2024年中考数学压轴题预测及答案解析

急点研究

专题热度★★★★★

1.综合与实践

2.阅读与理解

命题热点

3.函数与图象

4.几何图形综合

热门方法建立数学模型、方程思想、函数思想、数形结合思想

热点题型解答题

急医焚戚

热点1综合与实践

名师点拨

善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，注

意挖掘题目中的隐含条件.

；题目①（2023秋•北流市期末）综合与实践

【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题.

（1）通过观察以下一位数的积：1X9,2X8,…，8X2,9X1.其中每个式子中的两数之和为10,推测在这些

式子中，乘积最大的算式是_5X5_.（只需填符合的算式，不需要算出结果）

（2）通过观察以下两位数的积：11X19,12x18,•••,18x12,19x11.其中每个式子中的两数之和为30,推测

在这些式子中，乘积最大的算式是.（只需填符合的算式，不需要算出结果）

【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为，,写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）.尝试用二次函数

的知识证明你对问题⑵的猜想.

【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总

电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系.在如图1所示的电路

中，R产2Q,R2=3。,滑动变阻器的最大电阻R3=5Q,其等效电路图如图2所示，其中Rap+Rbp=凡,在滑片

从a端滑到b端的过程中，设上冷土。,请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流

表示数最小，并求出电流表示数的最小值.

图1图2

【答案】【问题背景】（1）5x5;（2）15x15;

【初步探讨】猜想：若两数和为30,当这两数相等时，它们的乘积最大,证明见解答；

【实践应用】（3）24.

【分析】【问题背景】（1）、（2）由题意计算最大值，即可求解；

【初步探讨】设第一个数为①，则另一个数为30—名，它们的积为沙,则有9=力（30—2）=—3—15）2+225,即可

求解；

【实践应用】（3）设五吵=/。，则五加=（5-;r）Q,0W/W5,设总电流为/,由分式的性质可知，若分子为不变的

正数，则分母最大时，分式最小，进而求解.

【解答】解:【问题背景】（1）5x5=25为最大，

故答案为：5X5;

（2）15X15=225为最大,

故答案为：15X15;

【初步探讨】猜想：若两数和为30,当这两数相等时，它们的乘积最大.

证明：设第一个数为2，则另一个数为30—2，它们的积为y,

则有夕=工（30—⑼=—（①一15）2+225,

则抛物线开口向下，

当±=15时，V取最大值，为225,

此时这两数分别为15及30—15=15,两数相等，

当这两数相等时，它们的乘积最大；

【实践应用】（3）设Rap=ccQ,则（5—rc）Q,0WrcW5,设总电流为/，则

1=旦=5（1+1』•（'+—1—）=_____50______,

7?总\Ri+RapRz+Rbp）2+x3+5—力,（2+力）（8—力）

由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小.

设W=（2+%）（8—x）――（x—3）2+25.

•・,-1V0,则抛物线W开口向下，且04力45,

.♦.当2=3时，W取最大值为25,此时/取最小值为翌=2（4）,两支路电阻分别为2+3=5（。）和8—3=5

（。），两支路电阻相等，

/.当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为24.

题目区（2024•青山湖区模拟）综合与实践

问题提出

某兴趣小组开规综合实放活动：在正方形ABCD中，BC=4,动点P以每秒1个单位的速度从B点出发匀速

运动，到达点。时停止，作4P的垂线交CD于连接⑷W,设点P的运动时间为1的面积为

S,探究S与t的关系.

初步感知

（1）如图1,当点P由B点向。点运动时，

①当t=3s时，CM——-y—,S—；

②经探究发现S是关于力的二次函数，请写出S关于t的函数解析式为;自变量取值范围为

（2）根据所给的已知，完成列表中的填空，并在图3的坐标系中绘制出函数的图象;

t01234

s88

延伸探究

⑶①当1=时，S=7；

②当^ABP的面积为S的一半时,求t的值.

S

8P-n-T-n--,

IIIII

7卜：叶-：一；

6।r~।।—।।

5卜：寸-：-；

4|।।।।

3卜：U-：-；

2।r-।।—।।

1卜

I_1_:_!_!_>

01234t

图3

【答案】⑴①多号；

②S=9-2%+8,0W1W4；

⑵见解析；

⑶①2±方；

②6—2V5.

［分析】⑴①证明^ABP〜APCM，可得CM=■，则。河=子■，利用三角形的面积公式即可求解；

②由题意得PC=4一方,根据相似三角形的性质可得CM="/,则DM=4-CM=~彳+16，利用三角

形的面积公式即可求解；

⑵根据S关于力的函数解析式计算力=1,2,3时S的值，可完成列表中的填空，绘制出函数的图象；

⑶①S=7时，求出符合题意力的值即可；

②根据AABP的面积为S的一半以及三角形的面积公式建立方程，求出力的值即可.

【解答】解：⑴①当力=3时，BP=3,CF=4-3=1,

又・・・四边形ABCD是正方形，

・•.ZB=ZC=90°,AD=CD=4,

・・・

AP.LPMf

：./APB+4JPM=APMC+ZCPM=90°,

・・・/APB=/PMC,

：.\ABP〜\PCM,

.PC=CM

••布一谈‘

.1_CM

CM=1网ZW=学

/ttAAZW的面积S=9人。•ZW=/x4x苧=兽,

故答案为：,，粤；

②当点P由点B运动到点。时，BP=t,

AABP八PCM,

.PCCM由4TCM

.・近=赤,即==丁，

3

・・・CM=

4

f2—4/+16

・・.DM=4-CM=i:,

4

・・.Rt'ADM的面积S=^AD・DM=-1-x4x4力+16-^-f2-2t+8（04±&4）,

4

故答案为：S=-2t+8,04力<4;

（2）力=1时，5=]—2+8=6.5"=2时，5=2—4+8=6,-3时，S=^-6+8=6.5,完成列表中的填

空如下,

t01234

s86.566.58

在图3的坐标系中绘制出函数的图象；

⑶①・・・S=7,

yt2-2t+8=7,解得i=2±V2,

故答案为：2士2；

②当点P由点。运动到点B时，CP=t,

：.S4ABP=yAB-BP=yx4t=2t,

^ABP的面积为S的一半

/.2t=-1-t2-2t+8,解得t=6+2a

v0<i<4,

：.t=6—2A/5.图3

1题目区（2024•青秀区校级开学）综合与实践

一个数学兴趣小组在上综合与实践课时发现:在大自然里,存在很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶子、刚生

长出的幼苗的部分轮廓线，可以近似的看作由抛物线的一部分沿直线折叠而成，如图1与图2所示.

图2

是二次函数沙=mx2-4：mx-20m+5图象的一部分,且过原点，求这个抛物线的表达式及顶点D的坐标.

【问题探究】如图3，心形叶片的对称轴直线y^x+2与坐标轴交于4B两点，直线2=6分别交抛物线和直

线48于点E,F,点、E、的是叶片上的一对对称点，EE交直线AB于点G.求叶片此处的宽度碰7的长.

【拓展应用】兴趣小组同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线也可以看作是二次函数？/

=机22—4小7-20馆+5图象的一部分，如图4,幼苗叶片下方轮廓线正好对应【问题发现】中的二次函数.若

直线PD与水平线的夹角为45°,三天后,点D长到与点P同一水平位置的点D'时，叶尖Q落在射线OP上

(如图5所示).求此时一片幼苗叶子的长度.

【答案】【问题发现】y—■^-x2—x;Z)(2,—1);

【问题探究】52；

【拓展应用】3弱.

【分析】【问题发现】二次函数沙=m;/—4馆2—20m+5过原点，则一20m+5=0,即可求解；

【问题探究】点E、©关于直线AF对称，求出点£7(1,8),即可求解；

【拓展应用】求出点。(2,3),得到抛物线的表达式为：？/=4/—弓2+学,进而求解.

■LNOO

【解答】解：【问题发现】，・•二次函数g=mx2—4mx—20m+5过原点，

.,.—20m+5=0,

解得:m=

则抛物线的表达式为：y=,

4

则点0(2,—1);

【问题探究】当力=6时，g=勿=3,即点石(6,3),

当力=6时，g=6+2=8,即点F(6,8),

则EF=8—3=5,

过点石作力轴的平行线交4R于点T,连接：

则点石、0关于直线AF对称，

则点石'(1,8),

则EEf=7(6-1)2+(8-3)2=5V2;

【拓展应用】在。。上取点过点M作A4N〃沙轴交抛物线于点N,交过点O与力轴的平行线于点过点

N作NS上QD，于点、S,

由抛物线的表达式知,点£)(2,-1),

・・,直线PO与水平线的夹角为45°,则直线PO的表达式为：沙=一力+1,

联立y=二/一力和y——X+1得：-^-x2—x——X+1,

•••

解得：力二-2,即点P（—2,3）,

则点D（2,3）,

将点的坐标代入g=mx2—4ma;—20m+5得：3=4m—8m—20m+5,

解得：771二击，

则抛物线的表达式为：y=^—x2―1~力+芈，

由点P的坐标得,直线。P的表达式为：g=—|女，

联立上述两式得：-^-rr2-■/]+¥"=一~

解得：x=-4或一10（舍去）,

即点Q（—4,6）,

由点Q、D'的坐标得，DQ=3V^,yQD'——3：+4,

即叶子的长度为3〃^.

【题目|4）（2024・兴化市开学）综合与实践：

问题情境

小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉,为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A,

B,C,D,E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价，与日销售量夕情况,记录如下：

售价（元/盆）日销售量（盆）

A2050

B3030

C1854

D2246

E2638

数据整理：

（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理,填写在下表中：

售价（元/盆）18

日销售量（盆）

模型建立

（2）分析数据的变化规律，探究出日销售量y与售价。之间的关系式.

拓广应用

（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中.

①要想每天获得400元的利润,应如何定价？

②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？

【答案】⑴18,54;20,50;22,46;26,38;30,30;

（2）y=-2x+90;

⑶①要想每天获得400元的利润,定价为25元或35元；

②售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元.

【分析】（1）根据销售单价从小到大排列即可；

（2）用待定系数法求出日销售量"与售价，之间的关系即可；•••

（3）①根据每天获得400元的利润，列出一元二次方程,解方程即可；

②设每天获得的利润为伊元，依据题意得趾=-23—30）2+450,依据一元二次方程的性质分析即可.

【解答】解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表：

售价（元/盆）1820222630

日销售量（盆）5450463830

故答案为:18,54;20,50;22,46;26,38;30,30;

（2）观察表格可知销售量是售价的一次函数；

设销售量为沙盆，售价为c元，y=for+6,

把（用54），（2。，5。）代入得:｛黑::设，

解得小竟，

y——2x+90;

（3）①V每天获得400元的利润，

A（c—15）（—2c+90）=400,

解得x—25或C=35,

要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；

②设每天获得的利润为每元.

根据题意得：wQ-15）（—2/+90）=—2a?+120a:-1350=-2（2-30）2+450,

•：-2<0,

：.当劣=30时，加取最大值450,

.•.售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元.

〔题目〔5〕（2023秋・庆云县期末）综合与实践

如图1,某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物,地块一边靠墙（墙足够长），另外

三边用木栏围住，木栏总长为am2.

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题:若a=10a,能否围出矩形地块？

【问题探究】

小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：

设4B为力m,BC为nrn.由矩形地块面积为8m2,得到力夕=8,满足条件的（力,g）可看成是反比例函数g=

-的图象在第一象限内点的坐标;木栏总长为10m,得到2a:+V=10,满足条件的e，y）可看成一次函数y=

X

-2,+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（⑨妨就可以看成两个函数图象交点的坐

标.

如图2,反比例函数夕=3（2>0）的图象与直线2。+10的交点坐标为（1,8）和_（4,2）_,因止匕，木栏

x

总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1M，8m；或AB=m,BC—m.

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空.

【类比探究】

（2）若a=6m,能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法说明理由.

【问题解决】

（3）求当木栏总长a为多少时？面积为8m2的矩形地块ABCD满足AB=BC.•••

勿卜

\y-(a;)O

\

\\

\\

\a

\

A

十\

O1

图1图2

【答案】（1）（4,2）;4;2;

（2）不能围出，理由见解析；

（3）当木栏总长a为时，面积为8M2的矩形地块4BCD满足=

【分析】⑴观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为（4,2）;

（2）观察图象得到L与函数沙=卷图象没有交点，所以不能围出；

（3）根据题意列方程，解方程即可得到结论.

x

【解答】解：⑴将反比例函数y=2与直线l1:y=—2x+10联立得

x[y=—2x+10

~~——2x+10,

x

rc2-5rc+4=0,

・•・力尸1,x2—4,

・•・另一个交点坐标为（4,2）,

*/AB为xm,BC为ym,

：.AB=4,BC=2.

故答案为：（4⑵；4;2;

（2）不能围出；

理由：0=—26+6的图象，如答案图中，2所示：

不能围出面积为8m2的矩形;

(3)•/AB=BC,

：-x=y9

/.3x—a,

：.a=6A/2（负值舍去）,

・•・当木栏总长Q为6V2m时，面积为8m2的矩形地块ABCD满足AB=.

热点2阅读与理解

名师点拨

结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解._________________________________

题目0（2024-高平市一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

数学对物理学的发展起着重要的作用，物理学也对数学的发展起着重要的作用，莫尔

斯所说:“数学是数学,物理是物理，但物理可以通过数学的抽象而受益,而数学则可以

通过物理的见识而受益

以下是数学中常见的一个问题：

若a+b=2,则而的最大值是多少？

设a=1+z,&=1—2，贝！Jab=（1+2）（1—Z）=1—x2=—x2+l.

以下是物理中的一个问题：

物理学中的电路分为串联电路和并联电路；已知电路中有大小分别为晶和晶的两个电

阻，串联电路的电阻公式为7?=a+总，并联电路的电阻公式为1=《+/・在某一段

电路上测得两个电阻的和为15H2,若根据实际需要把这两个电阻并联在一起，则并联

后总电阻的最大值是多少？

任务：

（1）按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分.

⑵若a,6两数的和为定值，则a,b满足_a=b—时，ab的值最大.

（3）解决这个物理问题主要体现的数学思想是.（填序号即可）

A.统计思想B.分类思想C.模型思想

（4）物理问题中并联后总电阻的最大值是______kQ.

【答案】（1）1;（2%=6;（3）。；（4）号.

（分析］（1）利用题干中的方法和非负数的意义解答即可；

⑵利用（1）的结论解答即可；

（3）利用数学模型的思想解答即可；

（4）利用（2）的结论列式解答即可.

【解答】解：（1）设a=l+/,b=l—力，•••

则ab=（1+力）（1—力）=1—ru2=—T2+1,

V-x2<0,

当力=0时，即Q=b=1时，ab取得最大值为1.

⑵由⑴知：若Q+b=2,则a=b=1时，ab取得最大值.

若Q,b两数的和为定值，则a,b满足a=b时，ab的值最大.

故答案为:a=b;

（3）・・,解决这个物理问题主要体现的数学思想是利用题干中提供的数学模型解答,

・・・解决这个物理问题主要体现的数学思想是模型思想，

故选：C.

（4）V7?1+凡=15k。,

・・・品与凡的和为定值，

由⑵知：当R产&=择。时，R1-凡的值最大.

1

R品+此，

1

HR1-\-R2

R1R2'

.R=R1R2

一一8+凡，

15x15

R的最大值=2]52=.

故答案为：学.

4

[题目可（2024•曲阜市校级一模）阅读新知

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数

列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（qR0）.

即：在数列电……,…，源5为正整数）中，若些=q,%=q,…,则数列的……,…，a”（n为正整数）叫

Q1电

做等比数列.其中5叫数列的首项，az叫第二项，…，册叫第九项，q叫做数列的公比.

例如:数列1,2,4,8,16,…是等比数列，公比g=2.

计算:求等比数列1,3,32,33,…，3期的和.

解:令S=1+3+3?+3'+…+3必，则3s=3+32+33+34+•­•+3100+3101.

3101-1

因此3S—S=3i°i—1.所以S=

2

3101-1

即1+3+3?+33+…+3i°°=

2

学以致用

（1）选择题：下列数列属于等比数列的是

A.1,2,3,4,5

B.2,6,18,21,63

C.56,28,14,7,3.5

D.-11,22,-33,44,-55

（2）填空题：已知数列alta2,a3,…，a”是公比为4的等比数列，若它的首项a产3,则它的第八项an等于.

⑶解答题：求等比数列1,5,52,53,…前2024项的和.

【答案】⑴C;

（2）3x4n-1;•••

r2024_-i

（3）即前2024项的和是a~.

【分析】（1）根据题意和等比数歹”的定义，可以判断哪个选项中的数列是等比数列;

（2）根据题意，可以写出所给数列第八项时的值；

（3）仿照题目的例子，可以求得前2024项的和.

【解答】解：（1）由题意可得，

故选项A中的数列不是等比数列：

与片整,故选项B中的数列不是等比数列；

2lo

5628=工，故选项。中的数列是等比数列;

281473.5

22丰薄＞,故选项D中的数列不是等比数列;

-11

故答案为：。；

（2）,/数列卬02,a3,…，0n是公比为4的等比数列，它的首项的=3,

-1

它的第九项an—q"T=3x4",

故答案为：3X4"』

⑶设S=l+5+5?+53+•■•+52023,

则5S=5+52+53+■■•+52023,

5S-S=52O24-1,

4s=5*1,

52024—1

s=

4

即前2024项的和是」

;题目0（2023-大同模拟）⑴计算:（—5）2—1—3|+（-2）3-（i）|-3|+（—2户信厂

2

（2）下面是小明化简分式x—1的过程,请认真阅读并完成相应任务:

x~11x"—2a;+1

解:原式=2x—1…第一步

（x+1）（a;—1）（a;-1）2

21…第二步

（劣+1）（2一1）X—1

2x+1…第三步

（劣+1）（劣-1）3+1）（力-1）

2—2+1…第四步

3+1）（2；—1）

3—x…第五步

3+1）（X—1）

【任务一】填空：

①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是因式分解；

②第步是进行分式的通分，通分的依据是

③第步开始出现错误.

【任务二】请直接写出正确的化简结果:.

【答案】⑴—12;⑵【任务一】①因式分解;②三;分式的基本性质；③四；【任务二】——二

【分析】（1）利用有理数的乘方法则，绝对值的意义和负整数指数赛的意义化简运算即可；

（2）利用分式的加减混合运算的法则解答即可.•••

【解答】解：（1）原式=25—3—8—1+4—9

=29-21

=8;

（2）【任务一】填空：

①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是因式分解；

②第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；

③第四步开始出现错误.

故答案为：①因式分解;②三；分式的基本性质；③四；

【任务二】：原式=-——3——r-厂1

（力+1）（4—1）（T—1）2

=______2___________

（力+1）（力-1）x-1

=2力+1

（力+1）（冗—1）（力+1）（x—1）

2-x-l

（力+1）（力-1）

_1一/

（力+1）（%—1）

=]

x+1*

题目可（2023・微山县一模）阅读材料:一般地，若Q，=N（Q>0,aW1）,则/叫做以a为底N的对数，记作：x—

log*.比如指数式24=16可以转化为4=log216,对数式2=log525可以转化为52=25.我们根据对数的定

义可得到对数的一个性质：loga（A/・N）=logaM+loga7V（a>0,aW1,M>QfN>0）；理由如下：设logJW=

n1n1

logaN=72,则M—N=a,M-N=aT-a=a",由对数的定义得m+几=loga（M-7V）.又,.,?n+

n=loga7W+logJV,・•.loga（M・N）=logaM+logJV.

解决问题：⑴将指数43=64转化为对数式_3=log464_；

⑵证明log号=logaM-loga7V（a>0,aW1,M>Q,N>0）；

拓展运用：（3）计算：logs?+log36—log34.

【答案】⑴3=log464;（2）见解析；（3）1.

【分析】（1）根据新定义公式计算即可.

（2）仿照乘法的证明去解答即可.

（3）根据公式依次计算即可.

【解答】解：⑴根据题意，得3=log464,

故答案为：3=log464.

n

（2）设logaM=m,logaN=n,则M=N=a,

/.果=a"=小-",由对数的定义得m—n=log。格）.

又;171—71=logaM-logaN,

log。（詈）=logaM-logaN.

（3）log32+log36-log34

=log3（2X6）-log34

=log312-log34

=log33

1.••

:题目w](2023.平顶山模拟)阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角.

杨辉三角

如果将(a+&)"(n为非负整数)的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下

面的等式：

(a+by=l,它只有一项,系数为1;

(a+b)i=a+b,它有两项，系数分别为1,1;

(a+»2=/+2而+凡它有三项，系数分别为1,2,1;

(a+b)3=a3+3a2b+3加+凡它有四项，系数分别为1,3,3,1;

将上述每个式子的各项系数排成该表.

观察该表,可以发现每一行的首末都是1,并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上

一行两数的中间，且等于它们的和.按照这个规律可以将这个表继续往下写.

该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期

数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或

贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡(aPascal,1623-一1662)是1654年发现

这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.

(1)应用规律：

①直接写出(a+b『的展开式，(a+b)4=_a4+4a3b+6a2/+4ab3+b4_；

②(a+b)6的展开式中共有项，所有项的系数和为;

(2)代数推理：

已知m为整数,求证：(m+3>—(m,-3产能被18整除.

【答案】⑴①a"+dcA+6a2b2+4而3+牝②7,64；

(2)见解析.

【分析】(1)直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案；

(2)直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案.

【解答】(1)解:根据规律得：

①(a+b)4=a4+4a3&+6a2fe2+4ab3+64;

6542332456

②V(a+3a+6ab+15a6+20ab+15a&+6afe+fe,

/.(a+b)6的展开式中共有7项，所有项的系数和为1+6+15+20+15+6+1=64;

故答案为：①a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，②7,64;

⑵证明：I,(a+b)3—a3+3a2b+3ab2+b3,

(m+3)3—(77i—3)3

=(m3+9m2+27m+27)—(m3—9m2+27m—27)

=m3+9m2+27m+27—m3+9m2—27m+27

=18m2+54

(?7l+3)3—(772—3)3能被18整除.

热点3函数与图象

名师点拨

（1）将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关

键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

（2）从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立直

角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值

范围要使实际问题有意义._________________________________________________________________

蜃目回（2024-潼南区一模）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx—2与c轴交于点4（4,0）和点B（

—1,0）,与轴交于点。，连接AC、

（1）求抛物线的表达式.

（2）如图1,点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作直线PD〃人。交2轴于点。，过点P作PE±

于点E,求出等PE+AD的最大值及此时点P的坐标.

（3）如图2,在（2）的条件下，连接OP交AC于点Q,将原抛物线沿射线CA方向平移方个单位得到新抛物

线％在新抛物线％上存在一点朋■，使/OQC-请直接写出所有符合条件的点”的横坐

（2）空PE+AD的最大值为6,此时点P的坐标为（2,-3）.

（3）所有符合条件的点M的横坐标为或41±Vl009,

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；

（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为g=十/一2,过点P作PF〃沙轴交AC于F,过点A作AG〃"

轴交RD于G,设P&—2）,则网号力一2），可证得^PFE〜△力。。，求得PE=-yt2+2i）=

Zv0乙

t,再证得ADGA〜^ACO，可得AD=-廿+此再运用二次函数的性质即可求得答案;

⑶将原抛物线沿射线CA方向平移，^个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线阴，可

得新抛物线抓的解析式为小=[2一日—2『一名+1=y-x2—+4,过点。作QJ〃c轴交沙轴于J,过

2'2，322•••

点P作PS，/轴于S,根据三角函数定义可得tan/AMC=tan/POS=%=^1,过点。作的垂线，在

该垂线上分别截取CL=CT,使*=tanZLAC=曰或星=tan/7AC=1■，分别过点L、T作夕轴的垂

JT.ONJT.O/

线，垂足分别为K、N,再证得NCLK〜^ACO,可得LK=-1oC=3,CK=^-OA=6,即L(-3,4)，再利用待

定系数法求得直线AL、4r的解析式，联立方程组求解即可求得答案.

【解答】解：(1)抛物线y=ax2+bx—2与力轴交于点4(4,0)和点B(—1,0),

.116Q+4b-2=0

A[a-b-2=0，

解得：2

1b0=——2

.，.抛物线的表达式为y=-^-x2——2.

⑵在g=-2中，令±=。,得夕=-2,

AC(O,-2),

设直线4。的解析式为y=far+c,把解(4,0)、。(0,—2)代入，

f4%+c=0

叽=—2，

解得：卜=上,

[c=-2

直线AC的解析式为?/=一2,

在AtAACO中，04=4,00=2,

AC=VOA2+OC2=V42+22=2A/5,

如图1,过点P作P尸〃沙轴交入。于F,过点人作AG〃夕轴交P。于G,

则NPFE=NACO,

设P(t4t?―*—2),则2),

•-PF=-2)=十+2t,

•：PE±AC,

：./PEF=/AOC=90°,

:.XPFE八ACO,

.PE_PF

"~OA~~KC

■■-PE=^-PF=^

•・,AGIIPF,ACIIPD.

・・・四边形AGPF是平行四边形,ZADG=ZOACf图1

：.AG=PFf

・・・ND4G=NAOC=90°,

：.^DGA-^ACOf

.ADAG日口AD—与-+2力

,,市二收即

AD——/+4/；,•••

：.^-PE+AD=

.十。,

当t=2时，乎PE+AD取得最大值，最大值为6,此时点P的坐标为（2,—3）.

⑶由y=~^x--x—2=/I2—冬，可得原抛物线的顶点为1_25

O2，__8~

将原抛物线沿射线C4方向平移0个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线功,

/.新抛物线yi的解析式为m=，L年-2厂2育25+1=I，2一会+4，

8

如图2,过点Q作QJ〃x轴交g轴于J,过点F作PS_L力轴于S,

则/CQJ=/CAO,AOQJ=APOS,OS=2,PS=3,

tanZBCO==J,tanZCAO==-y,

・•・/BCO=/CAO,

ABCO=ACQJ,

•：AOQC-AOQJ=ACQJ,AOQC-AMAC=ABCO,

ZOQJ=AMAC,

・•.ZMAC=APOS,

/.tanZTWAC=tan/POS=,

过点。作4。的垂线，在该垂线上分别截取CL=CT,使会=tanZLAC=曰或%=tanZTAC=得,

JT.O/AC//

分别过点L、T作g轴的垂线，垂足分别为K、N,

・・・Z.ACO+ALCK=AACO+ACAO=90°,

・・・ALCK=Z.CAOf

・・・ACKL=AAOC=9Q°,

：.ACLK〜NACO,

.LK=CK=CL=3

**OC-OA-AC-T,

.-.LK=yOC=3,CK=^OA=6,

•e•1/(-3,4),

设直线AL的解析式为g=阮力+仇,把乙(一3,4),4(4,0)代入,

—3fci+bi=4

得

4自+匕产0'

k1=一年

解得：＜

・・・直线AL的解析式为y=一夕+牛,

—

联立方程组得

y—/力2—~^x+4

整理得7/—4&+24=0,

.予=-4-1--±---7-1-0--0-9--

一14

同理可得T(3,-8)，直线4r的解析式为g=8%-32,

16

y=8x—32

联立方程组得

y—562—+4'

整理得/-23c+72=0,

._23+V241

"X~2'

综上所述，所有符合条件的点”的横坐标为吟西或产普

题目叵（2024-渠县校级一模）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+^-x+c与g轴交于点。，与c轴

O

交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（-V3,0），tanZACO=卒.

O

⑴求抛物线的解析式；

（2）如图1,点。为直线BC上方抛物线上一点，连接40、BC交于点E,连接记ABDE的面积为Si，

△ABE的面积为S2,求善的最大值；

（3）如图2,将抛物线沿射线CB方向平移，点。平移至。处，且O。=OC,动点”在平移后抛物线的对称轴

上，当ACBM为以CB为腰的等腰三角形时,请直接写出点河的坐标.

图1图2

【分析】（1）先由锐角三角函数的定义求得。的坐标，将点A、C的坐标代入抛物线的解析式求解即可；

（2）过。作。G_L/轴于点G,交BC于F,过人作4K_Lrc轴交BC延长线于K