2025年高考数学复习之常用逻辑用语

2025年高考数学复习新题速递之常用逻辑用语

一.选择题（共8小题）

1.（2024•句容市校级开学）设xCR,则“x<3”是“x<0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2024•湖南开学）已知命题甲：”实数满足乙=一”，乙”实数x,y满足/=/"，则甲是乙的（）

xy

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.（2024秋•五华区校级月考）已知命题p：SzGC,z2+l<0,则p的否定是（）

A.Vzec,?+1<0B.Vzec,z2+1^0

C.BzeC,z2+l<0D.3z£C,z2+1^0

4.（2023秋•道里区校级期末）已知命题:AoeR,a将+2办o-l20为假命题,则实数a的取值范围是（）

A.（-8,-1）U（0,+8）B.（-1,0）

C.L-1,0]D.（-1,0]

5.（2024•淮南开学）设a,6eR,则△>b>0”是的（）

a0

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.（2024•海安市开学）已知命题p：3x>0,3X>1,则「p（）

A.3x>0,3、W1B.3x^0,3X>1C.Vx>0,3X^1D.Vx>0,3X>1

7.（2024•河东区校级三模）设xeR,不等式仅-3|<2的一个充分不必要条件是（）

A.l<x<5B.x>0C.x<4D.2«

8.（2024•珠海模拟）是（t\x\>r的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

二.多选题（共5小题）

（多选）9.（2024春•广西月考）下列命题错误的有（）

—>—>

A.若非零向量力B与CD平行，则A,B,C,。四点共线

B.若a,b满足网且a与b同向，贝！

C.若x,yGR,则x+yi=l+i的充要条件是x=y=l

T—TT

D.若a||6,则存在唯一实数人使得b=4a

（多选）10.（2024秋•无为市校级月考）下列说法正确的是（）

A.“a>l”是“三<r的充分不必要条件

B.命题“Vx>l,/<1”的否定是“mxWl,

C.“尤21”是“——>0”的既不充分也不必要条件

D.设a,旄R,则“aWO”是“abWO”的必要不充分条件

（多选）11.（2024秋•齐齐哈尔月考）下列说法正确的是（）

A.函数/（久）="+一%与g（x）=-乂2是相同的函数

._______Q

函数f（久）=V%2+16+1的最小值为6

JX2+16

k-3x

C.若函数f（x）击在定义域上为奇函数，则上=1

l+ZC,D

D.已知函数/（2尤+1）的定义域为[-1,1],则函数/（x）的定义域为[7,3]

（多选）12.（2024•东海县校级开学）下列说法正确的有（）

A.xCA是尤6AU2的必要不充分条件

B.ua>\,b>l”是iab>l,成立的充分条件

C.命题p：VxCR,/>0,贝卜0：3X£R,/<0

D.x,y为无理数是尤+y为无理数的既不充分也不必要条件

（多选）13.（2024秋•广陵区校级月考）下面命题正确的是（）

A.aa<r是“VHV1”的充要条件

B.“a>l”是“乙VI”的充分不必要条件

C.“60”是“"WO”的必要不充分条件

D.“x22且y22”是“/+f24”的必要不充分条件

三.填空题（共4小题）

14.（2024•惠农区校级开学）若命题：“mxGR,arWl=0w为假命题，则实数a的取值范围

为.

15.（2024•天宁区校级开学）命题x2-1<OW的否定是.

16.（2024•如东县开学）若存在成［-1,0］满足2*+aW0,则。的取值范围是.

17.（2023秋•开封期末）若命题：“IveR,4--2x+,〃=0”为假命题，则实数m的取值范围

为.

四.解答题（共3小题）

18.（2024秋•广陵区校级月考）设集合A={x||尤-5|<2}.B={x\l<x<2m+l}.

（1）若ACB=0,求实数机的取值范围；

（2）若“xeA”是“x&B”的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

19.（2023秋•江岸区校级期末）已知"：实数x满足/-3依+2/<o,a>0.

（1）若a=l,求实数尤的取值范围；

（2）已知q：实数尤满足2<xW3.若存在实数a,使得p是q的必要不充分条件，则求出实数。的取

值范围；若不存在，请说明理由.

20.（2024•兴宁市校级开学）（1）已知p7+mx+l=0有两个不等的负根，q：4?+4（/;?-2）x+l=O无

实根，若p、q一真一假，求相的取值范围.

（2）已知p：-X2+8X+20N0,q-.x2-2x+l-m2^0（m>0）,q：/-2x+l-（机>0）,若q是。

的必要不充分条件，求实数相的取值范围.

2025年高考数学复习新题速递之常用逻辑用语（2024年9月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.（2024•句容市校级开学）设xWR,则“x<3”是“x<0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分不必要条件的判断.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象.

【答案】B

【分析】根据必要不充分条件定义判断即可.

【解答】解：由题意，x<0=x<3,但尤<3不能得出x<0,

x<3是x<0的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.

VX

2.（2024•湖南开学）已知命题甲：”实数满足乙=一”，乙“实数尤，y满足/=廿"，则甲是乙的（

xy

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分不必要条件的判断.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象.

【答案】B

【分析】-=-^x2=/,充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.

Xy

【解答】解：x2=y2,充分性成立，

xy

1VXVX

但/=y2不能得到｝=一l，比如当x=y=0时，满足/=/,但不满足占=一,必要性不成立，

xyxy

故甲是乙的充分不必要条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.

3.（2024秋•五华区校级月考）己知命题p：3zGC,z2+l<0,则p的否定是（）

A.VzGC,?+1<0B.VzGC,z2+1^0

C.3zec,z2+l<0D.3zec,z2+1^0

【考点】求存在量词命题的否定.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算.

【答案】B

【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解.

【解答】解：命题P：SzGC,z2+l<0,

则p的否定是：Vzec,z2+i^0.

故选：B.

【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题.

4.（2023秋•道里区校级期末）已知命题:*oeR,a据+2axo-120为假命题,则实数。的取值范围是（）

A.（-8,-1）u（0,+8）B.（-1,0）

C.[-1,0]D.（-1,0]

【考点】存在量词命题真假的应用.

【专题】计算题；分类讨论；综合法；简易逻辑；数学运算.

【答案】D

【分析】由己知可得VxCR,a?+2ax-1<0为真命题，对a分类讨论，求解即可.

【解答】解：因为命题：2xo€R,ax]+2axO-12。为假命题，

所以VxCR,<7?+2以-1<0为真命题，

当a=0时，不等式即为-1<0恒成立，符合题意；

当aWO时，!a<°,解得

1/=4a2+4a<0

综上，实数a的取值范围是（-1,0].

故选：D.

【点评】本题主要考查根据存在量词命题的真假求参数范围问题，考查运算求解能力，属于基础题.

11

5.（2024•淮南开学）设a,b&R,则“一>6>0”是的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充要条件的判断.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象.

【答案】A

【分析】结合不等式性质检验充分及必要性即可判断.

11

【解答】解：当一>b>0时，一定成立，

a0

11

当a=-l,6=1时，成立时，但不满足一>6>0,

ba

1i

故“一>6>0”是的充分不必要条件.

ab

故选：A.

【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.

6.（2024•海安市开学）已知命题0：Bx>0,3X>1,则「p（）

X%

A.3x>0,3VB.3x^0,3>1C.V尤>0,3VD.V尤>0,3>1

【考点】存在量词命题的否定.

【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理.

【答案】C

【分析】根据题意，由存在量词和全称量词命题的关系，分析可得答案.

【解答】解：根据题意，命题p：3x>0,3、>1,

则-1p：Vx>0,3*W1.

故选：C.

【点评】本题考查存在量词命题的否定，注意存在量词和全称量词命题的关系，属于基础题.

7.（2024•河东区校级三模）设xeR,不等式|x-3|<2的一个充分不必要条件是（）

A.1<尤<5B.尤>0C.x<4D.2«

【考点】充分不必要条件的判断.

【专题】综合题；整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

【答案】D

【分析】由|x-3|<2可得l<x<5,再由充分不必要条件的定义、结合选项即可得答案.

【解答】解：因为|x-3|<2,

所以-2<x-3<2,解得1V尤<5,

由充分不必要条件的定义可知，只有。选项符合.

故选：D.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题.

8.（2024•珠海模拟）“尤>1”是u\x\>l^^的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分不必要条件的判断.

【专题】整体思想；定义法；简易逻辑；数学运算.

【答案】A

【分析】解不等式，得到忖>1的解集，从而得到答案.

【解答】解：\x\>l,解得x>l或x<-l,

由于X>1=>无>1或X<-1,但X>1或X<-1不能推出X>1,

ux>r是“国>1”的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题.

二.多选题（共5小题）

（多选）9.（2024春•广西月考）下列命题错误的有（）

—>—>

A.若非零向量力B与CD平行，则A,B,C,。四点共线

B.若a,b满足|。|>网且a与b同向，贝！

C.若x,jGR,则x+yi=l+i的充要条件是1=y=l

TT—T

D.若a||6,则存在唯一实数人使得b=4a

【考点】命题的真假判断与应用；平面向量的概念与平面向量的模；平面向量的平行向量（共线向量）.

【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

【答案】ABD

【分析】根据向量平行的含义可判断A；根据向量的定义可判断5根据复数的相等可判断C；举反例

判断D综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,若非零向量/与前平行，则A,B,C,。四点可能共线，

也可能是A8〃CD,此时A,B,C,。不共线，A错误；

对于8,由于向量是既有大小又有方向的量，故向量不能比较大小，8错误；

对于C,由于x,yCR,则无+yi=l+i,故可得尤=丫=1,反之也成立，C正确；

TTTTTT

对于。，若a=0,b^O,则不存在实数人使得6=4a,。错误.

故选：ABD.

【点评】本题考查命题真假的判断，涉及向量的基本概念、向量平行和复数的定义，属于基础题.

（多选）10.（2024秋•无为市校级月考）下列说法正确的是（）

1

A.“41”是“一VI”的充分不必要条件

a

B.命题“Vx>l,/<1”的否定是“mxWl,

工+2

C.“尤21”是“——>0”的既不充分也不必要条件

x-1

D.设a,b&R,则“a20”是“abWO”的必要不充分条件

【考点】充分不必要条件的判断.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象.

【答案】ACD

【分析】对于AC。，化简不等式即可判断；对于8,利用全称命题的否定即可判断

11

【解答】解：对于A,由一VI可得。>1或a<0,所以“°>1”是“一VI”的充分不必要条件，故正

CLCL

确；

对于8,命题“Vx>l,/<1”的否定是“三万0>1，>1"，故不正确；

光+2汽+2

对于C,由一；>0解得xW-2或x>l,所以“工21”是“一；>0”的既不充分也不必要条件，故

x-1x-1

正确；

对于。，由abWO解得且bWO,所以"aWO"是"abrO"的必要不充分条件，故正确.

故选：ACD.

【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.

（多选）11.（2024秋•齐齐哈尔月考）下列说法正确的是（)

函数f（%）=71+x7l—%与9（%）=V1-/是相同的函数

_______Q

函数/（X）=7x2+16+1的最小值为6

JX2+16

C.若函数f(x)在定义域上为奇函数，则上=1

D.已知函数/(2尤+1)的定义域为[-1,1],则函数/(x)的定义域为[-1,3]

【考点】命题的真假判断与应用；运用基本不等式求最值；判断两个函数是否为同一函数；奇函数偶函

数的性质.

【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】ACD

【分析】根据题意，根据定义域以及对应关系即可判断A,由基本不等式即可求解8,根据奇函数的性

质即可求解C,由抽象函数定义域的性质即可求解。，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,对于函数/'(%)=Vl+%V1-x,有｛11jj：，解得-1WxWl,所以/'(X)=71+一久的

定义域为[T，1].

对于函数g(x)=V1-72,有1-/20,解可得-iWxWl,所以g(x)=71■-日的定义域为[-1,1].

又因为/(%)=Vl+一乂=71-久2=g(x),故函数/(X)与g(无)是相同的函数，故A正确.

对于8,f(久)=7婷+16+19--2+16,।9==6,当且仅当石=-)=^=时取等

X2+16X2+16

号

由于7+16=9方程无解，故等号不成立，故8错误.

对于C,若/(%)=与当为定义域上为奇函数，故定义域需要满足1+k•3*力。=3方力-幺则k>0,

否则，定义域不关于原点对称，进而可得定义域为R,

故/(0)=后=0,解得左=1,经检验符合题意，故C正确，

对于。，对于已知函数/(2x+l)的定义域为[-1,1],则-iWxWL故-1W2X+1W3,则函数/(x)

的定义域为[-1，3],。正确，

故选：ACD.

【点评】本题考查命题真假的判断，涉及函数的定义、奇偶性和基本不等式的性质，属于基础题.

(多选)12.(2024•东海县校级开学)下列说法正确的有(）

A.XG4是X6AUB的必要不充分条件

B.ua>\,6>1"是‘ab>l'成立的充分条件

C.命题0：VAGR,/>0,贝bp：JxeR,?<0

D.x,y为无理数是尤+y为无理数的既不充分也不必要条件

【考点】充分条件必要条件的判断；全称量词命题的否定.

【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理.

【答案】BD

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断ABD,根据全称量词命题的否定为特称量词命题的否定

判断C.

【解答】解：对于A,若X6A,则X6AU8,但由XCAUB不能推出衽4,

所以X6A是xeAUB的充分不必要条件，故A错误；

对于8,a>\,b>l时，ab>l一定成立，

所以。>1,是成立的充分条件，故2正确；

对于C,命题p：VxGR,/>0,贝卜曲/W0,故C错误；

对于。，当久=鱼，y=—鱼时，x+y=O,

当无=2,y=时，x+y为无理数，

所以尤，y为无理数是x+y为无理数的既不充分也不必要条件，故。正确.

故选：BD.

【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义，求全称量词命题的否定的方法，是基础题.

（多选）13.（2024秋•广陵区校级月考）下面命题正确的是（）

A.“aVl”是“迎VI”的充要条件

1

B.“0>1”是“一<r的充分不必要条件

a

C.“aWO”是“abWO”的必要不充分条件

D.。乞2且y>2"是“7+/》4”的必要不充分条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理.

【答案】BC

【分析】A选项，可举出反例，得到充分性不成立；8选项，证明出充分性成立，举出例子得到必要性

不成立，8正确；C选项，举出反例得到充分性不成立，再证明出必要性成立；。选项，证明出充分性

成立，。错误.

【解答】解：A选项，设〃=-1,满足“VI,但近无意义，

故充分性不成立，A错误；

1

8选项，当。>1时，一VI,充分性成立，

a

1

当Q=-l时，满足一<1,但不满足必要性不成立，

a

1

故“〃>1”是“一<r的充分不必要条件，3正确；

a

C选项，当且/?=0时，止匕时H?=0,故充分性不成立，

当出?W0时，解得"W0且Z?WO,故必要性成立，

故是“abWO”的必要不充分条件，C正确；

O选项，x22且>22时，/+/三4,充分性成立，。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题.

三.填空题（共4小题）

14.（2024•惠农区校级开学）若命题「勺尤CR,a/+x+l=O”为假命题，则实数。的取值范围为中，+8）

【考点】存在量词命题真假的应用.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

1

【答案】,+8）.

【分析】分析可知命题VXCR,«?+无+1>0为真命题，对实数。的取值进行分类讨论，再根据二次不等

式恒成立即可求解.

【解答】解：由题意可知，VxGR,。，+.什120为真命题，

当a=0时，由x+120可得尤2-1,不符合题意，

当。力0时，根据题意知不等式恒成立则门>°,

=1-4a工0

解之可得a>i

1

故答案为：［“+8）.

【点评】本题主要考查了存在量词命题的真假关系的应用，属于基础题.

15.（2024•天宁区校级开学）命题x2-1<0"的否定是眨21,端一120.

【考点】求全称量词命题的否定.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算.

【答案】3x0>1,-1>0.

【分析】由命题否定的定义即可求解.

【解答】解：由命题否定的定义，可知命题，龙21,x2-1<0"的否定是，久。>1,诏—12。”.

故答案为：3%0N1,-1>0.

【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题.

16.(2024•如东县开学)若存在尤日-1,0］满足f-24°忘0,则。的取值范围是{a|aWl}.

【考点】存在量词命题真假的应用.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算.

【答案】{a|aWl}.

【分析】根据已知条件，推得aW(2工-/)s,再结合函数的单调性，即可求解.

【解答】解：存在xH-1,0］满足/-2*+0・0,

则a^2x-7,

故aW(2"-/)max，

令/(x)—2X-/,

由复合函数单调性可知，f(x)在［-1,0］上单调递增，

故/(x)max—f(0)=1,

所以aWl,

故a的取值范围是{alaWl}.

故答案为：{a|aWl}.

【点评】本题主要考查存在量词命题真假的应用，属于基础题.

17.(2023秋•开封期末)若命题:‘勺xCR,4：-2x+机=0”为假命题，则实数机的取值范围为+8)

【考点】存在量词命题真假的应用.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据题中条件可得方程47-2x+m=。无实数解，则△<(),解出即可.

【解答】解：由题意可知方程4?-2x+m=0无实数解，

所以△=(-2)2-4X4m<0,解得小>《，

故实数机的取值范围为G，+8).

1

故答案为：住，+8).

【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题.

四.解答题(共3小题)

18.(2024秋•广陵区校级月考)设集合A={#-5|V2}.B={x\l<x<2m+l}.

(1)若AC8=0,求实数机的取值范围；

(2)若“X6A”是“在8”的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

【考点】充分不必要条件的应用.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

【答案】(1){利〃zWl}；

(2)[3,+8).

【分析】(1)分8=0和BW0两种情况讨论即可；

(2)由题得A是8的真子集，根据集合间的基本关系求解即可.

【解答】解:(1)A={x||x-5|<2}={x|-2<x-5<2}={x|3<x<7},

当8=0时，1》2〃计1,解得mWO

当3/0时，由AC8=0得：fm>0，解得0<mWl；

综上，机的范围为{刑mWl}；

(2)由题得，A是3的真子集，

所以一，且等号不同时成立,

(7<2m+1

解得加三3,

所以实数机的取值范围为[3,+8).

【点评】本题主要考查了集合交集运算，还考查了充分必要性的应用，属于基础题.

19.(2023秋•江岸区校级期末)已知p：实数x满足f-3利+2/<0,a>0.

(1)若。=1,求实数x的取值范围；

(2)已知q：实数尤满足2<xW3.若存在实数a,使得p是q的必要不充分条件，则求出实数。的取

值范围；若不存在，请说明理由.

【考点】必要不充分条件的应用.

【专题】集合思想；定义法；简易逻辑；数学运算.

【答案】(1)(1,2)；

3

(2)6,2].

【分析】(1)代入。的值，求解一元二次不等式即得；

(2)先求出命题p表示的范围，再根据p是q的必要不充分条件推得两个范围之间的包含关系，继而

求得a的取值范围.

【解答】解：(1)a=l时，由不等式/-3尤+2<0可得：1〈尤<2,即实数尤的取值范围为(1,2).

(2)由不等式/-33+2°2<。可得：(尤-“)(x-2a)<0,因a>0,故a<2a,则有：a<x<2a,

因p是q的必要不充分条件，故qnp,p4q,贝I(2,3]c(a,2a),故得：[2a>3,

即实数。的取值范围为6,2].

【点评】本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题.

20.(2024•兴宁市校级开学)(1)已知p：/+mx+l=0有两个不等的负根，q-.4?+4(m-2)x+l=0无

实根，若p、q一真一假，求能的取值范围.

(2)已知p：-/+8X+2020,q：/-2x+l-机2WO(加>0),q：x2-2x+l-m2^0(z?i>0),若q是p

的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

【考点】命题的真假判断与应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系；必要不充分条件的应用.

【专题】对应思想；定义法；集合；简易逻辑；数学运算.

【答案】(1){，叩或机23}；

(2){m\m^9].

【分析】(1)分类讨论两个命题的真假结合一元二次方程根的情况计算即可；

(2)解一元二次不等式先计算两个命题对应变量的范围结合必要不充分条件的定义计算即可.

2_

1",

%1+%2=~m〈°

解得相>2,记集合A={词加>2},

而42=160—2)2-16V0,解之得IV机<3,记集合3={刑1<机<3},

若p真夕假，则AGCR5={刑加23},

若p假9真，则3GCRA={M|1VnzW2},

综上若p、9一真一假，则mE{根|1〈根W2或m23}；

(2)由p：-/+8x+2020,q：x2-2x+1-m2^0(m>0),解不等式得(x+2)(x-10)WO=>xC{x|

-2GW10},

记集合C={x|-2WxW10},

由9：x2-2x+l-m2^0(m>0),

解不等式得(x-1)2^m2=>xG{x|-m+l^x^m+1},

记集合D=[x\-m+l^x^m+1},

因为q是p的必要不充分条件，

所以集合C是集合D的真子集，

则仁?亍一？廿，解得机29,显然等号不能同时取到,

110<m+1

故实数m的取值范围为{词加29}.

【点评】本题考查必要不充分条件与集合的运算相关知识，属于中档题.

考点卡片

1.充分条件与必要条件

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若p则为真时，可表示为pnq,称p为q的充分条件，q是p的必要条件.事实上，

与“p今q”等价的逆否命题是台「p”.它的意义是：若q不成立，则p一定不成立.这就是说，q对

于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件.例如：p：x>2；q：x>0.显然xCp,则xCg.等价于xCg,

则xip一定成立.

2、充要条件：如果既有“pnq”，又有“q=p”,则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是0成立的

充要条件，记作“poq”.p与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一

不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学

生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若p0q为假命题且q0P为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p=q为真命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若p=q为假命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题g所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内

容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

2.充分条件必要条件的判断

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p今q,称p为q的充分条件，q是p的必要条件.

2、充要条件：如果既有“pnq”，又有“q=p”,则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是0成立的

充要条件，记作“poq”.p与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不

可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生

答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若pnq为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p=q为真命题且q=p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若p=q为假命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，

多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

3.充分不必要条件的判断

【知识点的认识】

充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件。必然成立，但条件。成立时，条件尸不一定成立.用符

号表示为Pn。但QAP.这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件.

【解题方法点拨】

要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证尸今。，然后找反例验证。成立但尸不成立.举反例

是关键步骤，找到一个。成立但尸不成立的例子即可证明P不是。的必要条件.例如，可以通过几何图

形性质验证某些充分不必要条件.

【命题方向】

充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等.

已知命题p：?-4.r+3<0,那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）

A.xWl

B.l<x<2

C.x23

D.2c尤<3

解：由/-4x+3<0,解得1cx<3,

则l<x<2和2<x<3都是l<x<3的充分不必要条件.

故选：BD.

4.充要条件的判断

【知识点的认识】

充要条件是指条件P和条件。之间互为充分必要条件.即若P成立,则。成立,若Q成立，则P也成立.用

符号表示为充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的.

【解题方法点拨】

要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证尸今。和。一尸.如果两者都成立，则P和。互为充要条

件.通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断.对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推

理的正确性.

【命题方向】

充要条件的命题方向包括几何图形的判定条件、函数的性质等.例如，矩形的对角线相等且互相平分是矩

形的充要条件.

“方程/-2x+m=0至多有一个实数解”的一个充要条件是（）

A,机21

B.mWl

C,m22

D,m20

解：“方程？-2x+机=0至多有一个实数解”的充要条件为“（-2）2-4机忘0”即“机21”.

故选：A.

5.充分不必要条件的应用

【知识点的认识】

充分不必要条件是指如果条件尸成立，则条件。必然成立，但条件。成立时，条件尸不一定成立.用符

号表示为尸今Q,但QAP.这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不

可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生

答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

若pnq为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，

多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

集合A={x|/+（。+2）x+2a<0},{x|?+2x-3<0},若“xeA”是“xeB”的充分不必要条件，则实数

a的取值范围是（）

A.-1

B.-1W〃V2或2V〃W3}

C.{〃|2V〃W3}

D.{〃|〃22}

解:因为A={x*+（a+2）x+2a<0}={x\（x+2）（尤+。）<0},B={x^+2x-3<0}={x|-3<x<l},

若"xeA"是“x&B”的充分不必要条件，则A力且AW0,

当-a<-2时，A={x|-a<x<-2],B={x\-3<x<l},贝!J-a2-3,解得2caW3,

当-a>-2时，A—{x\-2<x<-a],B={x]-3<尤<1},则-aWl,解得-lWa<2,

所以-lWa<2或2VaW3.

故选：B.

6.必要不充分条件的应用

【知识点的认识】

必要不充分条件是指如果条件。成立，则条件P必然成立，但条件尸成立时，条件。不一定成立.用符

号表示为Q-P,但W.这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件

不能完全保证结果成立.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不

可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生

答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

若pnq为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件;

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，

多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

设p：1<%<1;q：aWxWa+1,若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()

1

A.(0,2)

1

R(0,勺

1

C[0,5)

1

D.[0,引

1

解：p：万WxWLq：尤Wa+1,

又,：p的必要不充分条件是q,

:.p0q,反之则不能，

.1

二•IWa+l,〃工于

1

・・02，

当〃=0时，q：OWxWl,满足p的必要不充分条件是必

11Q

当a=2时，q：-<x<满足p的必要不充分条件是q,

.•.OWaW才

故选：D.

7.存在量词命题真假的应用

【知识点的认识】

存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用

符号表示.

特称命题：含有存在量词的命题.“mxoEM,有p(xo)成立”简记成3xoEMfp(xo)”.

“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词.

命题特称命题iroeM,p(xo)

表述方①存在XOEM,使p(xo)成立

法②至少有一个xoeM,使p(沈)成立

③某些xeM,使p(x)成立

④存在某一个xoeM,使p(xo)成立

⑤有一个xoeM,使p(xo)成立

【解题方法点拨】在应用存在量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理.例

如，在解决代数问题时，可以先验证存在量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的计算和推导.

【命题方向】存在量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在.例如，利用存在量词命题的真假来推

导方程的解的存在性、几何图形的某些特性.这类题型要求学生具备扎实的基础知识和逻辑推理能力.

若命题"3xoe[-1,2],xo-a>O”为假命题，则实数。的取值范围是.

解:a3xoG[-1,2],xo-a>0"是假命题，

则它的否定命题：-1,2],x-aWO”是真命题；

所以2],恒成立，所以a22,

即实数。的取值范围是[2,+8).

故答案为：[2,+8).

8.全称量词命题的否定

【知识点的认识】

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题曲\fXEM,p(X)它的否命题rp：BXOEM,rp(xo).

【解题方法点拨】

写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；(2)

将结论否定，比如将“〉”改为“W”.值得注意的是，全称命题的否定的特称命题.

【命题方向】

这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现.难度一般不大，从考查的数学知识上看，

能涉及高中数学的全部知识.

9.求全称量词命题的否定

【知识点的认识】

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：\fXEM,p（X）它的否命题r/7：rp（xo）.

【解题方法点拨】

写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）

将结论否定，比如将“〉”改为“W”.值得注意的是，全称命题的否定的特称命题.

【命题方向】

全称量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在.例如，代数中关于实数性质的全称命题的否定，几何

中关于图形性质的全称命题的否定等.这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判

断.

写出命题“vxez,|x|eN"的否定：.

解：因为特称命题的否定为全称命题，

所以命题“Vxez,|x|eN"的否定是'勺尤ez,|用硒命

故答案为：3x£Z,|A'|£N.

10.存在量词命题的否定

【知识点的认识】

一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题0：3X0GM,p（X0）它的否命题rp：VAGM,rp（尤）.

【解题方法点拨】

写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）

将结论否定，比如将“〉”改为“W”.值得注意的是，特称命题的否定的全称命题.

【命题方向】

这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现.难度一般不大，从考查的数学知识上看，

能涉及高中数学的全部知识.

11.求存在量词命题的否定

【知识点的认识】

一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题0：3xOEM,p（X0）它的否命题rp：VAEM,rp（尤）.

【解题方法点拨】

写特称命题的否定的方法：(1)更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；(2)

将结论否定，比如将“〉”改为“W”.值得注意的是，特称命题的否定的全称命题.

【命题方向】

存在量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在.例如，代数中关于方程解的存在性命题的否定，几何

中关于图形性质的存在性命题的否定等.这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和

判断.

写出下列存在量词命题的否定：

(1)某箱产品中至少有一件次品；

(2)方程/-8x+15=0有一个根是偶数；

(3)Sx