2025年高考数学一轮复习专项突破：函数的对称性（学生版）

考点09函数的对称性(3种核心题型+基础保分练+综合提升

练+拓展冲刺练)

D1【考试提醒】

1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论2会利用对称公式解决问

题.

【知识点】

1.奇函数、偶函数的对称性

(1)奇函数关于对称，偶函数关于对称.

(2)若Hx—2)是偶函数，则函数人x)图象的对称轴为；若加一2)是奇函数，则函数

於)图象的对称中心为.

2.若函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称，则/(a—x)=/(a+x)；

若函数y=/)满足大a—x)=-j［a+x),则函数的图象关于点对称.

3.两个函数图象的对称

(1)函数>=兀0与>=/(—X)关于对称;

(2)函数y=/(x)与y=—/(x)关于对称；

(3)函数y=/(x)与y=一八一x)关于对称.

【核心题型】

题型一轴对称问题

函数y=/(x)的图象关于直线对称X)=/(Q+X);

a~\~b

若函数歹=/a)满足Z(Q+X)=/S—%),则y=/a)的图象关于直线成轴对称.

【例题1】（2024•辽宁•一模）已知函数/（X+2）为偶函数，且当X22时,

/3=1。8［，-4苫+7），若〃°）>/3）,贝!］（）

7

A.（Q+b-4）（a-b）<0B.（〃+6-4）（。-6）>0

C.（a+b+4）（a—6）<0D.（〃+6+4）（。-6）>0

【变式1】(2024•四川泸州•二模)定义域为R的函数/(x)满足/(尤+2)=/卜-2),当

xe［-2,2］时,函数〃》)=4--,设函数g(x)=e*Z(_2<x<6),则方程/(x)-g(x)=0的

所有实数根之和为()

A.5B.6C.7D.8

【变式2】(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(x)=|x-1|,公差不为。的等差数列{%}

的刖〃项和为J.若)=/(。1013)，则§2024=()

A.1012B.2024C.3036D.4048

【变式3】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)及其导数/'(%)的定义域为R,记

g(x)=r(x),且/(x),g(x+l)都为奇函数.若/(—5)=2,则“2023)=()

A.0B.——C.2D.-2

2

题型二中心对称问题

函数>=/)的图象关于点(a,b)对称o/(a+x)+/(Q—x)=26<>2b—/(X)=/(2Q—x);若函数y=

la-\~bc\

八工)满足次a+x)+/(b—x)=c,则》=危)的图象关于点卜二，,成中心对称.

【例题2】(2024•全国•模拟预测)设/(力是定义域为R的偶函数，且/(2x+l)为奇函数.若

55

A.B.C.D.

6666

【变式1】(2024•全国•模拟预测)定义在R上的偶函数/⑴满足/(2-x)=-/(x),则

()

A./(x)=/(2+x)B./(—x)=/(2—x)

C./(^)=/(4-x)D.7(x-2)是奇函数

a

【变式2】(2024•四川南充・二模)已知函数〃x)=：,则函数.y=/(x-l)+l的图象()

A.关于点0,1)对称B.关于点(-U)对称

C.关于点(-1,0)对称D.关于点(1,0)对称

【变式3】(23-24高三下,江苏扬州,开学考试)定义在R上的函数丁=/(x)和y=g(x)的图象

关于丁轴对称，且函数V=/(x-2)+l是奇函数，则函数y=g(x)图象的对称中心为()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(—2,1)D.(2,-1)

题型三两个函数图象的对称

b-a

函数V=/(Q+X)的图象与函数歹=/(b—x)的图象关于直线x=《一对称.

【例题3】(2024上•北京•高二统考学业考试)在同一坐标系中，函数丁=/(x)与y=-/(x)

的图象()

A.关于原点对称B.关于x轴对称

C.关于了轴对称D.关于直线N=x对称

【变式1](2024下•江苏扬州•高三统考开学考试)定义在R上的函数＞=/(x)和y=g(x)的

图象关于了轴对称，且函数y=/(x-2)+l是奇函数，则函数＞=g(x)图象的对称中心为

()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(—2,1)D.(2,-1)

【变式2】(2020上•安徽•高一校联考期末)已知函数V=〃x-1)是定义在R上的奇函数，

函数〉=g(x)的图象与函数了=/(X)的图象关于直线X-＞=0对称，那么y=g(x)的对称中

心为()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)

【变式3】(2024高三•全国•专题练习)若函数了=/«的定义域为R,贝U函数产加一1)与尸

/(I—x)的图象关于直线()

A.x=0对称B.y=0对称C.x=l对称D.对称

口【课后强化】

基础保分练

一、单选题

1.23-24高三上•宁夏银川•阶段练习)函数歹二/("满足对任意xeR都有/(%+2)=/(-x)

成立，函数V=/(x-1)的图象关于点(L0)对称，且/(1)=4,则

/(2018)+/(2019)+/(2020)=()

A.-4B.0C.4D.8

2.Q023•宁夏银川•模拟预测)已知函数/(x)=M+凉+。+6的图象关于点(i,i)对称,则方=

(

A.-1B.1C.-2D.2

2-1-尤_i_2x<—1

3.(23-24高三上•全国•开学考试)已知函数/(》)=''则〃x)的图象关于

I幺L,X>1,

()

A.点(1,-2)对称B.点(-1,2)对称C.直线尤=1对称D.直线尸-1对称

4.(2023・云南•模拟预测)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,/(x+l)+/(x-l)=2,

g(x+2)是偶函数，且〃x)+g(2+x)=4,g⑵=2,则()

A./(x)关于直线x=l对称B.〃x)关于点(1,0)中心对称

15

C.7(2023)=1D.Z/⑻=15

k=l

5.(2023・甘肃张掖•模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,7(x-1)的图象关于点(1,0)对

称，/(3)=0,且对任意的再(-应0),x产七，满足〃：)[/(*)<0,则不等式

(xT〃x+l)Z0的解集为()

A.(一叫l]32,+s)B.[-4,-l]u[0,l]

C.[-4,-l]u[l,2]D.[-4,-l]u[2,+co)

二、多选题

6.2024,全国•二模)已知〃x)是定义在R上不恒为。的函数，/(x-1)的图象关于直线x=l

对称，且函数>=」1的图象的对称中心也是/(x)图象的一个对称中心，则()

x-2

A.点(-2,0)是/(x)的图象的一个对称中心

B.〃x)为周期函数，且4是〃x)的一个周期

C./(4-x)为偶函数

D./(31)+/(35)=2

7.(2024.江苏南通•二模)已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,7«的图象关于点(2,

0)对称,g(0)=g(2)=l,g(x+y)+g(x-y)=g(x)/(y),则()

A.为偶函数B.g(x)为偶函数

c.g(-l-x)=-g(-l+x)D.g(l-x)=g(l+x)

三、填空题

8.(2024•宁夏银川•一模)已知偶函数/(x)的图象关于直线x=2对称，-2)=2,且对任意

士,乙«0』，均有〃网+%)=〃再)+〃%)成立，若/⑺

对任意〃eN*恒成立，贝旷的最小值为.

9.(23-24高三下•河南濮阳•开学考试)已知函数/(x)的定义域为R,且/(4x+l)的图象关

100

于点(0,2)中心对称，若〃2+x)-〃2-x)+4x=0,则.

Z=1

四、解答题

10.(2024高三•全国•专题练习)下列函数是否存在对称轴或对称中心？

(2阿=(ex—门产；

4

(3)/(x)=2x+—.

11.(2024•湖南•二模)已函数=+々%2+6X+C(Q也CER),其图象的对称中心为-2).

⑴求的值；

⑵判断函数/(力的零点个数.

7

12.(2024高三下•浙江杭州•专题练习)已知函数/(x)=-r-关于点(-1,1中心对称.

x+a

⑴求函数〃X)的解析式；

⑵讨论g(x)=x(〃x))2在区间(0,+8)上的单调性；

(3)设%=1,。前=〃。“),证明：2"-2|21n«„-ln7|<l.

综合提升练

一、单选题

1.(2024•云南昆明•一模)已知函数〃x)=e'+e2T,则下列说法正确的是()

A./(x)为增函数B.1(x)有两个零点

C.“X)的最大值为2eD.y=/(x)的图象关于x=l对称

2.(2024•河南新乡二模)已知函数“X)满足〃x+y+l)=/(x)+〃v),则下列结论一定

正确的是()

A./(“+1是奇函数B./(x-1)是奇函数

C.是奇函数D./(x+1)是奇函数

3.Q024高三全国•专题练习)已知函数/(x)=9,g(x)=eE-e-"+i+l,则/(x)与g(x)

x-1

的图象交点的纵坐标之和为()

A.4B.2C.1D.0

4.(2024•全国•模拟预测)若定义在R上的函数/(x)满足/(|x|)=/(x),且

/(2+x)+/(2-x)=6,/(3)=6,则下列结论错误的是()

A./(8+x)=/(x)B.〃x)的图象关于直线x=4对称

C./(201)=3D.>=〃x+2)-3是奇函数

5.(23-24高三下,山东荷泽•阶段练习)已知函数/(x)定义域为R,且

〃2+x)-〃2-x)=-4x,/(l+3x)关于(0,2)对称，则“2025)=()

A.-4046B.4046C.1D.0

6.(2024•陕西西安•模拟预测)己知/(x)的定义域为R,函数/(X)满足

〃x）+〃4-x）=6,g（x）=弓=泻，〃x）,g（x）图象的交点分别是

4x-o

（西，%），（％2，％），（％3，为），（％4，%），......，（当，匕），则必+必+...+"可能值为（）

A.2B.14C.18D.25

7.（2024•福建漳州•一模）已知可导函数〃x）的定义域为R,-11为奇函数，设g（x）

110

是/（X）的导函数，若g（2x+l）为奇函数，且g（o）=3,则£馆（2左）=（）

2k=\

13131111

A.—B.——C.—D.--

2222

8.（2024•安徽芜湖•二模）已知函数/（x）的定义域为R,且〃x+2）-2为奇函数，/（3x+l）

2024

为偶函数，/（1）=0,则£/住）=（）

k=l

A.4036B.4040C.4044D.4048

二、多选题

9.（2023•山东•模拟预测）已知函数“X）的定义域为R,〃2x+l）为奇函数，

/（4-x）=/（x）,/（0）=2,且/⑺在［0,2］上单调递减，则（）

A./（1）=0B."8）=2

C.“X）在［6,8］上单调递减D.在［0100］上有50个零点

10.（2024•全国•模拟预测）设是定义域为R的偶函数，且〃2x+l）为奇函数.若

A.的图象关于点（1,0）对称B.〃x）的周期是2

C.的图象关于直线x=2对称D.7［第1+/］等＞:

11.（2024•湖北•二模）我们知道，函数了=〃x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要

条件是函数＞=/（x）为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数）=/«的图象关于点

4

尸（。⑷成中心对称图形的充要条件是函数了:/^+啰-6为奇函数.已知函数/⑴二:^:，

2+2

则下列结论正确的有（）

A.函数"X）的值域为（0,2］

B.函数，（x）的图象关于点（L1）成中心对称图形

C.函数，(x)的导函数/(x)的图象关于直线x=l对称

D.若函数g(x)满足y=g(x+l)-l为奇函数，且其图象与函数，⑴的图象有2024个交

2024

点，记为4(4％)(，=1,2,…,2024),贝1]±(七+乂)=4048

Z=1

三、填空题

12.(2024高三•全国•专题练习)若函数y=g(x)的图象与>=lnx的图象关于直线x=2对

称，则g(%)=.

13.(2024•宁夏银川•一模)已知定义在R上的偶函数/(%)满足/(M=/(2-x),当xe[0,l]

时,/(X)=2x.函数g(x)=e+T(-1<X<3),则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和

为.

14.(2024•内蒙古呼和浩特一模)已知定义在R上的函数〃x)=ei-e1+(x-D3+x,满

足不等式/(2x-4)+/(2-3x)22,则x的取值范围是.

四、解答题

15.23-24高三上•重庆•阶段练习)已知函数=2、，函数〃(x)与关于点^log2

中心对称.

⑴求人卜)的解析式；

⑵若方程〃X)=〃(x)有两个不等的实根为，々，且|%72|=2,求a的值.

3

16.(2023高三・全国・专题练习)已知函数/卜)=互行・

⑴求证：函数〃x)的图象关于点[g,对称；

（2）求£=/（一2022）+/（-2021）+-一+/（0）+-一+/（2022）+/（2023）的值.

17.(23-24高三上•上海•期中)已知函数〃x)=加-不f

(1)当加=3时，确定是否存在〃，使得/'(x)的图象关于原点中心对称；

⑵对于任意给定的非零常数加，J=〃x)的图象与x轴负半轴总有公共点，求"的取值范围;

⑶当〃=1时，函数g(x)的图象与图象关于点(1,0)对称，若对任意：XG(1,2),

g(x)<0恒成立，求加的取值范围.

18.(23-24高三上■陕西咸阳•阶段练习)已知函数〃x)=2|x|+|2x-对(加>0)的图象关于直

线X=1对称.

⑴求冽的值，及/(X)的最小值；

14

(2)设。，b均为正数，且。+6=加，求一的最小值.

ab

19.(23-24高三下•山东•开学考试)已知函数/(x)=ln(x+l).

(1)讨论函数尸(x)=ax-"x)SeR)的单调性；

(2)设函数g(x)=(x+l)/［曰一/g+j.

(i)求g⑴-g(-2)的值;

(ii)证明：存在实数m,使得曲线V=g(x)关于直线冲机对称.

拓展冲刺练

一、单选题

3

1.(23-24高三下•陕西安康•阶段练习)已知函数〃x)=3w，则的图象()

A.关于点对称B.关于直线x=［对称

C.关于点(。,|］对称D.关于直线x=；对称

2.(2024•山西吕梁•一模)已知函数“X)满足/(x+y)+/(x-y)=§/(x)/3,/⑴=］,

则下列结论不正确的是()

A./(0)=3B.函数〃2x7)关于直线x=g对称

C./(x)+/(0)>0D.〃x)的周期为3

3.(2023・四川乐山•一模)已知函数〃x)定义域为R,且满足"0)=0,f(-x)=f(x),

++给出以下四个命题：

①/(-1)=〃3);

②〃x+2)=〃x)；

③7(4)=64；

④函数y=/(x)-2x的图象关于直线x=l对称.

其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

4.(22-23高三下•全国,阶段练习)已知函数〃无)=9万+2"，则下列关于的结论中

正确的是()

A./(x)在［1,+⑹上有最小值B.若则/'(x)有最大值

C./(-e)+/(e)=lD.关于点(0』)中心对称

5.(2023•新疆乌鲁木齐二模)已知“X),g(x)都是定义在R上的函数，对任意x,y满足

/(x-y)=/(x)g(y)-g(x)/(y),且/(-2)=/⑴20,则下列说法正确的是()

A./（0）=1B.函数g(2x+l)的图象关于点(1,0)对称

2023

c.g(l)+g(-l)=OD.若〃1)=1,则£"")=1

n=\

二、多选题

6.(23-24高三上•浙江杭州•期末)已知函数/(x)