利用导数研究双变量问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第11讲利用导数研究双变量问题

(核心考点精讲精练)

1%.考情探究.

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分

【命题预测】题型分析双变量问题运算量大，综合性强，解决起来需要很强的技巧性，解题总的思想方

法是化双变量为单变量，然后利用函数的单调性、最值等解决.

知识讲解

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等

式：

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果

考点一、利用导数解决函数中的双变量问题

典例引领

1.(2024•天津•高考真题)设函数/(x)=xlnx.

⑴求图象上点(1,〃功处的切线方程；

⑵若〃x)2a(x-&)在xe(0,+co)时恒成立，求。的值；

⑶若看,%e(0,1),证明-以

2.(2022・北京・高考真题)已知函数〃x)=e，ln(l+x).

⑴求曲线V=/(x)在点(0J(0))处的切线方程；

(2)设g(x)=/'(x),讨论函数g(x)在［0,+8)上的单调性；

(3)证明：对任意的s,fe(0,4w),有/•(S+/)>f(s)+/(f).

3.(2021•全国•高考真题)已知函数〃x)=x(l-lnx).

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)设。，6为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b,证明：2<'+?<e.

ab

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2

1.(2024・江苏盐城•模拟预测)己知函数/")=r三，其中。>0.

⑴若/1)在(0,2]上单调递增,求。的取值范围;

(2)当a=l时，若W+X2=4且0<占<2,比较/(再)与/(无2)的大小，并说明理由

2.(23-24高三下•江苏苏州•阶段练习)已知函数/(x)=(l+x)a-l-ex,其中

(1)讨论的单调性；

(2)若0<6="1,证明：aa+bb>ab+ba.

3.(23-24高三下•北京•开学考试)已知〃无)=(尤+1)卢,上片0.

⑴若左=1,求〃尤)在(0,〃。))处的切线方程；

(2)设g(x)=/'(x),求g(x)的单调区间;

(3)求证:当％>0时，e(0,+<®),/(m+n)+l>f[m}+f[n}.

4.(22-23高三下•四川成都•开学考试)已知函数/■(x)=a(ei-x)-lnx+x-l,a>0.

⑴求证：存在唯一零点；

(2)设g(x)=ae，—+x-l,若存在©(L+W,使得g(x2)=g(xj-f(xi)，求证：瓜%J+l>土—.

Z再一1

5.(23-24高三上・江西•阶段练习)已知函数"x)=ln(x+l)-x2-qx-igeR).

⑴当°=-2时，存在再,迎«0』，使得/(国)-〃/”〃，求M的最大值；

(2)已知加，〃是〃x)的两个零点，记/'(x)为/(x)的导函数，若〃“€(0,+⑹，且机证明：

.好题冲关•

能力提升

1.(2023・甘肃定西•模拟预测)已知函数/(x)=aln(l+x)+g/_x(aeR).

⑴若a=l,求函数“X)的单调区间；

(2)若函数〃x)有两个极值点再汽，且占<X2,求证：〃々)>].

2.(2024・四川德阳•二模)已知函数/(x)=lnx+x2-2办,aeR,

⑴当a>0时，讨论〃x)的单调性；

(2)若函数/(x)有两个极值点再,％(网<苫2),求2/-)的最小值.

3.(2023・福建龙岩•模拟预测)设函数/(x)吟+lnx-x.

⑴求/(x)的极值;

⑵已知/(再)=/(々)(为<々)，g+%有最小值，求后的取值范围.

4.(2024・河南商丘•模拟预测)已知函数的定义域为(0,+8),其导函数

2

/z(x)=2xd---2a(^ae=l-2a.

(1)求曲线v=/(x)在点(1,7(1))处的切线/的方程，并判断/是否经过一个定点；

(2)若三项,马,满足0<玉<y2,且/(国)=/'(%)=0,求2/(%)一/(%)的取值范围.

5.(2022・四川泸州•一模)已知函数〃x)=ax+l-xlnx的图像在x=l处的切线与直线x-y=0平行.

⑴求函数的单调区间；

(2)若5,无2e(O,+s),且再>马时，/(x,)-/(x2)>m(x；-x；),求实数加的取值范围.

6.(2023•河南郑州•三模)已知函数=,aeR.

(1)讨论函数〃x)的单调性；

(2)若函数/(X)有两个极值点X],n2，且X]<X2，求证：f(x^-ax2>-a.

2

7.(2023•福建龙岩•二模)7知函数/(%)=lnx,g(x)=x--.

x

X+1

⑴若与满足/(x0)=',证明：曲线y=〃x)在点处的切线也是曲线>=e，的切线；

(2)若P(x)=/(x)-g(x),且尸'(再)=尸'(一)(再内2),证明：F(x,)+F(x2)<41n2-7.

8.(23-24高三上•天津宁河,期末)已知函数/(x)=lnx+Wx2,aeR.

⑴当4=1时，求曲线>=/(x)在(1J⑴)处的切线方程；

⑵求〃x)的单调区间；

⑶设国,%(0"<%)是函数g(x)=/(x)-ax的两个极值点，证明：g(x1)-g(x2)<|-lna.

9.(2024・河北保定•二模)已知函数〃》)=依-加11弘/'(刈为其导函数.

(1)若/(x)VI恒成立，求。的取值范围；

(2)若存在两个不同的正数使得/(再)=/(%)，证明：/'(斥)>0.

10.(2023•广西•模拟预测)已知函数/(x)=e*-xlnx+x2-ax(aeR).

⑴若”=1,求J=/(x)在X=1处的切线方程；

(2)若“X)有两个不同零点X1,入2证明：/(网％)>仁+1-。)&％.

11.(2023•全国•模拟预测)已知函数/(x)=(a+l)lnx+巴-x,aeR.

(1)讨论的单调性；

(2)若/(再)=/(x,),当X[<；<a<1</时，证明：(西+马)1]"1---->-------.

21xYx2J2a

12.(2023・海南•模拟预测)已知函数〃》)=%-2山-£+“4/€11)在(0,+8)上单调递增.

⑴求。的取值范围；

(2)若存在正数匹产%)满足r(xj=_r(xj=6(尸(X)为的导函数)，求证：/(^)+/(%2)>0,

13.(2024高三下■全国•专题练习)设x=3是函数〃的=卜2+办+6卜1(”：«)的一个极值点.

⑴求。与b的关系式(用。表示b),并求/G)的单调区间；

⑵设。>0,g(x)=p+y^e\若存在不，x2e[0,4],使得|〃xj-g(x2)|wi,求实数。的取值范围.

14.(2024•浙江绍兴•三模)若函数a(x)有且仅有一个极值点加，函数£(x)有且仅有一个极值点"，且

m>n,则称a(x)与/(x)具有性质a-4//加〉〃.

⑴函数/(x)=sinx-/与夕2(x)=e"-x是否具有性质%-%///>。？并说明理由.

⑵已知函数/(x)=ae*-ln(x+l)与g(x)=ln(x+a)-e*+l具有性质/-g/4>..

(i)求。的取值范围；

(ii)证明：k(%)|>国.

15.(2023•全国•模拟预测)已知函数

⑴设函数g(x)=eJ3(左>0),若〃x)Wg(x)恒成立，求上的最小值；

KX

⑵若方程/'@)=加有两个不相等的实根为、占，求证：±+±<2(1一.加).

x2x{m

、夏题感也

1.(重庆•高考真题)设函数/(x)=x(x-l)(x-a),(a>l).

(1)求导数/(x),并证明〃x)有两个不同的极值点不、入2；

(2)若不等式/(&)+/(%)W0成立，求。的取值范围.

2.(湖南•高考真题)设函数/(x)=x」-alnx(aeR)

X

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(幻有两个极值点不和占，记