In

x+12x+1

——

所以弁=:1•V-=L1X+1(x1)1

2

2x-1a+iy~x-i,

(3)y'=12cos3x-sin33x?cos34%-12sin4x-sin43xcos24x=12sin33x-cos24x-cos7x

练透核心考点

1.（多选）（23-24高二下・四川遂宁•阶段练习）下列结论中正确的是（）

y=cos—,贝U/=^r-sin—

A.

xxx

B.若片鲁则g3

I--------,3

C.右广历，则―访肃

D.若y=ln（2x+l）,则y，=

2x+l

【答案】ABC

【分析】

根据简单复合函数的求导法则计算可得.

【详解】对于A：y=cos-,则3/=4sinL,故A正确;

(川)’(1)一(1)’(，+1)==,故B正确;

对于B：y=-贝仃'=

(1)(1)

_____i3_13

对于c：y=V37+T=(3x+l)21则y'=](3x+l)2=2,3x+l'故C正确;

对于D：y=ln(2x+l),贝|]了=六_^,故D错误；

故选：ABC

2.（多选）（23-24高二下•河北,开学考试）下列求导运算正确的是（）

A.若y=(x+l)lnx,贝!|y，=lnx+—+lB.(cos%)=—sin"

【答案】AC

【分析】

根据求导公式依次判定选项即可得到答案.

【详解】

Y+11

对于A,若y=（x+l）lnx,贝ljy'=lnxd-----=ln%H---F1,故A正确;

对于B（cos乃=（—1）=0,故B错误；

对于C,【上一2]-21n2=二二一21n2,故C正确;

(x+1)

对于D,(ln2x)=———,故D错误.

故选：AC

高频考点三：求切线方程（在型）

典型例题

例题1.（23-24高二下•广西•开学考试）曲线产-f+7%+1nx在点0,6）处的切线的斜率为（